THÉORÈME FONDAMENTAL SUR LES INTÉGRALES
38. — Le calcul des intégrales est fondé sur cette proposition remarquable :
Si Ton connaissait une fonction qui eût pour dérivée la fonction qui figure dans les termes de la somme dont on cherche la limite, Taccroissement que prendrait cette fonction en attribuant à x les deux valeurs extrêmes qu^elle reçoit dans la somme, serait précisément égal à la limite cherchée.
Ainsi, je dis que si F {x) est une fonction telle que sa dérivée T{x) soit égale à f{x)j qui figure dans les termes de la somme 2 f{x) Axj on aura
y(x) Ax
oc
CALCUL INFINITÉSIMAL. iOI
Supposons en effet que dans la fonction F (j») on donne à la variable les accroissements successifs Sa , A;r, , AjTs, .... A^„ , correspondant respectivement aux valeurs sPyW^^a^^,...x^^\ de telle sorte qo*on ait : »^=^ a + 1^ ^ 9^^=^ dif^ + +Ajr, , .... j?^ = j?^ __ 4 -I- A#^ __ j. La fonction F{jr) recevra des accroissements en conséquence, que je désigne par A( , 4^ , ^3 , . . . A,j .
Nous savons d'une manière générale que Taccroissement d'une fonction est égal au produit de raccroissement de la variable par la dérivée augmentée d'une quantité infiniment petite. On aura celte série de relations :
k = [r (a?) + a] Aa? ,
Aj=[r(a?,)-i-a,]Aa;, , *3=[f'K)+ûC3]Ax3;
Op, d'après Tby potbèse faite en commençant, la fonction F(4f) a pour dérivée f{x). On peut donc substituer f{x) à Y{x) dans toutes ces relations, qui deviennent :
108 SECONDE PÂBTXE.
Si on les ajoute membre à membre, la somme des premiers membres représentera Faccroissement toial de la fonction F(;r) en passant de la valeur initiale xhla valeur finalear^ +àa?^ : elle sera donc égale à F (x,^ +Aj?J— F(2?). Quant à la somme des seconds membres elle se composera de deux parties : Tune, formée des termes /'(a?)Aa?-|- -{-/'(arj) Aa?j -+-•••-*-/"( ^,t ) Aa?„ , est la somme même dont il s*agit de calculer la limite ; Tautre peut être désignée par 1 a Àx. Ou a en conséquence :
F(a?^+Aa?J — F{a?) = 2/'(a?)Aî;4-2aAa:.
Si je fais décroître Aor indéGniment, le premier membre aura pour limite F(a?,j ) — F(a?). Le premier terme du
f{x) Aa; ; et je dis
que la limite de 2 a Aor est zéro. En effet, soit e la plus grande des quantités a , a, , as . . . . a^ . La somme 2 a A;r sera moindre que celle qu'on obtiendrait en remplaçant partout a , a, , a3 , . . . par e. Elle sera donc moindre que £ Ai? + 6 Aar, 4- e Aa?3 + . . . H- e Aa?^ , ou que slAx on
enfin que e (a?,^ — a? + Aj?,^ ). Or, la quantité entre parenthèses a pour limite x^ — ar , grandeur finie, absolument indépendante de la valeur des accroissements. Au contraire e converge vers zéro en même temps que ces derniers. Cela résulte de ce que chacune des quantités
^ > ^2 > ^3 > • • • «n > ^^^^ ^^^^ ^^^^ lorsque Taccroissement correspondant de la variable diminue indéfiniment (n° 19). Eu résumé, la somme 2 a A^r a pour limite zéro, et on en déduit :
en écrivant dx au lieu de Aâ?| ainsi qu'on Ta fait au n* 19, pour la plus grande symétrie des formules.
