DES FONCTIONS SIMPLES

^2. — On obtient une première série d'intégrales, trèsutiles en bien des cas , au moyen des différentielles des fonctions simples (n° 25). Le procédé général pour remonter aux intégrales est basé sur ce double principe : 1" que la différentiation et l'intégration portant sur la même quantité se détruisent réciproquement ; 2° que les facteurs constants qui multiplient les fonctions peuvent être mis hors du signe d'intégration comme hors du signe de différentiation *.

Soit, comme exemple de rappliçation de. ce procédé, la

* C'est ce qu'on vérifie aisément : je dis qu'on a :

f af{x)dx = aff{x)dx.

Pour s'en convaincre, il suffit de difi'érentier les deux quantités. On trouve, de part et d'autre, la même valeur a f{x) dx.

différentielle de la 8' fonction simple :

Si Ton intègre les deux membres, il vient :

dx

Cdx \ogx = \ogej — ;

d'où

*dx \q%x

J X loge Cest ainsi qu'on forme le tableau suivant :

I dx = x ,

/ — dx = — X I adx = ax ,

X^ dx = r «

a^dx = , — *

/dx logj; "F"" loge •

I cosxdx = smx ,

dx

. = arc sm x •

A chacun des seconds membres on doit ajouter une coU' stante arbitraire (n"41).

Dans ce tableau ne figurent pas les intégrales déduites des difTérentielles de la quatrième et de la sixième fonction simple : Tune de ces intégrales est d*un intérêt secondaire, et Tautre rentre évidemment dans celle qui se rapporte à la cinquième fonction simple.