FACILITER L'INTÉGRATION

43. — Quand on ne peut pas, malgré la connaissance à priori d'un certain nombre d'intégrales, discerner quelle est la fonction qui a pour dérivée la fonction donnée, il faut, avons-nous dit, recourir à des procédés plus ou moins indi*rects. Ceux dont on fait usage sont très-nombreux — ce qui, remarquons- le en passant, prouve leur insuffisance. — Nous nous bornerons à citer les principales règles suivies.

1^ L'intégrale d'une somme de fonctions est égale à la somme des intégrales de ces fonctions.

Pour vérifier la relation

il suffit de prendre la différentielle des deux membres. On retrouve de part et d'autre la même quantité.

2° L'intégrale du produit d'une fonction par une constante est égale au produit de la constante par l'intégrale de la fonction.

C'est le principe sur lequel nous nous sommes appuyé pour calculer les intégrales simples.

3" Intégration par parties. On désigne sous ce nom le principe suivant :

Soit ueXv deux fonctions de or : je dis qu'on a :

j udv=^uv — j V

du

Il suffit encore, pour le vérifier, de différentier les deux membres de cette relation.

On remplace ainsi, sous le signe d'intégration, la différentielle d'une fonction par celle d'une autre fonction. On conçoit les avantages qu'on en peut retirer. Il arrive, par exemple , que tandis que udv 2l une forme qu'on ne sait pas intégrer, le pvoimXv du, qui est d'une forme toute différente, est susceptible d'intégration.

t\° Intégration par variables auxiliaires. C'est un procédé analogue à celui qu'on emploie dans la différentiation. On désigne par des variables auxiliaires certaines combinaisons de la variable primitive, et on parvient ainsi à mettre en évidence des formes de fonctions qui rentrent dans les intégrales déjà connues.

Soit, par exemple, à calculer

dx 1/1— (a+a;)^

Posons a + 4? = y, tfoù daf=dy. L'intégrale prend la forme

rfy

et Ton sait que sa valeur est égale à arc sin y, et, par suite, à arc sin {a+x).

5* Intégration par série, — Ce moyen, d*une application très-générale, a pour but de donner par approximation les intégrales qu'on ne sait pas calculer exactement. On développe, d'après la série de Maclaurin, la fonction à intégrer, toutes les fois que la forme de cette fonction est telle ou peut être rendue telle que la série soit convergente. L'intégrale I f(x) dx est ainsi ramenée aux suivantes :

Jf{o) dx -hff'io) X dx -hfrio) ^ tte + . . .

Celles-ci n'offrent aucune difficulté, car les multiplicateurs f(9)j /"(^)> r'C^)r«» étant des quantités constantes, tout se réduit à intégrer une puissance quelconque de la variable.

Mais si ce procédé est d'un effet assuré, il n'en a pas moins deux inconvénients majeurs : le premier, d'être d'un emploi très-laborieux j le second, de ne fournir qu'une valeur approximative de l'intégrale, et, par suite, de ne pas en donner la véritable expression analytique. Ce dernier défaut peut être tout à fait capital dans certaines recherches, où ce qu'on a besoin de connaître c'est moins la

valeur en quelque sorte arithmétique de Fintégrale, que la forme de sa fonction.

L'intégration par série constitue une solution de même nature que celle que fournit en algèbre la théorie connue sous le nom de résolution numérique des équations.

Nous n'insisterons pas davantage sur les divers procédés mis en œuvre pour le calcul des intégrales. Le nombre en est en quelque sorte indéfini , et Ton peut dire que chaque géomèire a les siens propres, ou du moins emploie de préférence certains d'entre eux, mieux appropriés à la tournure de son esprit.