PLUSIEURS VARIABLES

kk. — De même qu'on dislingue les diûérentielies el les dérivées de divers ordres , nous devons distinguer égaiement les intégrales de divers ordres.

On nomme intégrale du second ordre ou intégrale double (cette dernière expression a prévalu) la fonclion qui a pour dérivée Tintégrale du premier ordre ou Tintégrale simple.

L'intégrale triple est Tintégrale simple de rintégiale double. D'une manière générale l'intégrale w*"" est l'intégrale simple de l'intégrale n — 1'^ "".

Soit F (a?), Fj (a?), F3 (x)y . . les intégrales simple, double,

triple, etc., de la fonction f(jx). Les définitions qui précèdent s'expriment ainsi :

F^{x)=CF{x)dx=Cdx Cf(x)dx ou fff{^)d^''\ F3 (x) = Cy^{x) dx^fdx fdxff{x)dx ou ffffi^) ^* î

On remarquera que dans cette notation nous regardons j dx I f(x) dx et j I f{x)dx^ comme parfaitement synonymes. En effet, la première intégration j f{x) dx^ qui

fournit la valeur de F (a?), devant être effectuée sans se préoccuper du nouveau multiplicateur dx introduit par la deuxième intégration, on peut regarder ce multiplicateur comme constant par rapport à la première intégration,

et, dès lors, le faire passer sous le signe / , ou le laisser en

dehors de ce signe.

Il résulte encore des définitions adoptées, tant pour les intégrales l[ue pour les différentielles, qu'on peut écrire

r.^.dVjx) d'¥,{x) d'?,{x) '^^^'^ dx ~ dx' "^ dx'

On voit aussi, d'après la démonstration donnée au n"* 32 :

Les intégrales des divers ordres sont ou ind^finieêy comme nous venons de le supposer, ou déflniei^ c'est-à-dire ayant chacune leurs limites inférieure et supérieure. Dans ce dernier cas, il est visible que Tintôgrale double peut être représentée géométriquement par le volume d*un prisme droit, ayant pour base la surface curviligne qui représente rintégrale simple et pour hauteur la diflërence des limites de la seconde intégrale.

Quant aux intégrales supérieures , elles ne sont pas susceptibles d'une interprétation analogue.

On distingue enfin les intégrales prises successivement par rapport à diverses variables, chacune de ces variables étant considérée tour à tour comme seule variable et toutes les autres comme constantes.

Ces intégrations sont Tobjet d'un théorème semblable à celui qui termine le n"" 34 :

Le résultat final de plusieurs intégrations successives reste le même quel que soit Tordre des intégrations.

Ainsi je dis qu'on a :

Jdyjf(x,y)dx—Jdxjf{x,y)dy .

Soit F (a?,y) la fonction résultant des intégrations indiquées au premier membre, et $ (^,y) celle qui résulte des intégrations indiquées au second. Si je différentie F (x,y) successivement par rapport à y et à j? , je retombe sur la fonction donnée f(Xyy)j en sorte que j'ai :

^(^^^) = d^ • Si je différentie $ Qv,y) dans un ordre inverse, c'est-à-

dire, d*abord par rapport à 4? et ensuite par rapport à y y je retombe également sur fi^x^y). J'obtiens donc :

d*où

dydx dxdy '

Or le résultat de deux différentiations successives n'est pas changé quel que soit Tordre des différentiations; donc F (a?, y) = ^ (^, y). Ce théorème s'étendrait facilement à un nombre quelconque d'intégrations.

La différentiation et l'intégration sont, comme nous avons dit, deux opérations inverses, qui se détruisent réciproquement. Il n'en est plus ainsi quand elles sont effectuées par rapport à des variables différentes. Dans ce cas chaque opération garde sa valeur, mais on peut intervertir Tordre dans lequel elles doivent avoir lieu. C'est-à-dire qu'on a :

dÇf{x,y)dx Ç dfix.y) ^

— 5v — =J~3îr"^-

En effet, différentions les deux membres par rapport à x ; le second membre devient immédiatement ^\ ,

puisque la différentiation et Tintégration, par rapport à la même variable, se détruisent. Quant au premier membre, on peut intervertir Tordre des deux différentiations, et il

d d Ç fÇx^y^ dx devient ^ ^ — ^ , quantité qui se réduit aussi

à d f(jt, y) dy

Les intégrales définies sont également l'objet de théo-

rèmes intéressants. On démontre , par exemple , que la dérivée d'une intégrale définie , prise par rapport à Tune des deux limites (considérée comme une variable), s'obtient en substituant simplement la limite à la variable indépendante, dans la fonction qui figure sous le signe d'intégration, etc. Mais l'examen de ces diverses propositions nous entraînerait hors des bornes de cette étude.