CHAPITRE XXII

fiEMARQUË SUR LE CALCUL AUX DIFFÉRENCES FINIES.

50. *- Nous devons sigoaler, mais seulement pûur mé-moire j deux branches de calcul qu'on comprend assez ordinairement dans l'analyse inûnitésimale, bien qu'elles appartiennent en réalité à l'analyse algébrique. Je veux parler du Calcul direct et du Calcul inverse aux différences finies^ créés par le géomètre anglais Taylor. Si nous les mentionnons ici, c'est uniquement pour prémunir contre la fausse idée qu'on pourrait se former sur leur conception fondamentale.

Le calcul direct aux différences finies a pour objet es* sentiel de déterminer les valeurs des accroissements des fonctions correspondant à des accroissements finis des variables. Il se distingue radicalement du calcul différentiel en ce que les accroissements n'y étant pas supposés in-

i&4 TROISIÈME PARTIE.

fiûiment petits, le rapport de la difféi'eiice de la fonction à la différence de la variable , n'y peut jamais recevoir cette grande simplification qui résulte de Thypothèse de Aa?=o dans la fonction obtenue pour exprimer le rapport -7^. Ainsi, le calcul aux différences finies perJ préci-

sèment le caractère propre à l'analyse transcendante*.

Le calcul inverse ou calcul intégral aux différences finies, consiste, comme son nom l'indique, à déterminer réciproquement une fonction quand on connaît sa différence finie, ou lorsqu'un a une relation entre celte fonction, la variable dont elle dépend et quelques-unes de ses différences.

Le véritable objet du c jIcuI aux différences est la théorie générale des suites ou successions de quantités numériques se déduisant les unes des autres d'après une loi donnée. Les sommations de ces suites, ainsi que les formules d'interpolation, en sont des applications Importantes.

* « Ce qui fait le caractère propre de l'analyse de Leibnitz, et la cons- « titue en un caractère vraiment distinct et supérieur, c'est que les fonc- « lions dérivées soutien général, d'une toute autre nature que les fonctions ^ primitives, en sorte qu'elles peuvent donner lieu à des relations plus • simples et d'une formation plus facile, d'où résultent les admirables « propriétés fondamentales de l'analyse transcendante, expliquées dans « les leçons précédentes. Mais il n'en est nullement ainsi pour les diffé- « rences considérées par Taylor ; car ces différences sont, par leur nature, « des fonctions semblables à celles qui les ont engendrées, ce qui les rend « impropres à faciliter rétablissement des équations , et ne leur permet « pas davantage de conduire à des relations plus générales. »

(Auguste Comte, P/n7osop/it> posUive, 1. 1, p. 237.)

METHODE INFINITESIMALE.