INFINIMENT PETITS DE DIVERS ORDRES

51. — Dans une même question d'analyse infinitésimale, on est souvent conduit à employer, à la fois, plusieurs quantités infiniment petites. Quand on cherche, par exemple, la tangente à une courbe, on considère simultanément l'accroissement de l'abscisse et l'accroissement de l'ordonnée, qui sont l'un et l'autre infiniment petits. De même, l'arc, la corde et Taccroissement de l'ordonnée d'une courbe, qui correspondent à un accroissement de l'abscisse, sont autant de quantités infiniment petites.

Dans les cas que nous venons de citer,* les infiniment petits considérés sont tous dépendants les uns des autres. C'est ce qui a lieu forcément lorsque la question ne comporte qu'une seule variable indépendante. Cette variable

li^S TROISIÈME PARTIE.

venant à recevoir un accroissement infiniment petit, les accroissements des autres variables sont déterminés par le premier, en sorte que tous ces infiniment petits dépendent les uns des autres. Dès lors on peut concevoir que leur valeur soit rapportée à celle de Fun d'eux choisi arbitrai* rement pour terme de comparaison, et qu'on appelle par ce motif infiniment petit principal ^

Quand la question comporte plusieurs variables indépendantes, les accroissements de ces variables peuvent avoir simultanément des valeurs arbitraires, et il en résulte autant d'infiniment petits indépendants ou principaux. Mais comme rien n'empêche de supposer une relation quelconque entre eux, d'admettre, par exemple, qu'on augmente toutes les variables de quantités égales ou proportionnelles, on se retrouve, si l'on veut, dans le même cas que lorsqu'on a un seul infiniment petit principal. Le plus souvent on ne fait aucune hypothèse particulière sur les valeurs relatives des divers infiniment petits indépendants : on se borne à admettre tacitement qu'ils appartiennent au même ordre de grandeur, expression dont nous verrons tout à l'heure la signification.

Si nous comparons avec l'infiniment petit principal tous les autres infiniment petits qui figurent dans la même question, nous reconnaîtrons que les rapports tantôt convergent vers des limites finies, tantôt convergent vers zéro.

' Comme on prend ordinairement pour infiniment petit principal Taccroissement de la variable indépendante, le terme d'infiniment petit indé^ pendant serait mieux choisi, en ce qu'il rappellerait que la grandeur en est arbitraire et que celle des autres infiniment petits en dépend nécessairement. Toutefois, la désignation de principal ayant prévalu, nous l'avons adoptée nous-méme.

C*cst ainsi que le rapport de laecroissement de Fordonnée d'une courbe à l'accroissement de Fabscisse tend vers une limite finie, qui est la valeur de la tangente trigonométrique de Fangle formé par la tangente à la courbe avec Taxe des abscisses. De même les accroissements des ordonnées de la courbe et de la tangente ont un rapport qui a pour limite Funité; tandis que la partie de Fordonnée inlercepiée entre la courbe et la tangente, comparée avec Fordonnée entière, soit de la courbe, soit de la tangente, fournit im rapport dont la limite est zéro.

Ou conçoit, du reste, d'une manière générale, que a désignant un infiniment petit quelconque, pris pour terme de comparaison, les quantités Ma, Ma^, Ma',.... (M étant une quantité finie , fixe ou variable) sont aussi infiniment petites*, puisqu'elles ont toutes pour limite zéro; mais leurs rapports avec Finfiniment petit principal a tendent vers des limites différentes. Le rapport de Ma à a est représenté par M, qui, par hypothèse, a une valeur finie; celui Ma^ à a a pour limite zéro, puisqu'il est égal à Ma; à plus forte raison en est-il ainsi des rapports de Ma% Ma\ etc., etc. Tous les infiniment petits supérieurs à M a , comparés avec Finfiniment petit principal, fournissent des quotients qui convergent vers zéro, mais qui n'y convergent pas de la même manière, puisque l'un y arrive par l'expression Ma, Fautre par l'expression Ma% etc. , etc. Nous sommes dès lors conduit à distinguer non-seulement entre les infiniment petits dont les rapports avec le principal tendent vers des limites finies et ceux dont les rapports tendent vers zéro, mais encore, parmi ces derniers, ceux qui y arrivent par diverses puissances de a. Cette nouvelle distinction est très-logique, car deux

infiniment petits tels que M a' et Na' ne sont pas dans les mêmes relations que Ma* et Ma% puisque les deux premiers, tout en ayant avec Tinfiniment petit principal des rapports qui tendent vers zéro (Ma et Na), sont entre

eux dans un rapport fini (-^j, tandis que le quotient de

Ma' par Ma* est un infiniment petit a.

De là, diverses catégories d'infiniment petits, établies relativement à celui qu'on choisit pour terme de comparaison.

52. — On nomme infiniment petit du premier ordre celui dont le rapport avec Tinfiniment petit principal converge vers une limite finie*.

Ainsi a désignant Tinfiniment petit principal, tout autre infiniment petit 6 sera dit du premier ordre, si Ton a :

lîm - = M ; a

M étant une quantité finie.

* On remarquera que nous disons converge vers une limite finie , et non a une valeur finie; parce que généralement le rapport de deux infiniment petits varie à mesure qu'ils décroissent» au lieu d'être indépendant de la grandeur absolue qu'on leur attribuerait à un moment donné. Ainsi le rapport d'un arc de cercle à sa corde tend vers l'unité, mais ce rapport n'a pas la même valeur selon que Tare est supposé deux fois plus grand ou deux fois plus petit. Ce qu'il y a lieu de considérer c'est donc la limite vers laquelle converge le rapport des infiniment petits , à mesure qu'on les ramène vers zéro. On rencontre quelques cas où l£ rapport des infiniment petits est indépendant de leur grandeur absolue : ainsi, dans un cercle, le rapport de Tare à l'angle au centre correspondant. Mais ces exceptions n'infirment point la convenance de la définition générale que nous avons adoptée, puisqu'en ces cas particuliers la limite du rapport des infiniment petits se trouve simplement atteinte dès l'origine.

MÉTHODE lNPiNITÉ8IMALE. 151

On en déduit :

étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que a , ou qui est infiniment petite par rapport à M.

Il résulte que

sera Texpression d'un Infiniment petit quelconque du pre-' mier ordre. Tous ceux du même ordre ne différeront que par la valeur de M.

On nomme infiniment petit du êecond ordre celui dont le rapport avec Tinfiniment principal a pour limite un infiniment petit du premier ordre ; c'est-à-dire que 7 étant du second ordre, ott doit avoir :

lim 2. = « M , a

M étant une quantité finie ; d'où

et

$ désignant, comme précédemment, une quantité infiniment petite par rapport à M.

D'après cela ,

7=aMM + a)

sera Texpression d*un infiniment petit quelconque du second ordre.

D'une manière générale, Tinfiniment petit du n**"* ordre est celui dont le rapport avec Tinfiniment petit principal est de Tordre n — 1 ; et son expression est

58. — Un remarquable exemple d*infiniment petits do divers ordres est fourni par le tableau des dérivées successives d'une fonction. La dérivée de Tordre n est égale à la

limite du rapport r—f. Les quantités Aa?'» , A«y sont des

infiniment petits de Tordre n.

Aussi peut-on dire qu'une dérivée quelconque implique la considération d'infiniment petits du même ordre que celui de la dérivée.

Une particularité qui parait assez surprenante au premier abord, c'est que les difierences successives des accroissements conduisent à des infiniment petits d'ordres de plus en plus élevés. On ne voit pas immédiatement pourquoi, par exemple, la différence seconde ou A^y est un infiniment petit du second ordre ; car cette quantité résulte de la différence prise entre deux différences premières Ly et Ay,) Qui sont des infiniment petits du premier ordre. Or, la différence de deux quantités est en général de la même catégorie de grandeur que ces quantités : il semble donc que A^y devrait être du même ordre que Ay.

Cette difficulté disparaît si Ton remarque que les quantités dont on prend ici la différence ne sont pas des quantités

indépendantes Tune de l'autre, mais assujetties, au contraire, à cette loi de génération d*étre les accroissements d*une même fonction correspondant à des valeurs infiniment voisines de la variable. L'accroissement d'une fonction étant sensiblement égal au produit de la dérivée por Tâccroissement de la variable, les accroissements dont il s'agit ne diffèrent entre eux que d'une quantité égale au produit de l'accroissement de la variable par la différence des valeurs de la dérivée correspondant aux valeurs infiniment voisines de la variable. Or, la difiërence des dérivées est infiniment petite : celle qui existe entre les accroissements est donc un infiniment petit du second ordre. C'est la même observation qui se présente pour la difierentiellc et l'accroissement d'une fonction : ces deux quantités sont des infiniment petits simples; mais leur difiërence est du deuxième ordre.