VARIÉ

75. — Avant de traiter ce problème, nous rappellerons quelques considérations générales sur les mouvements.

On sait qu'un mouvement rectiligne quelconque est représenté par une équation de la forme ê=fQ), dans laquelle / désigne la durée du temps écoulé, et s la longueur parcourue depuis une certaine origine. On sait aussi que

la vitesse V est exprimée par lim Ti ou -rj , et la force acceleratrice P par lim -^ ou -tt ou enfin par ^.

Si, dans la relation $ = f(t)y on considère teiê comme correspondant respectivement à Tabscisse et à Tordonnée d*une courbe, on est conduit à établir pour les mouvements rectilignes des théories analogues à ce'les des courbes.

Ainsi, on dit que deux mouvements coïncident à un certain moment, lorsque pour une certaine valeur du temps écoulé ils ont la même vitesse. C*est un phénomène analogue à celui du contact de deux courbes, et il est exprimé par régalité des dérivées premières : la différence des espaces parcourus au bout d'un accroissement infiniment petit du temps est une quantité infiniment petite du second ordre. D*une manière générale, on dit que deux mouvements ont une coïncidence de Tordre n à un certain moment, lorsque la différence des espaces parcourus au bout d*unc durée infiniment petite est un infiniment petit de Tordre w + 1. Cette coïncidence est exprimée par Tégalité des dérivées, chacune à chacune, jusqu'à Tordre n inclusivement.

Le mouvement osculateur d'un mouvement donné est celui qui a avec ce dernier le contact le plus élevé possible, d'après le nombre de paramètres arbitraires que comporte son équation. L'équation la plus générale du mouvement uniforme étant s=^a-^bty et cette équation renfermant deux paramètres, sa coïncidence avec un mouvement varié ne dépasse pas le premier ordre ; sa vitesse est égale à la dérivée première de Tespace parcouru dans le mouvement varié. L'équation la plus générale du mouvement rectiligne uniformément varié étant *=a4-AM-c/% sa coïncidence peut être poussée jusqu'au second ordre. Il joue donc, à l'égard des mouvements rectilignes variés, un

rôle analogue à celui du cercle osculateur vis-à-vis des courbes. Sa vitesse est exprimée par la dérivée première, et sa force accélératrice par la dérivée scande de Tespace parcouru. La différence entre les accroissements des longueurs décrites pendant une durée infiniment courte, à partir de la coïncidence des deux mouvements, est un infiniment petit du troisième ordre.

On ramène le mouvement curviligne au rectiligne en le considérant comme provenant de la combinaison de trds mouvements rectilignes s'exerçant chacun le long d*un des axes de coordonnées. La vitesse d*un de ces mouvements partiels est égale à la dérivée première, et la force à la dérivée seconde de la longueur parcourue sur Taxe. £n vertu des lois sur la composition des mouvements , la vitesse du

mouvement curviligne est égale à \/w^^-^?*+w?* ou -r-

(en désignant par «^,t7,ii7 les vitesses suivant les trois axes),

et la force accélératrice totale est égale à \/X* + Y* + Z* (en appelant X, Y, Z les forces partielles suivant les axes). Chacun des mouvements composants a une coïncidence du premier ordre avec le mouvement uniforme ayant pour vitesse la dérivée première; et une coïncidence du second ordre avec le mouvement uniformément varié ayant pour force constante la dérivée seconde. Le mouvement osculaleur du second ordre du mouvement curviligne est donc produit par une force constante dont les trois composantes seraient X, Y, Z; c'est-à-dire par une force constante ayant la grandeur et la direction de la force donnée au moment de la coïncidence. La trajectoire décrite sous Tin-, fluence d'une telle force et d'une telle vitesse acquise est, comme on sait, une parabole. Le mouvement osculateur

du mouvement curviligne est nommé parabolique; et il jouit de la propriété que la différence entre les ordonnées des deux mouvements/ prises suivant un axe quelconque, au bout d'une durée infiniment courte à partir de la coïncidence, est un infiniment petit du troisième ordre.

76. — Occupons-nous maintenant de déterminer les composantes tangentielle et normale de la force qui produit un mouvement curviligne.

Soit AB (fig. 13) la trajectoire décrite*, M la position

Fig. 15.

du mobile à un certain moment, MP la force accélératrice, et MX, MC les directions de la tangente et de la normale

^ Nous avons supposé, pour plus de simplicité, la trajectoire plane, sur la figure, mais le raisonnement serait le même si elle était à double courbure.

212 TBOISIÈME PARTIE.

au point M. Nous voulons avoir les composantes T et Q de la force suivant MT et MC.

Si la composante T agissait seule, le mobile, sous Tinfluence de cette force et de la vitesse acquise, parcourrait pendant le temps infiniment petit A^ une certaine longueur M K. Si la composante Q agissait seule, le mobile parcourrait une certaine longueur M I. En vertu de ces actions simultanées, le mobile parcourt réellement l'arc de courbe M M ' et se trouve en M ' au bout du temps At,

Le mouvement suivant MT étant rectiligne, la force T

de ce mouvement est égale à -jr^ , en désignant par a la

longueur décrite sur la tangente. Or M'K étant perpendiculaire à MT, la longueur MK ou A<7 ne diffère que par un infiniment petit du troisième ordre de Tare M M' ou £iê (n'' 62 ). Donc A^a et AU ^ qui sont des infiniment petits du second ordre, diffèrent entre eux par un infiniment petit d'ordre supérieur *, et dès lors peuvent être

substitués l'un à l'autre dans les expressions lim -^ et lim -jTji , ou ^-2 , -j^ • Donc enfin on obtient :

' II rst facile de se rendre compte que si la différence entre ^a et \s est du 3« ordre, la différence entre A*o et â*^ sera aussi du 3' ordre ; car lorsqu'on a à la fois :

A = A s + M a", Aa,= A5, -fM^a',

a représentant rinfiniment petit du premier ordre, on en déduit r

A(j|— Aa=A«i— A5+a'(Mt — M) OU A*ff = A*5 -h a" (M. — M).

MÉTHOD£ INFmiTÊSUIALE. 215