MM' ,. A

osculateur est exprime par iim jrrf ou par lim -^^ ,

en appelant s la longueur de la courbe et Y Fangle de la tangente avec Taxe des abscisses. En d'autres termes, il se confond avec le rayon du cercle de courbure. Cette conséquence est directement fondée, on le voit, sur la définition même du cercle osculateur, puisqu'elle nécessite que les dérivées première et seconde de la courbe soient égales à celles du cercle.

74. — II y a une remarque à faire sur Tordre de Tinfiniment petit qui représente la différence des ordonnées des deux courbes à partir du point de contact.

Nous avons dit que pour le contact de Tordre n, la différence correspondant à un accroissement infiniment petit de Tabscisse est de Tordre n + l. Dans la circonstance particulière où la tangente commune aux deux courbes serait parallèle à la direction des ordonnées, Tordre de la différence serait moins élevé d'une unité. Ainsi , pour 1c contact simple, la différence, au lieu d'être du second ordre, serait du premier. Il est facile de s'en convaincre ; car soient les deux courbes AB, A'B' (fig. 11), dont la tangente commune en M est parallèle à Taxe OY. Prenons Tordonnéc voisine FM'N', et formons le triangle Hifinitésîmal MM'X'.

Ht.

Dans ce triangle les angles N' et M sont infiniment petits, puisqu*il$ ont pour limite zéro, et Tangle M' converge

Fig. 11.

vers ISO"". Les trois sinus sont donc à la fois infiniment petits, et les trois côtés sont du même ordre de grandeur. La différence N'M' est du même ordre que MM' ou que l'accroissement M'H.

Il est bien évident que cette démonstration repose toute entière sur le parallélisme de la tangente MX et de l'ordonnée FN' : sans cela, on ne pourrait pas dire que fangle N' converge vers zéro. Si l'on considère, par exemple, deux autres courbes AB, A'B' (fig. 12), pour lesquelles ce parallélisme n'ait pas lieu, et qu'on forme le même triangle MM'N', on reconnaît que l'angle N' converge vers l'angle VMP, qui n'est pas nul , tandis que l'angle M continue à avoir pour limite zéro. Donc M'N' est infiniment

Fig. 12.

petit par rapport à MM' ou par rapport à l'accroissement

La particularité que nous venons de signaler est , du reste, indiquée par le calcul : car dans chacune des formules qui donnent l'expression de Taccroissement de Fordonnée pour les deux courbes, la fonction dérivée prend une valeur infinie, puisque Tangle formé par la tangente à la courbe avec Taxe des abscisses est supposé droit exactement.

Pour le cercle osculateur, la différence des ordonnées serait du second ordre, au lieu d'être du troisième; et ainsi de suite pour les autres ordres de contact des courbes.