PRÉFACE. XI

Rien de plus rigoureux, de plus purement algébrique, si j'ose ainsi dire, que le Calcul pris en lui-même, abstraction faite de ses applications, mécaniques ou géométriques. Son objet consiste à calculer des limites de rapports et des limites de sommes^ c'est-à-dire à trouver les valeurs fixes vers lesquelles convergent des rapports ou des sommes de quantités variables, à mesure que celles-ci décroissent indéfiniment suivant une loi donnée. Les résultats qu'on poursuit sont évidemment étrangers aux grandeurs attribuées aux variables, et ne dépendent que de la loi de leur décroissement. Cette remarque est essentielle, parce qu'elle établit que le Calcul infinitésimal, comme le Calcul ordinaire, n'a réellement en vue que des quantités fixes et déterminées. La recherche des fonctions dérivées et des intégrales est donc une suite naturelle de l'Algèbre, et ne saurait, par elle-même, donner prise à aucune objection métaphysique.

La Méthode infinitésimale est l'art d'appliquer le Calcul à la solution des problèmes de tous genres où l'évaluation des quantités inconnues ne peut pas être effectuée d'une manière directe. La marche uniformément suivie consiste à démontrer que ces quantités peuvent être considérées comme des limites de rapports ou de sommes d'infiniment petits, d'une nature plus simple, et à donner à ces rapports ou à ces sommes des formes algébriques telles que le calcul de leurs

XU VBÈBACM.

limites puisse avoir lieu à Taide des procédés habituels de la différentiation et de rintégration. Tout le succès est dû à cette circoustance capitale, que la limite d'un rapport ou d'une somme n'est pas changée , quand on vient à en altérer les termes de quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes ; d'où résulte le droit, dans les relations où l'on compte passer aux limites, de remplacer certains infiniment petits par d'autres qui en diffèrent réellement, et, en particulier, de remplacer les accroissemei%ts des quantités parleurs différentielles j dont l'expression est toujours plus simple. Il est également permis de supprimer, dans une équation, tous les infiniment petits d'ordres supérieurs à ceux dont on se propose de calculer les limites.

L'enchaînement des opérations est dès lors parfaitement naturel. Après avoir constaté que la quantité inconnue est une limite de rapport ou de somme d'infiniment petits, on s'occupe d'établir la loi de décroissement de ces derniers, c'est-à-dire de les exprimer en fonction d'un seul d'entre eux, qu'on soit maître de faire varier à volonté, et qui, pour ce motif, est en général l'accroissement de la variable indépendante. Mais au lieu d'opérer sur ces infiniment petits eux-mêmes, on les remplace, au besoin, par d'autres entre lesquels les relations soient plus faciles à découvrir; et l'on simplifie à chaque instant les forma-

pitPACB. xm

les en négligeant les quantités qui, par Tordre de leur petitesse» seraient sans influence sur la valeur de la limite. On arrive ainsi à une équation toute préparée pour Tœuvre du Calcul infinitésimal, ce qui fait rentrer la question dans le domaine propre de TÂlgèbre.

Tel est le sujet que j'ai entrepris d'exposer dans cette Etude. Évidemment, les considérations que je présente ne sont pas nouvelles pour les géomètres : on en retrouverait les principes à divers endroits de leurs écrits. Mais comme elles y sont généralement associées aux calculs, il n'est pas toujours facile, pour des commençants, d'en saisir la filiation naturelle. C'est ce qui m'a fait juger utile de les réunir en un corps de doctrine séparé, où l'enchaînement devient plus sensible.

Mon travail est divisé en trois parties. La première, intitulée Notions fondamentales ^ est, comme son nom l'indique, consacrée aux définitions et aux principes généraux de l'Analyse. Je me suis attaché à y mettre le plus de clarté possible, et je n'ai pas craint de pro* longer parfois les explications, parce que je sais par expérience que les difficultés viennent souvent de ce qu'on a passé trop vite sur les préliminaires.

Le Calcul proprement dit occupe la seconde partie. N'ayant eu nulle prétention de faire un traité didactique, mais simplement d'indiquer la destination de cette Algèbre supérieure en même temps que sa place