Après avoir pris pour définition de la vitesse

<t ou mieux encore lorsqu'il est démontré que le reste de la série tend « sans cesse vers la limite zéro quand le nombre des termes croit indéfi- « niment. Toute induction tirée d'un développement en série non con- « vergçnte manque de solidité , et peut conduire, comme des exemples <t le font voir , à des résultats fautifs. La méthode de Lagrange n'a donc « point l'avantage d'éliminer la notion des limites ou toute autre équiva- (t lente. La nature des choses et les lois de l'entendement exigent ici N l'emploi de l'une de ces notions auxiliaires dont le simple développe- « ment par l'algèbi-e du principe d'identité ne peut tenir la place.

« .... Le développement en série n'est qu'un artifice de calcul et M ne peut convenablement servir à établir des lois et des rapports dont « l'existence est indépendante de nos procédés artificiels. » Judicieuses réflexions, qui rendent à la conception des dérivées son véritable caractère, et qui font ressortir le singulier paralogisme dans lequel est tombé un si grand esprit.

dans le mouvement uniforme, le rapport constant de l'espace parcouru au temps , Lagrange s'occurc du mouvement rectiligne varié et s'exprime de la manière suivante* : « Considérons maintenant un mouvement rectiligne « quelconque représenté par Téquation a?=/'(^), f^t) étant « une fonction quelconque de L Au bout du temps tj le « mobile aura parcouru l'espace f^t); et au bout du temps « ^ + 9, il aura parcouru l'espace /(^+ 9): par conséquent ce la difiTérence f^l-hO) — f^i) sera l'espace parcouru pen- « dant le temps 9, qui a commencé à l'instant où le temps « * a fini. La fonciion /(^ + 9), étant développée suivant « les puissances de 9 , devient :

m + Bf (0 + ^ f"{t) ^ . . . .

« comme on l'a vu dans la première partie : donc l'es- « pace parcouru durant le temps 9 sera représenté par <<( la formule

9Ao+ono+ï:^r(o+

« dans laquelle le temps t écoulé avant le temps 9 est main- « tenant regardé comme une constante. Ainsi le mouvement « par lequel cet espace est parcouru sera composé de diffère rents mouvements partiels , dont les espaces répondant

« au temps 9, seront 9f(0, ofCOi^^rCO, ^tc; et « l'on voit que le premier de ces mouvements partiels,

* Théorie des fonctions analytiques, p. 319 et suivantes.

%S9 nOISIÈMB PARTIB.

« sera uniforme avec une vitesse mesurée par /^(O» 61 « que le second sera uniformément accéléré et dû à une (1 force accélératrice proportionnelle à } /^' (/). A l'égard « des antres, comme ils ne se rapportent à aucun mou- « vement simple connu , il ne sera pas nécessaire de les a considérer en particulier, et nous allons faire voir que « Ton peut en faire abstraction dans la détermination du « mouvement au commencement du temps 9.

« On peut conclure de là que tout mouvement rectiligne, u représenté par réquationjr==/^0, peut, dans un insi( tant quelconque au bout du temps /, être regardé « comme composé d*un mouvement uniforme dû à une « vitesse imprimée au mobile, mesurée par /^(O» ^t d'un « mouvement uniformément accéléré dû à une force accé- « lératrice agissant sur le mobile et proportionnelle à « i/^'(0> ^^ simplement à f"(t) j que, par conséquent, si i( les causes qui empêchent le mouvement proposé d'être « uniforme venaient à cesser tout à coup, le mouvement se i< continuerait dès cet instant d'une manière uniforme « avec une vitesse mesurée par /"'(O > ^t que si l'effet de ces « causes, au lieu de devenir nul, devenait constant, le (( mouvement deviendrait composé du mouvement uni- « forme dont nous venons de parler, et d'un mouvement « uniformément accéléré , commençant au même instant, (c en vertu d'une force accélératrice constante et propor*> « tionnelle à f (/).

c( Donc, en général, dans tout mouvement rectiligne « dans lequel l'espace parcouru est une fonction donnée « du temps écoulé, la fonction prime (dérivée première)

UÈTUODE INFimTÊSUIALE. 259

« de cette fonction représentera la vitesse, et la fonction « seconde représentera la force accélératrice dans un ins*

« tant quelconque D*oii Ton voit que

« les fonctions primes et secondes se présentent naturel-* a lement dans la mécanique, où elles ont une valeur et » une signification déterminées

99. — Voilà donc des notions naturelles qui pour être convenablement précisées nécessitent la connaissance préalable du développement des fonctions en série : comme si ridée de la vitesse et celle de la force n'étaient pas, dans notre esprit, antérieures à l'étude de Talgèbre ! Que cette science soit indispensable pour calculer les valeurs de la vitesse et de la force accélératrice d'un mouvement donné, cela se conçoit : mais qu'elle serve à les définir^ c'est ce qui nous semble un renversement de la logique.

En vain, pour relever les avantages de sa méthode, l'illustre auteur dira-t-il plus loin : « Ces notions de la vitesse « et de la force accélératrice sont, comme on le voit, (rès- « simples, et indépendantes de toute métaphysique. Elles « sont fondées sur la nature du mouvement regardé « comme le transport d'un corps d'un lieu à un autre. » Un est en droit de répondre que si, dans une semblable méthode, les notions semblent, à la vérité, indépendantes de toute métaphysique , elles ne le sont pas, en revanche, de toute physique, car elles impliquent la vérification expérimentale des lois essentielles du mouvement S'il n'était pas reconnu, par exemple, que la cessation des forces motrices laisse subsister intégralement la vitesse actuelle du mobile, on ne pourrait plus dire que, ces forces venant à disparaître, le mouvement se continuera d'une manière

uniforme, avec une vitesse mesurée par f{i). La définitioD serait donc en défaut. Or, si la loi d'inertie était différente de ce qu'elle est réellement, en quoi cette circonstance influerait-elle sur l'idée naturelle que nous nous formons de la vitesse d'un objet en marche ^ ? De même, si la loi d'indépendance des mouvements était autre que l'expérience ne nous l'a révélée , le mouvement produit par une force constanle ne serait plus uniformément accéléré. La force accélératrice du mouvement varié ne serait donc pas représentée par la dérivée seconde de l'espace parcouru. Nous n'en aurions pas moins la notion de la valeur déterminée d'un effort variable, à un moment donné.

Qu on songe combien de semblables détours parattraî^aift pénibles, s'ils n'étaient pas dissimulés par les habiletés d'analyse du premier géomètre du siècle !

Ce n'est pas tout encore. Non-seulement il faut , en biea des cas, contraindre les notions naturelles pour approprier les questions au calcul, — car ce n'est plus le calcul qui est approprié aux questions, — mais, lorsque le problème se complique, l'instrument même cesse d'être maniable. Rica de plus significatif à cet égard que l'exemple offert par soa propre inventeur. Lagrange lui-même , malgré sa prodigieuse facilité, n'a pu conserver sa méthode, et a suivi exclusivement celle de Leibnitz dans le système entier de sa Mécanique analy, tique.

100. — Cela nous prouve que les artifices mis en œuvrepar les plus grands esprits ne suffisent point pour suppléer

^ Voir pour plus amples développements mon Traité de mécanique nr- Uonnelle, 1. 1*% p. 43.

les conceptions fournies par la nature même des choses. Les notions de limite et d'infiniment petit sont en rapport direct avec les phénomènes, et correspondent à des objets dont la considération se présente d'elle-même à Tesprit. Il faut donc les accepter franchement, et ne pas les rejeter sous le prétexte qu'elles n'interviennent pas dans l'analyse ordinaire. Chaque branche de la science est caractérisée par les conceptions spéciales qui lui servent de bases, et Ton ne doit pas s'étonner que l'analyse infinitésimale ait les siennes propres. C'est en se plaçant à un semblable point de vue que les théories peuvent être édifiées avec rigueur et sans contraindre les penchants de l'esprit Sous ce rapport, l'effort tenté vainement par l'immortel Lagrange nous paraît offrir un précieux enseignement.