APERÇU DE LA MÉTHODE DE LAGRANGE

95. — On remarquera que dans cet exposé des diverses phases de Tanalyse infinitésimale, nous n'avons pas parlé de la méthode de Lagrange, qui occupe pourtant une si grande place dans l'histoire des mathématiques. Cette omission est volontaire. Une semblable méthode ne pouvait, en effet, faire partie d'une exposition de l'analyse infinitésimale proprement dite, puisqu'elle a précisément pour objet de rejeter toute espèce d'idée de l'infini, et d'y suppléer par des considérations purement algébriques.

Ce grand géomètre, préoccupé des difficultés soulevées par l'analyse leibnitzienne , et désireux dy mettre un terme, repoussa à la fois la notion des limites et celle des infiniment petits, comme devant rester étrangères à Tesprit

de Tanalyse, laquelle, disait-il, « ne doit avoir d'autre t< métaphysique que celle qui consiste dans les premiers « principes et dans les premières opérations du calcul. » Il est visible néanmoins que Tidée des limites, et par suite celle des infiniment petits, qui^ n'en est que la reproduction sous un autre aspect, loin d'être introduite artificiellement dans le calcul , est suggérée par la nature même des choses, et qu'il ne nous appartient pas de la rejeter. Nous l'avons reconnu tout à 1 heure, pour les infiniment petits : la notion en est aussi légitime que celle de variable. J'en dirai autant des limites. On les retrouve au fond de nos conceptions les plus essentielles. Sans elles, par exemple, comment définir la vitesse, dont l'idée, plus ou moins confuse, existe dans tous les esprits? Je crois impossible de concevoir la vitesse du mouvement varié autrement que comme limite du rapport de l'espace parcouru au temps employé à le parcourir, à mesure que cet espace et ce temps diminuent indéfiniment ^ £n vain a-t-on essayé

* Voici comment je me suis exprimé à cet égard dans mon Traité de

ds mécanique rationnelle (t. I*', p. 10): « La définition V = -r- (ou

a lim -) n'est autre chose que la précision mathématique donnée à ridée

« instinctive que chacun de nous se fait'dela vitesse^en dehors de toute

« considération scientifique. Car si nous voulons apprécier la vitesse d'un

« objet en marche, notre premier sentiment nous porte à mesurer l'espace

« parcouru pendant un temps assez court, et à prendre le rapport de cet

« espace à ce temps pour expression de la vitesse. Nous concevons

« d'ailleurs très-bien que nous avons une connaissance d'autant plus

« exacte de cette vitesse que l'espacejmesuré a une moindre longueur. En

« sorte que, finalement, si nous voulons aller au fond de& choses et voir

« en quoi consiste véritablement notre notion instinctive de la vitesse,

As « nous reconnaissons que c'est précisément la limite idéale du rapport — -

de se passer de la notion de limite, en appdant vitesse d'an mouvement varié la vitesse du mouvement uniforme qui s'établirait, si toutes les forces motrices cessaient subitement leur action. Une telle définition a le vice radical dlmpUquer la (Connaissance de la loi d'inertie, dont elle doit rester indépendante : les lois ne peuvent servir qu'à ealeuler les quantités et nullement à les définir^,

96. — Lagrange a entièrement fondé sa méthode sur la théorie du développement des fonctions en séries.

Il commence par établir que toute fonction, algébrique ou transcendante, de la forme /"(ar+A), peut être développée en une série ordonnée suivant les puissances positives, entières et ascendantes de A, et qu'on a dans lous les cas :

cette série étant terminée ou non, selon la nature de la fonction f(jc-{-h).

Quant aux fonctions cy(a?), ^'C^)» x(^)r--- qui servent de multiplicateurs aux puissances de A, et qui en sont indépendants, Lagrange démontre qu'elles se rattachent les unes aux autres par nne loi constante, c'esl-à-dire que ^(jv) dérive de (sfx) comme (sfx) de /(a?), et x(^) dérive de ^(x) comme ^{x) de (sfje) ; et ainsi de suite. De telle

« dont nos observations matérielles cherchent à se rapprocher de plus en « plus. •

* 11 faut étudier celte méthode dans les ouvrages mêmes de Lagrange : Théorie des fonctions analytiques et Calcul des fonctions.

MÉTBODE INFinmiSUIALE. 255

sorte que si Ton sait dériver de la fonctkm donnée la première fonction (f(^), on saura dériver successivement toutes les autres. Cette loi de dérivation est précisément celle qu'on établit d'après d'autres cx)nsidérations dans le calcul difiërentiel. Lagi*ange obtient ainsi pour l'expression de (f(â7) la même fonction trouvée précédemment pour représenter la limite du rapport des accroissements des deux variables^ ou ce qu'on a nommé la fonction dérivée. Le développement ci-dessus prend la forme connue :

nxi-h)=fix)+r{x)h+r{x)^+r{x)

Cette série n'est autre que celle de Taylor, et se trouve ainsi établie par des considérations directes et indépendamment de toute notion de limite et d'infiniment petit. Les dérivées dont on y fait usage ont un caractère purement algébrique, ce qui remplit le but que l'auteur s'était proposé.

97. — Reste à voir maintenant comment cette nouvelle conception des fonctions dérivées peut s'adapter à la solution des divers problèmes.

C'est ici la pariie vraiment faible de la ifiéthode, et qui présente d'insurmontables difficultés à son application*.

* Il y aurait aussi bien des choaes à dire sur la démonstration ellemême de la série de Taylor, telle que la donne Lagrange. Cette démonstration est loin d'être inattaquable. M. Coumot a présenté, à ce sujet, d'excellentes réOexions dans son Trcité élémtntaire de la théorie des fonctions ; je citerai notamment le passage suivant : (tome 1*% p. 178). « Le dévelop- « pement en série n'a de sens que lorsqu'il mène à une série convergente ,

Car, étant écartées les notions de limite et d'infiniment petit, il faut, de toute nécessité, ramener chaque question à une forme telle qu'on soit conduit à considérer le développement qu'affecte une fonction quand la variable reçoit un accroissement fini quelconque. On pressent combien doit être gênante une pareille sujétion ; car s'il est des questions où le développement de la fonction se présente naturellement (comme dans la théorie des contacts de divers ordres) il en est d'autres, en plus grand nombre, où ce point de vue ne peut être introduit qu'artificiellement et en altérant la vérité des choses. Pour faire comprendre notre pensée, nous nous bornerons à citer un des exemples où la difficulté passe pour avoir été le plus heureusement résolue : celui de la détermination de la vitesse et de la force accélératrice dans le mouvement varié.