LIMITES ET LNFINIMENT PETITS

8. Quand les valeurs successives d'une quantité variable approchent indéâniment d'une quantité fixe et déterminée, de manière à en différer aiusi peu qu'on le veut, cette quantité fixe est dite la limite des valeurs de la variable.

C'est ainsi que l'aire d'un cercle est la limite des polygones inscrits et circonscrits ; que le cône est la limite des pyramides inscrites et circonscrites ; que la parabole est la limite des ellipses doîit le grand axe augmente indéfiniment ; que l'asymptote à l'hyperbole est la limite des tangentes dont le point de contact s'éloigne indéfiniment du sommet, etc., etc.

Pour être assuré qu'une quantité fixe est la limite d'une variable, il ne sufiît pas de constater que la différence diminue de plus en plus ; il faut encore prouver que cette différence peut devenir moindre que toute quantité donnée. Par exemple, toute parallèle à la direction de l'asymptote satisferait à la condition que les tangentes en approchent do plus en plus ; cependant ce ne serait pas là une limite,

parce que la diflerence entre ces tangentes et la parallèle en question ne pourrait pas être rendue moindre que la distance qui sépare la parallèle de l'asymptote. De même les polygones inscrits dans un cercle ne sauraient avoir pour limite tout autre cercle concentrique au précédent, si minime d'ailleurs que fût la différence des rayons des deux c^ercles.

Cette condition essentielle que la différence entre la limite et la variable soit susceptible de descendre audessous de toute grandeur assignée, a pour conséquence immédiate qu'une variable ne peut avoir qu'une seule limite. On conçoit dès lors que, la loi des variations d'une quantité étant connue, la limite, s'il en existe, se trouve parfaitement déterminée : biea qu'on puisse, à la vérité, ne pas savoir la calculer efifectivement.

Il ne faut pas confondre la définition que nous venons de donner de la limite, avec Tacception attribuée quelquefois — mais à tort — au même mot, pour désigner la plus grande ou la plus petite valeur que puisse recevoir la variable. C'est dans ce sens qu'on dit que le diamètre est la limite des cordes du cercle, que le rayon est la limite des sinus et des cosinus, etc. Nous n'emploierons jamais le mot dans cette acception. Ce qui caractérise la limite telle que nous l'avons définie, c'est à la fois que la variable puisse en approcher autant qu'on le veut^ et néanmoins qiïelle ne puisse jamais V atteindre rigoureusement; car, pour qu'elle Tatteignît en effet, il faudrait la réalisation d'une certaine infinité, qui nous est nécessairement interdite. Ainsi, pour que les polygones se confondissent exactement avec le cercle, il faudrait que le nombre des côtés devînt infini; pour que la tangente à l'hyperbole coïncidât avec l'asymptote, il faudrait que le point de contact fut reculé à

De Freycinet. —Ana?. i/i^n. 2

l'infini. La condition d'infinité, mise à ces énoncés, leur enlève toute espèce de sens; aussi doit-on s'en tenir à l'idée d'une approximation indéfinie, c'est-à-dire de plus en plus grande à mesure que le nombre des côtés du polygone ou l'éloignement du point de contact de l'hyperbole augmente davantage.

9. A la notion de limite correspond, dans le langage, une particularité intéressante : celle de deux définitions complètement distinctes, et dont les objets tendent néanmoins à se confondre. Il n'y a là rien que de fort explicable.

Définir un objet, c'est en marquer des caractères tels qu'il ne puisse être confondu avec aucun autre. Si la confusion était possible, la définition serait nécessairement fausse ou incomplète. Quand on définit l'ellipse : Le lien des points dont les distances à deux points fixes font une somme constante ; et la parabole : Le lieu des points qui sont à égale distance d\m point fixe et d'une droite donnée, on satisfait évidemment aux conditions logiques d'une bonne définition; car l'ellipse et la parabole se trouvent parfaitement distinguées Tune de l'autre. Mais, à mesure qu'un des points fixes de l'ellipse s'éloigne davantage, les deux courbes sont de moins en moins séparées. On arrive ainsi à ce résultat extrême que deux énoncés logiquement différents ne représentent plus qu'une seule et même chose. Toutefois, la confusion ne se manifestant qu'à l'infini, il n'y a pas contradiction, et la validité des définitions ellesmêmes n'est nullement infirmée.

Le propre de la limite ' et ce qui fait que la variable ne l'atteint jamais exactement, c'est précisément d'avoir une définition autre que celle de la variable; et la variable de son côté , tout en approchant de plus en plus de la limite ,

ne l'atteint pas, parce qxïelle ne doit jamais cesser de satisfaire à sa définition primitive ^ laquelle, disons-nous, est ' différente. La distinction nécessaire entre les deux définitions de la limite et de la variable se retrouve partout. On le vérifiera aisément sur les divers exemples de limites que nous aurons lieu d'étudier par la suite. Pour n'en citer qu'un seul, des plus usuels, c^lui de la tangente considérée comme limite des sécantes , on voit que la tangente satisfait à la définition de n'avoir qu'un point commun avec la courbe, tandis que le propre de la sécante est, au contraire, d'en avoir deux. Ce fait, que les deux définitions ' sont logiquement distinctes et telles, néanmoins, que les objets définis peuvent s'approcher de plus en plus l'un de l'autre, rend compte de ce que paraît avoir d'étrange, au premier abord, l'impossibilité de faire coïncider jamais deux quantités dont on est maître d'ailleurs de diminuer la différence au delà de toute expression.

10. Une quantité variable n'est pas nécessairement toujours plus petite ou toujours plus grande que la limite dont elle s'approche indéfiniment; il peut arriver, au contraire, qu'elle devienne alternativement plus grande et plus petite que cette limite, en oscillant en quelque sorte de part et d'autre.

Ainsi le rapport du sinus à l'arc tend vers zéro à mesure que Tare augmente; mais chaque fois que l'arc devient égal à un multiple de la demi-circonférence, le rapport est nul et change de signe ; de façon que ce rapport, alternativement positif et négatif, oscille réellement autour de zéro, en s'en écartant de moins en moins, pendant que l'arc augmente indéfiniment.

Il ne faudrait point dire que, la limite en question étant

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zéro, le rapport variable se confond rigoureusement avec cette limite, lorsque Tare est égal à un multiple exact de la demi-circonférence; — et que, par là, se trouve infirmé le principe sur lequel nous avons insisté, à savoir que la variable ne peut jamais coïncider avec sa limite. — Remarquons en effet que, lorsque Tare est supposé égal à un multiple de la demi-circonférence, le rapport dont il s'agit n'a plus aucun sens ; car il n'y a pas de sinus correspondant à un tel arc. Par suite, la quantité variable (le rapport du sinus à l'arc), qui implique l'existence d'un sinus, cesse de satisfaire à sa définition primitive, et c'est pourquoi la limite paraît atteinte contrairement au principe général. Notre illusion à cet égard tient à ce que, pour passer d'un arc un peu plus petit qu'un multiple exact de la demi-circonférence à un arc un peu plus grand, nous passons graphiquement par un point intermédiaire pour lequel, à proprement parler, la variable cesse d'exister avec la ligne trigonométrique qui lui donne naissance.

11. On nomme quantité infiniment petite ou simplement infiniment petit une quantité variable qui peut approcher de plus en plus de zéro, de manière à en différer aussi peu qu'on le voudra, mais sans jamais pouvoir être rigoureusement nulle.

Cette définition rentre dans la définition générale de la limite : elle correspond au cas particulier où la Umite est supposée égale à zéro.

On peut dire aussi que la notion de limite implique l'idée corrélative d'infiniment petit; car de ce qu'une variable en général approche de plus en plus d'une quantité fixe, de manière à en différer aussi peu qu'on le veut, il s'ensuit que la différence entre cette quantité fixe et la variable

tend indéfiniment vers zéro sans pouvoir néanmoins être nulle, c'est-à-dire est une quantité infiniment petite.

Mais afin de ne pas restreindre la portée de la notion, il convient d'envisager l'infiniment petit en lui-même, sans { le rattacher à une limite et à une variable dont il soit la différence. Il y a, en effet, bien d'autres manières de concevoir la génération d'un infiniment petit : on pourrait, par \ exemple, le faire résulter d'une fraction dont le numérateur serait constant et le dénominateur indéfiniment croissant , ou encore d'une puissance dont le degré augmenterait indéfiniment et dont la base serait moindre que l'unité, etc., etc.

L'infiniment petit n'est pas une quantité très petite, ayant une valeur actuelle, susceptible de détermination. Son caractère est d'être éminemment variable et de pouvoir prendre une valeur moindre que toutes celles qu'on voudrait préciser. Il serait beaucoup mieux nonrnié indéfiniment petit; mais la première appellation ayant prévalu dans le langage, nous avons cru devoir la conserver (*).

Par opposition à l'infiniment petit, on nomme quantité infiniment grande ou simplement infiniment grand une quantité qui peut augmenter au delà de toute expression.

L'infiniment petit et l'infiniment grand sont les deux modes extrêmes de la quantité qui, dans ses variations, tend vers le néant ou vers l'infini.

Le rapport d'une quantité finie à un infiniment petit est un infiniment grand, et son rapport à un infiniment grand

( * ) Cette notion de l'infiniment petit a été admirablement développée par Carnot, dans ses Réflexions sur la métaphysique du Calcul infinitésimal {voir notamment pages 16, 17 et 18). Avant ce géomètre, on avait, il faut le reconnaître, des idées assez confuses et même fausses sur la nature des infiniment petits, tels qu'ils sont introduits dans le calcul.

est un infiniment petit : ou, si Ton veut, le produit de ces deux indéfinis opposés est une quantité finie.

12. Les notions de fonction et de variable sont, comme on Ta vu, suggérées naturellement par Tétude des phénomènes et par la résolution des problèmes de toute sorte. Il en est de même de celles de limite et d'infiniment petit. C'est ce que montrent, à chaque pas, les plus simples questions qu'on puisse se proposer.

S'agit-il, par exemple, de la mesure d'un arc de courbe? Tout d'abord et indépendamment des moyens quelconques mis en œuvre pour obtenir une telle mesure, se présente cette question préliminaire :

Qu'est-ce que la longueur d'une ligne courbe?

On ne peut plus répondre, comme pour la ligne droite, que c'est le nombre de fois qu'elle contient^ V unité de longueur (*); car comment concevoir qu'une mesure rectiligne puisse être portée sur un développement curviligne? On se tire ordinairement d'embarras en disant que la longueur de la courbe est celle d'un fil flexible et inextensible qui coïnciderait exactement avec elle et qu'on étendrait ensuite en ligne droite. Mais la difficulté n'est que reculée. En admettant même que le fil soit doué des propriétés physiques supposées (flexibilité et inextensibilité parfaites), reste la question d'assurer sa coïncidence avec la courbe. Il est visible que les moyens employés pour y parvenir se réduisent en définitive à le faire passer par un certain nombre de points de la courbe, et à considérer la coïncidence conune exacte quand les points sont suffisamment rapprochés. Or,

( * ) La mesure de la ligne brisée ne se distingue pas de celle de la ligne droite, puisque chacune de ses parties est individuellement rectiligne.

si grand que soit ce rapprochement, les points n'en sont pas moins parfaitement distincts, et les portions de fil qui les joignent deux à deux, distinctes aussi des portions de courbe dont elles forment les cordes. La coïncidence qu'il s'agissait d'établir revient donc à inscrire dans la courbe un polygone formé d'un très grand nombre de côtés très petits, et c'est la longueur du périmètre de ce polygone qu'on prend pour la longueur de la courbe elle-même. On comprend d'aiUeurs très bien que le résultat ainsi obtenu est d'autant plus près de la vérité que le nombre des côtés est pins grand : en d'autres termes, on envisage la courbe comme la limite des polygones inscrits. Pour justifier ce point de vue, il faut, d'après la définition générale des limites, prouver que la différence entre la longueur inconnue de la courbe et la longueur des périmètres inscrits peut être rendue moindre que toute quantité donnée, en augmentant convenablement le nombre des côtés. Nous n'avons pas à nous occuper, en ce moment, de la démonstration quelconque dont on peut faire usage ; nous aurons occasion d'y revenir plus tard. Il s'agit seulement ici de montrer comment l'idée de limite se présente naturellement à l'esprit et pour ainsi dire sans qu'on la formule explicitement, puisque, dans un cas théoriquement bien simple, la mesure d'une longueur de courbe, la définition même de l'objet cherché, implique la conception d'une limite.

Je citerai d'autres objets dont la définition semble nécessiter cette conception d'une façon plus directe encore. De ce nombre sont la vitesse (dans le mouvement qui n'est pas uniforme), V accélération (dans le mouvement qui n'est pas uniformément varié), la courbure (dans les lignes autres que le cercle), etc., etc. Comment, en effet, définir la vitesse dans un mouvement rectiligne varié, c'est-à-dire dans un

mouvement où les espaces parcourus pendant des durées égales ne sont pas égaux? Nous ne pouvons plus, comme dans le mouvement uniforme, appeler vitesse la longueur parcourue pendant chaque unité de temps, puisque cette longueur varie incessamment. Mais si Ton considère une longueur très courte, comme le mouvement n'a pas dû varier beaucoup dans l'intervalle, on pourra admettre que la vitesse qu'on avait en vue ne s'écarte pas sensiblement de la moyenne obtenue en divisant la longueur par le temps ! écoulé. Nous concevons d'ailleurs fort bien que l'évaluation de cette vitesse est d'autant plus exacte que l'espace mesuré a une moindre étendue; en sorte que, finalement, si nous allons au fond des choses, nous reconnaissons que le terme dont nos observations matérielles cherchent à se rapprocher de plus en plus, est précisément la limite idéale du rapport de l'espace parcouru au temps employé à le parcourir, lorsque cet espace et ce temps convergent indéfiniment vers zéro.

Les mêmes considérations montrent en outre comment la notion d'infiniment petit s'introduit dans l'Analyse. Nous en avons des exemples naturels, soit dans les côtés des polygones inscrits et circonscrits à la courbe, soit dans les longueurs et les durées qui interviennent dans la définition de la vitesse.