CONTINUITÉ. — SOLUTIONS DE CONTINUITÉ

7. On dit qu'une fonction est continue lorsqu'on peut toujours assigner aux variables indépendantes des valeurs assez voisines pour que la différence des valeurs correspondantes de la fonction soit inférieure à toute grandeur donnée.

Les fonctions qui ne présentent pas ce caractère sont évidemment bien moins importantes à considérer, car elles ne sauraient se rapporter à aucun phénomène naturel. Dans l'ordre physique tout s'accomplit sans transition brusque, et les valeurs d'un môme élément phénoménal se succèdent d'une manière graduelle. Cette vérité, reconnue de tout temps, avait donné lieu à l'adage philosophique: Natura non facit saltum.

L'Analyse s'occupe spécialement des fonctions continues. Elle admet aussi, à la vérité, les fonctions dans lesquelles la continuité n'est pas indéfinie, ou qui présentent ce qu'on est convenu de nommer des solutions de continuité, correspondant à certaines valeurs singulières des variables. La continuité doit exister d'ailleurs dans l'intervalle de ces

valeurs singulières. Par exemple, la fonction qui exprime la tangente d'un arc est continue pour toutes les valeurs de Tare plus grandes que et moindres que 90**; la tangente devient négative en passant par une valeur infinie dès que Tangle

est supérieur à 90®. De même la fonction . — est

^ sina — smo;

continue pour toutes les valeurs de x moindres que a; mais

quand Tangle atteint cette valeur, la fonction devient infinie,

pour changer de signe et rester négative jusqu'à ce que x

augmentant toujours passe par la valeur i: — a.

A vrai dire, une semblable discontinuité ne mérite pas ce nom, car en restreignant convenablement le champ des variations de la variable indépendante, la fonction jouit pleinement du caractère de la continuité entre les limites qu'on s'est fixées.

On aurait un exemple de fonction réellement discontinue en posant y = {—ay,a désignant un nombre positif. Si Ton conçoit les valeurs successives de la variable x mises sous

une forme fractionnaire -> la fonction y sera égale à J(—a)^,

Toutes les fois qaep sera un nombre impair et q un nombre pair, la valeur de y sera imaginaire ; elle sera, au contraire, réelle si p est pair. Or, en prenant p eiq suffisamment grands, on peut, tout en faisant varier x très peu, lui attribuer successivement une infinité de ces valeurs fractionnaires qui, déterminant tantôt une valeur réelle, tantôt une valeur imaginaire pour i/, ne correspondent à aucune continuité dans les variations de cette fonction.

Conformément aux usages reçus, nous ne nous occuperons pas des fonctions discontinues.