LES FONCTIONS CONTINUES

16. Avant d* aborder le problème fondamental du Calcul différentiel, je ferai une remarque relative à la présence, dans les équations, des quantités indéfiniment décroissantes qui forment les deux termes du rapport dont on cherche la limite.

En général, ces quantités n'entrent pas directement dans les relations; elles n'y figurent que comme différence de

De Freycinet. — Anal, infin. 3

deux valeurs d'une même variable, qui tendent indéfiniment à se confondre. Quand on calcule, par exemple, la valeur, à un moment donné, de la vitesse d'un mouvement varié, l'espace et le temps qui figurent dans la fonction ne sont pas comptés précisément à partir de ce moment, mais bien à partir d'un moment antérieur ; en sorte que les quantités dont on veut trouver le rapport limite sont les différences indéfiniment décroissantes, entre les valeurs actuelles de l'espace et du temps, et les valeurs ultérieures de ces mêmes variables, qu'on ramènerait ensuite ^ux^ valeurs actuelles. Il ne saurait d'ailleurs en être autrement, puisque l'équation qui exprime la loi du mouvement doit exprimer cette loi à tout instant de sa durée.

Nous supposerons donc désormais que les termes du rapport sont formés par les différences respectives des valeurs attribuées aux variables de la question.

17. Nous voilà amenés à calculer, pour une fonction quelconque, la limite vers laquelle tend le rapport des accroissements de la fonction et de la variable (*), lorsque ces accroissements convergent indéfiniment vers zéro ; ou, en d'autres termes, d'après les définitions précédentes (11), lorsque ces accroissements sont supposés infiniment petits.

Et tout d'abord, cette limite existe- t-elle? Est-on assuré,

( * ) Nous employons le mot accroissement pour désigner la différence des valeurs successives de la fonction, quoiqu'il puisse très bien arriver que la seconde valeur soit inférieure à la première, ou que-la fonction diminue tandis que la variable est supposée augmenter. Il serait préférable de désigner la différence, qui peut ainsi être négative, par le terme générique de variation. Mais ce dernier mot ayant reçu une autre acception dans le Calcul des Variations, on conserve celui d'accroissement comme synonyme de différence. Il faut seulement se rappeler que cet accroissement peut aussi bien être négatif que positif.

a pnori^ que le rapport dont il s'agit converge vers une valeur finie, quelle que soit la fonction?

Il n'est pas difficile de le vérifier sur divers exemples ( * ) .

(*) Soit, je suppose, la fonction particulière x* h- px -t- q, dont je désigne la valeur par y. Si j'attribue à x une valeur différente, x-^h, la nouvelle valeur, y -+- ft, de la fonction sera exprimée par

La différence entre ces valeurs, ou

(X^- /l)«H-p(X-{-/l)H-(7 — (x»H-px H-<^),

représentera Taccroissement k de la fonction, correspondant à Taccroissement h de la variable. La limite du rapport j sera égale à la limite vers laquelle tend la valeur de la fraction

(x-4-/i)*-f-p(x-+- h) WQ — fx*-i-px-4-^) -h h '

lorsque h converge vers zéro.

Si Ton effectue les calculs indiqués, on trouve que cette fraction se réduit à la quantité

laquelle a visiblement pour limite 2x h- p, puisque h a pour limite zéro.

Soit encore la fonction y— asinx. On a

y -^ k — asin(x h- h)

k g sinfx -t- h) — a sinx a sinx(cos/t — 1) -t-acosxsin/i h'^ h ~ h

— 2asinxsin*j/i ■+■ «cosx sin/i

n • «Il sin-j/i .

— 2asinx sm? h — ,~ — h acosx

sin/t

Or, lorsque h tend vers zéro, ^^^^ et ^^ tendent respectivement

vers -j et 1, et sin-j-h tend vers zéro; donc la limite du dernier membre est acosx.

Mais cela ne suffit pas, puisque cette vérification ne peut embrasser toutes les fonctions imaginables. Voici la démonstration générale, donnée par M. Duhamel dans ses Éléments de Calcul infinitésimal (t. P"*, p. 94) :

« Soit y une fonction quelconque d'une variable x, assu- » jettie seulement aux conditions suivantes : l'' que, lors- » qu'on donne un accroissement h h x, il en résulte un » accroissement k de y, qui tende vers zéro si Ton fait n tendre h vers zéro; 2<* qu'à partir de toute valeur de x on » en puisse prendre une autre qui en diffère d'une quantité » finie déterminée, telle que si x varie dans le même sens, » dans l'intervalle compris entre elles, y varie constamment » dans un même sens, c'est-à-dire toujours en augmentant » ou toujours en diminuant (*).

» Gela posé, il est facile de démontrer que. dans ces » conditions, pour toute valeur de x il existe une limite . » finie pour le rapport des accroissements infiniment petits » h et k\ c'est-à-dire qu'il ne peut y avoir que des valeurs

( * ) La première de ces deux conditions est évidemment réalisée dans les fonctions dont nous sommes convenus de nous occuper. Si Ton se reporte à ce que nous avons dit au n* 7, on reconnaîtra sans peine que Thypothèse de la continuité n'est autre chose que celle d'après laquelle l'accroissement de la fonction converge vers zéro en même temps que Taccroissement de la variable.

Quant à l'autre condition, elle ressort aussi, implicitement, de rhypothèse de la continuité; car si l'on admet que la fonction ne varie jamais par soubresauts, mais d'une manière graduelle, il est visible que ses variations sont réparties en périodes, tantôt de croissance continue, tantôt de décroissance continue ; et, quelque limitée que soit chacune de ces périodes, on pourra toujours prendre des valeurs de x assez rapprochées pour que les variations correspondantes de y soient comprises dans une même période de croissance ou de décroissance. Les valeurs de x ainsi choisies diffèrent d'ailleurs entre elles d'une quantité finie, puisque, en vertu de la première condition, l'accroissement de la fonction serait infiniment petit si la différence des valeurs de la variable était infiniment petite.

» exceptionnelles de x pour lesquelles ce rapport croisse w ou décroisse indéfiniment.

» En effet, soient Xo, X deux valeurs de x satisfaisant » aux conditions ci-dessus indiquées; y© j Y les valeurs » correspondantes de y ; partageons l'intervalle X — a?o en » n parties égales, que nous désignerons par h^ et soient » Al, Ajj, kz, ...^ kn les valeurs correspondantes des accrois- » sements positifs de 1/ ; on aura

X — iCo = n/i, Y — î/o — /ci H- /Cî H- As H- . . . 4- A« ; » d'où résulte

X — Xo n

» c'est-à-dire que le rapport invariable des accroissements

» finis de x et de y, quand on passe de a?o à X, est la

» moyenne arithmétique des rapports-^? j-y ' "^ ~r^ î^^l

» que soit le nombre entier n.

» Si maintenant on fait croître n indéfiniment, les » termes de ces rapports tendront vers zéro, et leur » moyenne arithmétique étant toujours égale à la quantité

» finie :^^ — —^ il est impossible qu'ils tendent tous vers

A — Xq

» zéro, ou qu'ils croissent tous indéfiniment.

» Cette conclusion, relative à l'intervalle X — a?o, pou-

» vaut être appliquée à toute partie de cet intervalle, il

» s'ensuit qu'il est impossible que, dans aucun intervalle

k » fini, la valeur de t tende vers zéro ou croisse indéfini-

» ment pour toutes les valeurs de x. Ce n'est donc que pour

k )) des valeurs exceptionnelles et en nombre limité que j-

» peut ne pas avoir une valeur finie : ce que nous voulions » établir.

» Nous avons supposé dans ce raisonnement que ^ — —

» avait une valeur finie. En ne s'assujettissant pas à cette

» condition, voyons s'il est possible que toutes les valeurs

k » de r tendent vers zéro ou croissent indéfiniment.

» Si tous les rapports tendent vers zéro, leur moyenne

» y tendra nécessairement, et, comme elle est constante,

f> Et comme il en sera de même si l'on considère Tinter-

» valle entre Xq et toute autre valeur choisie entre Xq et X, il

» en résulte que toutes les valeurs de y correspondant aux

» valeurs de x comprises entre Xo et X sont égales à i/o. La

» fonction désignée par y ne serait donc autre chose qu'une

k » constante, et l'on voit alors que non seulement j- tendra

» vers zéro, mais qu'il sera toujours rigoureusement nul.

k » Si maintenant tous les rapports -r croissaient sans

» limites, les rapports réciproques -r tendraient tous vers

» zéro ; auquel cas tous les

» rapports -r seraient rigoureusement nuls, et l'on dirait

k )) que les rapports -r sont tous infinis. »

La démonstration qui précède prouve Vexlstence de la limite du rapport, mais elle ne prouve pas qu'on sache la

calculer effectivement, ni même qu'elle soit susceptible d'être exprimée analytiquement. En d'autres termes, nous ne pouvons pas encore affirmer que cette limite est toujours représentée par une fonction analytique. Ce dernier fait résultera d'un autre ordre de considérations. Toutefois nous le supposerons établi dès maintenant.