DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES

18. La valeur finie ^ on vient de le voir, vers laquelle converge le rapport des accroissements des variables y et a?, est nécessairement une fonction de x ; car cette valeur doit changer avec les valeurs de a? et de 1/ à partir desquelles sont pris les accroissements, et elle ne peut changer que d'après ces variables. Nous supposerons, en outre, comme nous l'avons déjà dit, que cette fonction est analytique. On lui a donné le nom de fonction dérivée, ou simplement de dérivée, parce qu'elle dérive suivant certaines lois — que le Calcul différentiel a précisément pour objet d'établir — de la fonction donnée, laquelle est, par opposition, nommée fonction primitive.

On représente, dans les formules, la fonction dérivée par la même notation que la fonction primitive, affectée d'un accent. Ainsi y' ou f[x) désigne la dérivée de y ou de f[x)\ elle s'énonc'e usuellement y prime ou fonction prime de X, le mot prime signifiant que c'est la première fonc-

lion issue de yonàef(x){*). Les accroissements des variables sont désignés par la caractéristique A placée devant la variable : Ix et â^y sont les accroissements de x et de y. La limite vers laquelle tend une quantité se représente par

Tabréviation lim écrite devant la quantité : lim -^ désigne

la limite du rapport des accroissements de y et de a?, lorsque ces accroissements convergent vers zéro ; et Ton a par défi-

nition

lim-^ :w' ou rfxi.

19. Puisque la limite du rapport des accroissements de la fonction et de la variable est exprimée par une certaine fonction que nous avons appelée dérivée, ce rapport luimême, quand les accroissements ont des valeurs finies, diffère de la dérivée, et en diifère d'autant plus que les accroissements ont des valeurs plus éloignées de zéro. On peut donc poser

a étant une quantité variable qui diminue avec Ix, et qui a pour limite zéro.

On déduit de là

A|/ =: f^[x) \x -h OL Aj?;

ce qui nous montre que Taccroissement d'une fonction, \ correspondant à un accroissement fini de la variable, est composé de deux parties : Tune, qui est le produit de la

(*) Nous verrons en effet plus tard que d'autres fonctions peuvent être issues de la fonction primitive, et qu elles sont désignées par un nombre d'accents correspondant à leur rang.

dérivée par Taccroissement de la variable ; l'autre, qui est le produit de ce même accroissement par une quantité qui tend vers zéro en même temps que lui.

La première partie, qui forme la portion principale de la différence Ay, a reçu le nom de différentielle , mot qu'on peut considérer comme provenant de la contraction de ceux-ci : différence partielle^ ce qui en rappelle suffisamment Torigine. Cette différentielle est indiquée dans les formules par la caractéristique d placée devant la quantité j ainsi dy représente la différentielle de y ou f^(x) A.t. On a

et

dy^r(x)ix ou r(^)=^

Aw \y =idy -i- (x\x ou -7^ r=z 1 -+-

dy f[x)

La variable indépendante x n'a pas de différentielle, ou plutôt sa différentielle n'est pas distincte de son accroissement (*). Rien n'empêche dès lors, pour la symétrie des écritures, de remplacer Ax par do?, dans toutes les formules où figure dy. Les relations ci-dessus deviennent

dy^r{x]dx ou r{x]^^^

\y z=i dy -h OL dx ou -r^ = 1

dy r(x)

{ ' ) L'identité de la différentielle et de l'accroissement, en ce qui concerne la variable indépendante, n'a rien de contraire à la définition générale de la différentielle. Si l'on considère x comme une fonction — la plus simple, à la vérité, qui se puisse concevoir — de la variable x, la dérivée de cette fonction ou la limite du rapport des accroissements de la fonction et de la variable sera évidemment égale à 1, car elle est exprimée, d'une manière générale, par

lim ou par lim — ; et la différentielle, qui est le produit

de la dérivée par l'accroissement de la variable, se trouve représentée simplement ici par l'accroissement lui-même.

La relation dy=:f(x)dx nous montre qu'il revient au même de chercher la différentielle ou la dérivée d'une fonction. C'est ce qui a fait donner le nom de differentiation à l'opération qui a pour objet la recherche des limites de rapport, et le nom de Calcul différentiel, à la science qui traite des fonctions dérivées (15).

Pour le même motif, on appelle quelquefois la fonction dérivée quotient différentiel, parce qu'elle est égale au quotient des deux différentielles.

Les relations précédentes montrent encore que le rapport de l'accroissement de la fonction à sa différentielle converge vers l'unité, en même temps que l'accroissement de la variable tend vers zéro. En effet le terme additionnel

diminue en même temps que dx et s'annule avec lui.

On peut dire aussi que la différence entre l'accroissement de la fonction et la différentielle est infiniment petite par rapport à ces quantités, supposées elles-mêmes infiniment petites. Car cette différence a pour expression a dx^ et le

rapport de ce produit à dy, ou 777— r> est une quantité infi-

niment petite, puisque a tend vers zéro en même temps que dx.

Il est à remarquer que la définition de la différentielle de la fonction n'implique aucune hypothèse particulière sur l'ordre de grandeur de cette même différentielle. Celle-ci peut être aussi bien supposée finie qu'infiniment petite ; car quelle que soit la grandeur attribuée dans les formules à Ax ou dx, la relation dy=zf'(x)dx subsiste toujours, puisque c'est là une relation de définition.