DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES DE DIVERS ORDRES

31. La dérivée d'une fonction étant elle-même une fonction, on est naturellement amené à considérer la dérivée de cette dérivée, et à la rattacher à la fonction primitive. On la nomme dérivée seconde delà fonction primitive. De même la dérivée de la dérivée secondo forme la dérivée troisième, etc.. etc. En général, la dérivée d'un certain ordre est la dérivée de la dérivée de l'ordre précédent. Elles sont distinguées, dans les formules, par des accents en nombre égal à celui qui marque l'ordre de la dérivation. Ainsi r(x), f'^(x),... représentent respectivement les dérivées seconde, troisième, etc.

Les différentielles forment une succession analogue. On distingue des différentielles seconde, troisième, etc., qui sont, chacune, la différentielle de la différentielle précédente. La différentielle n'*"* signifie la différentielle de la différentielle n — l'*"*. On les représente dans les formules en inscrivant à droite de la caractéristique d le numéro d'ordre de la différentiation. Ainsi d*y, d*y, . . . désignent les divers ordres de différentielles de la fonction primitive.

La définition de la différentielle première (simplement nommée différentielle) entraîne la relation

dy=r-f'(x)dx;

ou plutôt cette relation n'est que l'expression même de la définition (19).

La définition des différentielles seconde, troisième, etc., n'entraîne, immédiatement, aucune relation analogue. En effet, la différentielle seconde, par exemple, n'est point définie le produit de la dérivée seconde par V accroissement de la variable (*), mais bien la différentielle de la différentielle première; ce qui est tout différent. Pour déduire de là une relation quelconque entre la différentielle et la dérivée, il est nécessaire de savoir effectuer les opérations indiquées par la définition, c'est-à-dire de savoir trouver la différentielle d'une différentielle.

C'est à quoi nous réussirons aisément au moyen des propositions déjà démontrées.

Cherchons, par exemple, la différentielle de dy ou de f^(x) dx.

(*) Évidemment rien n'empêcherait de considérer des différentielles ainsi définies, et d'appeler différentielle du n»*"* ordre le produit de la dérivée n**"' par l'accroissement de la variable indépendante. Toute définition est, de sa nature, arbitraire ; il suffit, une fois qu'on l'a établie, d'y rester fidèle par la suite. Mais cette condition, dont se contente la pure logique, ne suffit point pour les sciences. Il faut encore que les objets définis soient utiles à considérer, c'est-à-dire qu'ils correspondent à des réalités phénoménales; sans cela l'étude des objets définis serait sans application possible. C'est à ce rôle stérile que seraient réduites les différentielles des divers ordres, définies comme nous venons de le dire. Tandis qu'au contraire les différentielles, telles qu'on les a adoptées, correspondent, comme il sera facile de s'en convaincre, à des réalités intéressantes, ou s'introduisent naturellement dans les formules mathématiques des phénomènes.

CALCUL INFiNITKSIllAL. 75

On sait, d'après la règle relative à la différentiation des produits de fonctions, que d[f^(x)xdx]est égal à

dxdf'[x) -\- f'[x] ddx.

Si nous supposons, ce qui est toujours permis, que les accroissements successifs attribués à la variable indépendante X sont égaux, ou que dx est constant, la différentielle de dx sera nulle , et par suite le second terme de la quantité cidessus disparaîtra. Quant à la différentielle de f'(x), elle est égale, en vertu de la définition générale des différentielles premières, au produit de l'accroissement dx par la dérivée de f(x) ou par f" (x), c'est-à-dire à f"(x) dx. On a donc

d[d/y] ou d*y — d[f\x] dx] :^--f"[x] dxK

On trouverait de même

d^y^r[x]dx^ et en général

d'' y = ['<'') [x] dx"" .

Il résulte de là que les diff'érentielles des divers ordres sont respectivement égales au produit des dérivées par les puissances, du même ordre, de l'accroissement de la variable; ou que les dérivées des divers ordres sont respectivement égales au quotient des différentielles par les puissances correspondantes de l'accroissement.

32. La dérivée première est définie la limite du rapport de V accroissement de la fonction à V accroissement de la variable^ lorsque ce dernier converge vers zéro,

La dérivée seconde est définie la dérivée de la dérivée

première^ ou la limite du rapport de l'accroissement de la dérivée première à l'accroissement de la variable.

De cette définition il ne découle aucune relation immédiate entre la dérivée seconde et Taccroissement de la fonction primitive ; car on ne discerne pas, à priori, de quelle manière Taccroissement de la fonction primitive peut être lié à Taccroissement de la dérivée première. Il existe cependant, entre l'accroissement d'une dérivée d'ordre quelconque et celui de la fonction primitive, une relation très intéressante, que nous allons établir.

Supposons que dans la fonction donnée on attribue à x une série d'accroissements égaux ( c'est ce que nous avons déjà admis pour rattacher entre elles les dérivées et les différentielles des divers ordres); la fonction prendra une série de valeurs correspondantes :

Si je représente respectivement par Ay, At/i, Ai/a, . . . , Ay» les accroissements successifs de la fonction, entre ces diverses valeurs, on aura

.^y^Vi — y, ^yi — yz~yi, ..., ^yn — yn^x—yn-

Représentons par A'y la différence entre deux accroissements consécutifs Ai/, Ayj, c'est-à-dire l'accroissement de 'accroissement Ay lorsqu'on passe de l'intervalle yj — y k l'intervalle yz — yj. — Pour rester fidèle à la notation déjà adoptée, cet accroissement d'une nouvelle espèce doit, en effet, être désigné par A(A|/) ou plus simplement par A't/; de même que pour les différentielles on désigne d[dAi] par d*t/. On aura par définition

A*2/ =^ Aî/2 — Ay — yj — y, — (yj — y ) ,

CALCUL INPINITÉSIIIAL. 77

et par suite

Ix^ àx

Actuellement, faisons décroître Aa? indéfiniment, et voyons vers quelle limite converge le second membre. La

quantité % qui représente le rapport de Taccroisse-

ukX

ment de t/j à Taccroissement Aa;, aura pour limite la dérivée de i/j, c'est-à-dire la dérivée de y-H Ay, ou enfin /'(x -h Ao;),

puisque y h- Ay — /'(a? -h Air). De même, la fraction ^^ — '-

a pour limite /*'(a?) . En sorte que la limite du second membre

est celle de — ^ — ILLJ — Mais cette fraction n'est

Ax

autre que le rapport de l'accroissement de la fonction f'(x]

à l'accroissement Ax. Elle a donc pour limite la dérivée de

f^(x) ou r{x). Finalement nous trouvons

lim0 = m.

En prenant la difiFérence entre A*i/ et A*t/j, et désignant par A' y cet accroissement de troisième espèce, on verrait, par

un raisonnement analogue, que la limite de ^ est égale

k ['"(x). D'une manière générale on conclurait

lim^ = fi''){x].

àx"^

Pour donner un énoncé isimple à cette relation remarquable, on est convenu d'appeler :

Différences premières^ les accroissements Ay, Ayj, Aya , . . . ;

Différences secondes^ les différences des différences premières, c'est-à-dire les quantités A*y, A*i/j, A*y3, ... ;

Dififérences nî^^es ^ les différences des différences n — 1 '^^^^^ , c'est-à-dire les quantités A^y, A'*!/,, A'*i/3,

D'après ces définitions, le théorème que nous venons de démontrer s'énonce ainsi :

La dérivée d'un ordre quelconque est égale à la limite du rapport de la différence du même ordre à la puissance correspondante de l'accroissement de la variable.

Par là se trouve établie une analogie complète entre hi dérivée première et toutes les autres dérivées, puisque la dérivée première marque précisément la limite du rapport de la différence première à la puissance simple de l'accroissement de la variable.

La relation générale

fournit des conséquences analogues à celles que nous avons obtenues au n** 19 pour la dérivée première.

On en déduit immédiatement

a étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que Aa?. De là résulte

et

d"y On peut dire aussi que la différence du n»èmc ordre est

égale à la différentielle du même ordre, sauf un infiniment petit de Tordre n -h 1 .

Il est bien remarquable que les dérivées, supérieures à la première, étant définies sans se préoccuper des accroissements de la fonction primitive, et, d'autre part, les différences, supérieures à la première, de la fonction primitive, étant définies sans se préoccuper des dérivées, on trouve entre ces quantités une relation aussi simple et aussi harmonique que celle qui constitue la définition même de la dérivée du premier ordre. Cette circonstance établit, dans la génération des dérivées successives, un enchaînement encore plus étroit que celui qui résulte de leur propre définition. Aussi quelques auteurs , partant de la relation dont nous parlons, ont défini à ce point de vue les dérivées des divers ordres. Mais si Ton adopte cette dernière définition, il faut ensuite démontrer que la dérivée n^^"^®, conçue comme la limite du rapport de la différence n^ème à la puissance correspondante de Taccroissement, est en môme temps la dérivée première de la dérivée n — lîème. Une telle marche nous semble moins directe et surtout moins naturelle, en ce que la conception de la dérivée première ne suffit plus, dès lors, pour la définition des dérivées supérieures.