DIFFÉRENTE TION DES FONCTIONS IMPLIOTES

30. Nous avons admis, jusqu'à présent , que l'équation entre ù: et y était résolue par rapport à y. Supposons ici que cette résolution préalable n'ait pas été' effectuée, et que y soit une fonction implicite de a?, déterminée par une équation de la forme

Il s'agit de trouver la dérivée de y par rapport à a;, sans résoudre l'équation.

On y parvient par une application immédiate du théorème des fonctions composées. Car, y étant fonction de a?, on peut considérer f[x^y] comme une fonction de doux variables, fonctions elles-mêmes de^c, et analogue à f[u^ v), qui a fait l'objet du raisonnement précédent. Mais cettt fonction étant nulle, en vertu de Téquation supposée {[x,y] = 0, il en résulte que la dérivée est nulle aussi; de sorte qu'on a

df , df ^ • — - dx ~t -j-dy--Q\ dx dy ^

d'où

dy dx

dx df

dy

Ainsi la dérivée de y par rapport à x est égale, en signe contraire, au quotient des deux dérivées de la fonction donnée, prises successivement par rapport à a? et à y. Or, le calcul de ces deux dérivées ne nécessite pas que l'équation soit résolue par rapport h. y. On a donc la dérivée de la fonction implicite sans résoudre préalablement l'équation.