INDÉPENDANTES

34. Une question peut, avons-nous dit (4), comporter à la fois plusieurs variables indépendantes.

Dans les fonctions ainsi formées, il y a lieu tantôt de prendre la différentielle par rapport à Tune ou à l'autre des variables, tantôt par rapport à toutes. Dans le premier cas, la différentielle est dite partielle, et dans le second cas, elle est dite totale.

Le premier cas ne peut offrir de difficulté ; car on doit considérer toutes les autres variables indépendantes comme des quantités constantes. On se retrouve, dès lors, en présence de la différentiation des fonctions d'une seule variable.

Le second cas ne nécessite non plus aucun procédé nouveau : c'est une pure application de la* règle démontrée au n** 26. Il suffit de prendre les fonctions composantes les plus simples possible, c'est-à-dire réduites aux variables mêmes, et l'on voit que la difîërentielle totale est égale à la somme des différentielles partielles.

On peut enfin prendre les dérivées successivement par rapport à diverses variables. De là ce théorème :

Le résultat final de plusieurs différentiations successives reste le même quel que soit tordre des différentiations.

Pour choisir l'exemple le plus simple, celui d'une fonction de deux variables indépendantes, z = f(x,y),}e dis que si Ton prend la dérivée de js par rapport à a?, et ensuite la dérivée de cette dérivée par rapport à i/, le résultat sera le même que si l'on avait pris d'abord la dérivée de z par rapport à t/, et ensuite la dérivée de cette dérivée par rapport à X. C'est ce qu'on exprime ainsi :

St^s d^z

dy dx dx dy

Pour vérifier cette relation, il suffit de faire varier x dans la fonction donnée, et y dans la dérivée ainsi obtenue ; on arrive au même résultat final qu'en faisant varier d'abord y dans la fonction et ensuite x dans la dérivée. Nous croyons inutile de nous arrêter davantage à cette démonstration, semblable à celle dont nous avons fait usage au n® 26 pour la différentiation des fonctions de fonctions.

Ce théorème est susceptible d'une interprétation géométrique.

Supposons que z:=f(Xyy) soit l'équation d'une surface.

Faire varier x en laissant y constant revient à prendre les points successifs de la courbe obtenue en coupant la surface par un plan parallèle au plan des zx. Faire varier y en laissant x constant revient à couper la surface par un plan parallèle au plan des zy , Le point de la surface qui correspond à ces deux variations successives est évidemment le même, quel que soit l'ordre dans lequel on les a effectuées.