SÉRIES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN

35. Le Calcul différentiel comporte des développements algébriques, distincts du calcul des limites de rapport proprement dit. Nous nous bornerons à mentionner le développement qui s'y rattache le plus directement, et qui est connu sous le nom de série de Taylor.

Reprenons la fonction !/ = /*( a:), et donnons à a? un accroissement ^x. On a, d'après les notations adoptées,

Al/ ou ^f{x)=f(x-i-^x) — f{x); d'où

f(x-\-^x)r=f(x)+^fix].

Dans cette relation générale, qui subsiste quelles que soient les valeurs de x et de Aa?, remplaçons successivement a; par or H- Aor, .t -+- 2 Aa?, a? -h 3 Aj; , On obtiendra cette

suite d'expressions :

f(x-^2^x)=f(x]-h2^f(x)-\- AY(x-) t*\

f(x -\- S^x) = f[x] -\- 3 A/-(a;) h- 3 AY(^) h- AY(^),

et. d'une manière générale,

f[x -h m A.t;) =iz fyx] -f- m A/*(x) n j— ^ AY(^)

mfrn-lKm — 2)

Convenons de laisser constant le produit m Arr, quelles que soient les valeurs attribuées séparément à m et à Aa?; de telle sorte que, si Tune de ces deux quantités augmente, l'autre devra être diminuée eu proportion. Soit h ce pro-

duit constant, d'où m=i-r — Si l'on fait la substitution

dans la formule ci-dessus, il vient

n ^r.\ /" ^ . i ^/'(^> ■ ^'^h, — ^x\ AV(.r)

^x 1.2 Aa;

h[h — ^x] (h—2^x) AY(.t) "^ 1.2.3 àx' "^ •••

Supposons maintenant que Aa? décroisse indéfiniment :

( * ) Cette relation se déduit de la précédente en faisant dans celle-ci X — 5C + àx. Elle devient en effet, par suite de la substitution,

f{x-^1Ax}- f{x-\-lx) -h Af{x -h Ax),

Si l'on remplace, dans cette équation, /'C x 4- Ajc ) par sa valeur f{x)-\-Af{x), on trouve

f{x-h2àx):-.f{x}~^Af{x)-hà[f{x)-hAf{x)]^-f{x}-h2Af(x)-hA'f{x). Les relations suivantes s'obtiennent avec la même facilité.

les quantités telles que ' ? ^ ? . . . auront respectivement pour limites les dérivées /"'(or), /""(a:), . . . ; les

quantités h — Ax, h — 2 ^x auront toutes pour limite h.

La formule deviendra finalement

fix-^h] r-^fixy-^ hr[x] -+- -,^rv-) -^ oTâ/*"!-^*) -^ • • • •

Telle est la relation connue sous le nom de série de Taylor.

Ce que nous venons de dire touchant la limite commune des quantités h — Ax-, h — 2 Ax, ... ne s'applique pas évidemment aux termes dont le rang dans la série est indéfiniment éloigné. Car dans l'expression de pareils termes entrent des facteurs de la forme h n ^Xy lesquels ne se réduisent plus à h quand n augmente au delà de- toute grandeur. On ne pourrait donc pas affirmer, à priori^ que la série ci-dessus, indéfiniment prolongée, représente le développement exact de f[x-hh]. On est ainsi conduit à rechercher la fonction de a? et de /i qu'il convient d'ajouter à la série, arrêtée à un certain terme, pour reproduire identiquement le premier membre /*( a? -+-/i). Le calcul de ce reste, aussi bien que la discussion des conditions de convergence de la série, sont exposés dans tous les Traités spéciaux (*). On trouve que ce reste peut affecter diverses formes, selon les cas; la plus usuelle est celle-ci :