LA SCIENCE DE LA CAPILLARITÉ

Vers i83o, il s’éleva, au sujet des phénomènes capillaires, un débat scientifique que grandissaient les noms de Laplaceet de Poisson. La théorie contestée, œuvre d’un homme de génie, avait régné près d’un quart de siècle, et passait pour l'une des plus ingénieuses et des plus élégantes de la physique. L’attaque venait d’un géomètre illustre; elle était vive et pressante : Poisson la supposait désastreuse, et, sur le terrain déblayé, il élevait une théorie nouvelle. Entre de telles autorités, beaucoup de bons esprits restaient en suspens.

Les lois découvertes par Laplace semblaient du moins inattaquables, car elles se retrouvaient toutes dans la nouvelle théorie de Poisson , et , dès l’origine, elles avaient reçu d’un physicien excessivement habile la sanction de l’expérience.

Cependant les mesures de Gay-Lussac étaient peu nombreuses et avaient été prises dans des conditions très-restreintes. On voulut les multiplier et les varier, et alors il se trouva que les lois elles-

mêmes, bien que ressortant de deux théories différentes, ne tenaient

pas devant l'expérience.

L'incertitude s’accroissant ainsi, l'Académie des sciences évoqua, en i85a, le procès devant elle, et distribua ses récompenses en 1 863.

Le but de ce rapport est d'indiquer le fond même de la discussion et les principaux résultats qui ont été finalement obtenus.

Malgré les efforts de physiciens distingués et de géomètres éminents, la vraie cause des phénomènes capillaires restait fort obscure, lorsque Laplacc résolut les difficultés de ce sujet délicat et découvrit es lois générales de la capillarité.

D’après l’une de ces lois, l’élévation ou la dépression d'un point quelconque de la surface capillaire par rapport au niveau général du liquide est proportionnelle A la somme des courbures principales en ce point; le coefficient de cette proportionnalité caractérise chaque liquide et varie avec l'intensité de faction moléculaire 1 .

I ne autre loi fait connaître la valeur de l'angle capillaire et montre comment cet angle dépend des actions exercées par le liquide sur lui-même et sur le corps dont le vase est formé 4 .

1 Celle loi s'exprime par l'équation suivante :

(,) — r(s + if)

z es! la distance d'un point quelconque de la surface capillaire au niveau général . Il et R' sont les deux rayons principaux de courbure en ce point; «’ est le coefficient de proportionnalité dont la valeur est

■if"»"

On a désigné par mm' f(p) l'action qu’exercent l'une sur l'autre deux masses élémentaires de liquide, m, m\ lorsqu'elles sont placées h la distance p; 0 est la densité du liquide, et g l'intensité de la pesanteur.

? Si l'on mène nu plan tangent à la surface capillaire en un point de celte surface

DK LA CAPILLARITÉ.

Pour obtenir ces lois. Laplace s’appuie sur deux hypothèses et sur le principe mathématique de l’équilibre des liquides dans les canaux.

11 admet d’abord, ce qui n’a jamais été contesté, que les actions moléculaires varient assez rapidement avec la distance pour devenir très-grandes lorsque la distance des molécules est suffisamment petite, et négligeables quand cette distance est sensible.

Laplace suppose, en second lieu, que les liquides sont incompressibles.

L’hypothèse n’est pas, il est vrai, rigoureusement conforme à la nature des choses, mais cela n’est pas une raison suffisante pour rejeter comme inexactes les conséquences que l’on en déduit. ■ S’il en était autrement, toute la mécanique rationnelle des solides et des liquides se trouverait ébranlée; aucune formule ne résiste-

qui soit situé à une distance insensible de la paroi du vase , niais néanmoins plus grande que te rayon d'activité moléculaire, ce plan fera avec la partie opposée de la paroi un angle qu'on appelle Y angle capillaire. Cet angle est indépendant de la forme de la paroi et son cosinus est donné par la formule

(S) cosa» =

en posant

d ' est la densité de la substance dont ce vase est formé, et / (p) exprime l’action moléculaire du liquide sur le vase, rapportée à l'imité de niasse et à la distance p.

On peut regarder les quantités -- ci - (»«'•— a*) qui entrent dans les équations (i)

et (a), comme deux constantes de la capillarité. La première ne dépend que de la nature du liquide, et la seconde dépend à la fois du liquide et du vase.

rait, pas même celle du pendule, qui suppose l’inextensibililé du Gl.

Cependant c’est sur ce point que portèrent , comme on le verra bientôt, les principales objections de Poisson.

Ces hypothèses étant admises , Lapiace considère un Glet liquide, à section constante, et aboutissant normalement, d’une part, à un point quelconque de la surface capillaire, et, de l’autre, au niveau général. Il énumère d’une manière complète les forces qui sollicitent ce Glet; il applique à ces forces le principe mathématique de l’équilibre des canaux, et il obtient la première loi générale que nous avons indiquée, une des belles découvertes de cet illustre géomètre.

Ce n’est pas un procédé aussi direct et aussi général que Laplace suivit pour déterminer l'angle capillaire. H cherche d'abord quel est le volume soulevé ou déprimé dans le cas particulier d'un tube cylindrique ou prismatique plongé verticalement dans un liquide. Pour en avoir la valeur, il suppose que la surface intérieure du tube soit prolongée dans le liquide , puis recourbée et enGn relevée normalement jusqu'au niveau général; il analvse les forces appliquées au liquide qui est contenu dans le tube et dans le canal fictif; enfin il se sert du principe de l'équilibre dans les canaux. De celte manière, il trouve que le volume cherché est proportionnel au contour intérieur du tube, et il fait voir comment le coefficient de proportionnalité dépend des actions exercées par le liquide sur lui-même et sur la matière du vase 1 .

Dans le cas du tube cylindrique, Lapiace peut déterminer une

' I*e volume Lî du liquide soulevé ou déprimé dans un tube homogène et vertical , déforme intérieure quelconque, est donné par la formule

c désigne le contour intérieur du tube, cl sont les quantités définies par les

équations (a) et (4).

DE LA CAPILLARITÉ, seconde expression du volume soulevé ou déprimé eu s'appuyant sur la première loi générale; il montre de nouveau que le volume est proportionnel au contour intérieur du tube, mais il obtient pour le coefficient de proportionnalité une forme différente de la précédente. Ce coefficient se compose en effet de deux facteurs, dont l'un est le cosinus de l’angle capillaire, et l'autre le multiplicateur du binôme des courbures de la première loi générale 1 .

La comparaison des deux résultats obtenus ainsi donne immédiatement l’expression du cosinus de l'angle capillaire en fonction des actions moléculaires et des densités.

Ce mode de démonstration est sans doute tout à fait suffisant quand il s'agit d’appliquer la théorie à l’explication des phénomènes. Cependant il laisse à désirer au point de vue de la généralité mathématique, l’n travail de Gauss, publié en i83o, a comblé la lacune. Le géomètre allemand se fonde, comme Laplace, sur l’hypothèse de l’incompressibilité. Au lieu d’avoir recours au principe mathématique de l’équilibre dans les canaux, il applique à la masse entière du liquide le principe des vitesses virtuelles, qui a l’avantage de donner en même temps et l’équation générale de la surface capillaire et celle du contour. Gauss retrouve ainsi les lois de Laplace, avec des constantes qui sont les mêmes, lorsqu’on admet que les actions moléculaires deviennent négligeables dès que la distance des molécules est sensible a .

Dans celte dernière méthode, ou n’a pas à faire usage d’une troisième constante, qui joue un rôle important dans les démonstrations de Laplace, mais qui disparait finalement des équations.

1 Dans le cas du tube cylindrique vertical, le volume calculé parla seconde méthode pour expression

a 1 c cos at a

* C’est en comparant les équations (5) et (6) , pour le môme tube, que Laplace obtient l éqiiolion (.‘1). Causa arrive immédiatement aux équations (i) et (3) par une méthode générale.

Il A 1*1*0 K T stlll LKS PUOüHtS

c’est-à-dire de la quantité par laquelle se trouve exprimée l’action qu’un liquide homogène et terminé par une surface plane exerce sur un filet normal, cyliudrique et indéfini 1 .

La science de la capillarité était arrivée à ce degré de perfection, lorsque Poisson fit paraître sa nouvelle théorie. Au lieu de supposer les liquides dans un état abstrait d’incompressibilité, qui n'existe jamais, il les considère comme jouissant de leurs propriétés naturelles.

Alors le problème se présente avec des dillicullés d’un ordre élevé. Tenter de les vaincre était un ell'ort digne de l'éminent géomètre. Mais Poisson ne s’est pas borné à porter des lumières dans ces questions très-obscures, il a réagi contre la théorie de Laplacc et il s’est appliqué à la ruiner de fond en comble.

Le n’est pas dans les lois générales découvertes par Laplace que Poisson chercha un argument contre le mode de raisonnement adopté par son illustre devancier. 11 ne le pouvait pas, puisqu’il trouvait les mêmes lois dans sa propre théorie. Ce sont les trois constantes dont Laplacc fait usage qui lui ont servi de moyen d'attaque.

Ces constantes sont exprimées à l'aide des lois qui régissent les actions moléculaires, et elles ne peuvent pas être calculées numériquement à priori, puisque nous ignorons ces lois. Mais Poisson détermina chacune d'elles à posteriori, en suivant , comme il le suppose, un mode de raisonnement qui convient à l’hypothèse de

1 Si Ton désigne par K<r l’action exercée par un liquide n surface plane sur un filet normal, indéfini cl de section <r, on a pour la valeur de K

( 7 ) fp’/ip)' 1 ?-

Les trois constantes de la lliéorie de Laplacc sont : (sa **- a*)» K.

DE LA CAPILLARITE.

l'incompressibilité des liquides. Or les valeurs qu'il obtient sont évidemment inadmissibles, et Poisson en conclut qu'il fallait rejeter une théorie dont les conséquences étaient contraires à l'observation.

Lorsqu’un liquide est en équilibre, on peut, sans troubler cet équilibre, supposer que les distances des molécules deviennent invariables daus une partie quelconque; et alors, si on isole cette partie, en lui conservant cependant les forces qui lui étaient appliquées lorsqu’elle faisait corps avec le reste de la masse, on aura un solide sur lequel ces diverses forces devront s’équilibrer. C’est en choisissant convenablement trois de ces parties dans la masse totale du liquide, et en exprimant les conditions d équilibre des forces appliquées, que Poisson peut trouver des équations qui contiennent séparément les trois constantes générales de la capillarité et qui en font connaître les valeurs, sans qu’on ait besoin pour cela des lois de l’action moléculaire.

L’une des masses choisies par Poisson est un lilel cylindrique, normal à la surface libre du liquide et d’une longueur jfatè. L’équilibre de cette masse permet de calculer la troisième constante de, la capillarité, c’est-à-dire la quantité qui exprime l’action d’un liquide terminé par une surface plane sur un filet cylindrique , normal et d'une longueur indéfinie. D'après le résultat du calcul, cette quantité perdrait son caractère de constante, deviendrait variable, et pourrait meme passer d’une valeur positive à une valeur négative, suivant l’intensité de la pression atmosphérique et la longueur donnée au filet.

L’objection est .certainement très-grave, et une théorie qui conduirait à un résultat aussi inadmissible devrait être rejetée comme inexacte. Mais voici une autre objection qui est bien plus désastreuse.

En exprimant les conditions d’équilibre d'un filet de longueur

liiiie, de forme non cylindrique et de direction normale à la surface libre, Poisson détermine la première constante delà capillarité, et il trouve que celle valeur est nulle ou insensible. Ainsi donc le binôme des courbures devrait être multiplié par une quantité insensible pour donuer l’élévation ou la dépression de chaque point de la surface capillaire, ce qui aplatirait toujours cette surface et l'abaisserait constamment au niveau général. Les phénomènes capillaires n’existeraient donc pas! Singulier sort d’une théorie qui, au lieu d’expliquer les faits, les réduirait à néant.

C’est en considérant l’équilibre d’une mince tranche de liquide appuyée normalement sur la surface du tube, que Poisson détermine la constante relative à l’angle capillaire. Or cette valeur est telle que le volume du liquide soulevé ou déprimé dans un tube vertical serait indépendant de la nature du tube, et que la surface capillaire serait toujours concave pour l’élévation comme pour la dépression du liquide. Cette dernière conséquence est trop évidemment contraire aux observations les plus élémentaires pour qu’elle ne soit pas rejetée.

Ainsi voilà de graves objections qui, si elles étaient fondées, démoliraient complètement la théorie de Laplace. Reste à savoir si les résultats inadmissibles auxquels Poisson s’est trouvé conduit ne seraient pas dus à la manière particulière et toute personnelle dont il conçoit cette théorie, et non à la théorie même.

Voici maintenant une objection de nature différente et de grande importance. Après ces critiques, Poisson donne une nouvelle théorie des phénomènes capillaires, en tenant compte de la compressibilité des liquides, et il retrouve la première loi générale de Laplace. C’est doue en multipliant le binôme des courbures principales par une constante, que, dans l’une et l’autre théorie, on obtient l’élévation ou la dépression. Mais Poisson déclare que ce multiplicateur constant n’est pas le même suivant que l’on re-

DK LA CAPILLARITÉ.

(;anle le liquide comme compressible ou non ; les bailleurs absolues de chaque point de la surlace capillaire, pour la même valeur du binème des courbures, ne seraient donc pas les mêmes dans les deux théories.

Cette objection serait très- considérable, puisqu'elle tendrait à inspirer de la défiance dans l'emploi de l’ancienne- méthode, en montrant qu’on pourrait être conduit à des résultats inexacts et désavoués par la théorie véritable. Lue objection analogue se reproduit au sujet de la constante qui donne le cosinus de l’angle capillaire.

En examinant les premières objections de Poisson, M. Quet reconnut qu'elles avaient leur fondement dans la manière dont l'éminent géomètre présente la théorie des fluides incompressibles. En effet, il n’y est tenu aucun compte des forces de liaison que l’on est pourtant obligé d’admettre, si l’on veut que des liquides supposés incompressibles soient capables d’appuyer plus ou moins fortement leurs éléments les uns contre les autres et de transmettre les pressions à l’intérieur. La suppression de ces forces de liaison fait disparaître non-seulement les phénomènes capillaires, mais aussi l’hydrostatique, entière et l’hydrodynamique, et il n’est pas besoin de calcul pour le voir. Sans elles, les conditions d’équilibre sont nécessairement incomplètes, et il y aurait lieu de s’étonner qu'on ne fût pas conduit à de flagrantes contradictions par une méthode qui ne tient pas compte de toutes les causes. En reprenant les mêmes questions que Poisson , M. Quet a fait voir que les contradictions signalées disparaissent dès qu'on introduit dans le calcul les forces de liaison, et qu'on retrouve, par le nouveau mode de raisonnement, les lois générales de Lnplace.

Quant aux deux objections tirées de lî! théorie de Poisson, VL Quet a montré qu’elles sont seulement apparentes, et que, si les constantes des deux théories semblent, au premier abord, différer

outre elles. Poisson n'a pas prouvé que cette différence soit réelle. Supposons qu'il s’agisse du coefficient du binôme des courbures. D’après la théorie de Poisson, ce coefficient se compose de deux termes dont l'un provient de l’action du ménisque sur le filet normal, et l’autre de l’action exercée sur ce filet par la tranche liquide qui le limite. Le coefficient analogue de la théorie de Laplace n’a qu'un seul terme, celui qui provient de l’action du ménisque. De cette comparaison Poisson conclut que les deux coefficients ne sont pas les mômes. Mais M. Quet fait remarquer que le filet n’est pas constitué de la môme manière dans les deux théories; qu’il a une densité constante lorsqu’il s’agit d’un liquide incompressible, et une densité variable sur sa longueur et très-rapidement variable dans les conditions naturelles de compressibilité, sans compter que la quantité de chaleur change elle-même d’un point à l’autre. Dans les deux cas il s’agit, il est vrai, d’un ménisque agissant sur un filet; mais le filet n’est pas le même, et il n’est pas évident que les deux actions aient la même valeur; on ne voit donc pas pourquoi là différence des termes correspondants dans les coefficients de la capillarité ne serait pas compensée par le deuxième ternie introduit par Poisson. Il appartenait à l'éminent auteur de la nouvelle théorie de montrer que les valeurs numériques étaient inégales, et Poisson ne l’a pas fait.

Vlît

Après la critique théorique viennent les objections fondées sur les résultats de l’expérience. C’est à ce nouveau point de vue que nous allons maintenant nous placer.

Les phénomènes capillaires qui se prêtent le mieux aux mesures précises -sont, sans contredit, les ascensions des liquides, soit dans les tubes verticaux à section circulaire, soit entre les lames verticales et parallèles. Or, d’après la théorie de Laplace, ces phénomènes sont soumis aux lois suivantes :

Dans les tubes de même nature, la hauteur moyenne de. la surface capillaire au-dessus du niveau général varie en raison inverse des diamètres pour chaque liquide 1 .

Entre deux lames parallèles verticales et de même nature, la hauteur moyenne de la surface capillaire, pour un liquide déterminé, varie en raison inverse de leur distance 5 .

Si l’on compare* les hauteurs moyennes de la surface capillaire

' Dans le cas d’un tube à section circulaire de rayon r, le contour intérieur c est égal à ûitr. Si donc on désigne par H la hauteur moyenne de la surface capillaire, té volume L du liquide soulevé sera égal a nr*H, et l’équation (6) deviendra (8 « f co*«ss r!I.

De là on conclut que II varie en raison inverse de r et en raison directe de cosw, pour un liquide donné. On remarquera qu'un môme liquide peut atteindre des hauteur* I rès-diverses dans un tube de diamètre constant , lorsque la nature de ce tube change, puisque cos w varie en môme temps. Cependant, comme cos <d ne peut pas dépasser l’unité, la hauteur moyenne est susceptible d’un maximum, lorsque r est constant. Ce maximum a lieu lorsque l’angle capillaire est nul. Si la nature du tube reste constante, H varie en raison inverse de r.

* La théorie donne pour les plaques parallèles l’équation (r>) H'rf — a* rnsaj,

en désignant par d la distance des deux plaques et par H' In hauteur moyenne. On suppose qu’il s’agit du môme liquide que pour les tubes et que les plaques et les tubes sont de môme nature, sans cela il faudrait changer les constantes a et oy.

Il résulte de l’expression précédente que. pour un même liquide et pour des plaques de môme nature, la bailleur moyenne varie en raison inverse’de la distance des plaques.

Entre deux plaques parallèles dont la distance est constante, un môme liquide est susceptible de s’élever à des hauteurs très-diverses suivant la nature des plaques. {Néanmoins ces hauteurs ne peuvent pas dépasser une valeur maximum qui correspond au cas où l’ungle capillaire est nul.

3 Si on compare les équations (8) et (q), lorsque le liquide est le môme et que les tubes et les plaques sont de môme nature , on a

Hr-H'd;

il faut donc que celte équation puisse se vérifier pour toutes les valeurs de r et de d Dans le cas particulier où l’on a

il vient

Il «ait.

punr un même liquide qui s’élève, soit dans un tube vertical, soit entre deux lames parallèles, verticales et de même nature que le lube, la première de res hauteurs doit être double de la seconde, lorsque le diamètre du lube est égal à fa distance des plaques.

On ne peut pas déterminer expérimentalement la hauteur mentionnée dans ces lois; ce qu’on mesure, c’est la hauteur du point central de la surface capillaire, c’est-à-dire du point où le plan tangent est horizontal. Cette hauteur est évidemment plus petite que la hauteur moyenne, et. bien que la différence soit peu notable lorsque les tubes sont très-tins, romme elle devient de plus en plus sensible à mesure que le diamètre du tube augmente, et qu’elle peut même acquérir mie valeur beaucoup plus grande que la hauteur mesurée lorsque le tube est assezlarge, on est obligé d’en tenir compte pour contrôler la théorie par l'expérience.

Ce n’est pas chose aisée que de calculer la hauteur ww/cmie à l’aide de la hauteur observée, quand on veut laisser au problème toute sa généralité. Cependant, si les tubes sont très-fins, ou si les distances des plaques sont très-petites, la correction est facile. La place a trouvé en effet que, dans ces conditions restreintes, il suffisait, pour obtenir la hauteur Moyen*# , d’augmenter la hauteur observée du tiers du rayon, ou des 107 millièmes de la distance des plaques 1 .

1 Lorsque r et il sont Irèa-petita . si on désigne per h et h’ les hauteurs observées de la surface capillaire dans un tube vertical on entre deux lames verticales parallèles, ou a . d'après la théorie de I.nplace et le degré d’approximation qu'il a adopté :

H =* t + ^ r, tr-i'a-o, 107 J.

d'après fêla . les équations (8) et (9) deviennent :

\fio) a* co* tt r/x

pour les tubes.

(il) «* cos •oadV [t+O, 107^

pour les plaques.

C’est en suivant ces règles que Gay-Lussac vérifia la théorie. De nombreuses expériences avaient été faites avant l'éminent physicien, mais elles ne s’accordaient pas entre elles; il y avait donc là une difficulté à vaincre.

Heureusement, la théorie de Laplace faisait connaître la cause de ces discordances : elle montre, en elïet, qu’un même liquide est susceptible d'un nombre infini d'étals d’équilibre dans un tube vei'tical de diamètre donné, lorsque la nature de la surface intérieure ne reste pas la même, ce qui fait varier l'angle capillaire. Si donc on veut comparer les hauteurs de la surface capillaire dans des tubes différents, on doit tenir compte à la fois de ces angles et des diamètres des tubes.

Comme la mesure de l’angle capillaire ne peut pas s’obtenir avec assez de précision, il faut trouver un moyen de rendre cet angle tout à fait constant dans les expériences que l’on veut comparer. Cela semble peu aisé au premier abord; mais Gay-Lussac parvint à résoudre simplement la difficulté. L'angle capillaire ne varie dans les tubes que parce que leur surface intérieure n’est presque jamais la surface du verre, mais celle d’un voile très-mince de matière étrangère qui se dépose ordinairement sur le tube. 11 fallait donc enlever ce voile et l’empêcher de se reformer, ou plutôt, il fallait le rendre constant, en déposant, si c’était possible, sur la surface intérieure du tube, un mince voile du liquide même sur lequel on opérait.

Pour arriver à ce résultat, Gay-Lussac prépara les tubes, en les lavant intérieurement avec les acides azotique et chlorhydrique, ou bien avec une dissolution de potasse, puis avec de l’eau pure, de manière à enlever toute substance étrangère au verre et à laisser une couche d’eau qui adhérait alors à la surface du tube. C’est ainsi que furent faites ses expériences sur l’ascension de l'eau. Pour les autres liquides capables de mouiller le verre, on opérait d’une

Capillarité. 1 7

manière analogue, et l’on terminait par des lavages faits avec ces

liquides.

Avec des tubes ainsi préparés, le liquide monte dans une gaine de sa propre substance et s'élève en glissant, non plus sur la surface d’un corps étranger, mais sur une couche de môme nature que lui. Les frottements sont négligeables, et les forces mises en jeu sont celles dont la théorie tient compte; alors le tube solide ne sert que de support à la gaine liquide qui est ainsi le véritable tube capillaire. Dans ces conditions, l’angle capillaire reste constant, et, si la théorie est exacte, cet angle est tout à fait nul; la hauteur moyenne de la surface capillaire est donc maintenant la plus grande de toutes celles «pii peuvent s’observer dans le même tube non préparé. Si, dans deux expériences faites avec le môme liquide et le même tube, on trouve des hauteurs différentes, c’est que, dans l’une d’elles au moins, on n’aura pas réalisé les conditions qui viennent d’être indiquées. La plus grande de ces deux hauteurs est évidemment celle que l’on doit préférer comme la meilleure ou comme s’approchant le plus de la hauteur qu’on veut déterminer. C’est parce caractère très-simple qu’on peut reconnaître les mesures à rejeter ou à adopter, lorsque divers observateurs ont obtenu des résultats différents. Au reste, l’ellicacité des moyens imaginés par Gay-Lussac est telle, que les mesures de ce physicien sont environ le double de celles que Newton, et plus tard Haüy, avaient obtenues.

C’est à l’aide de ce critérium que M. Quet a pu- reconnaître que les expériences de Simon, de Metz, souvent citées contre la théorie de Laplace, n’ont pas été faites dans les meilleures conditions. Les hauteurs mesurées par cet expérimentateur dans une série de tubes ou de plaques parallèles sont en effet moindres «pie les hauteurs correspondantes observées par MM. Quet et Seguin , pour des tubes respectivement plus gros, ou pour des plaques respectivement plus éloignées.

Les mesures de Gay-Lussac, prises dans les conditions excellentes que nous venons d’indiquer, confirment pleinement les lois

générales de Laplace, au moins dans le cas de tubes un peu fins ou de plaques très-rapprochées, mais elles sont peu nombreuses et ne se rapportent qu’à des espaces capillaires très— étroits.

Edouard Desains fit plus tard, vers >853, des expériences sur l’élévation des liquides dans les tubes et entre les plaques, et il prit toutes les précautions que Gay-Lussac avait imaginées. Les résultats qu’il obtint se trouvèrent d’accord avec la théorie de Laplace, soit pour des espaces capillaires plus étroits que ceux des tubes ou des plaques de Gay-Lussac, soit aussi pour des espaces plus larges. Cette vérification était importante, puisque la théorie de Laplace était alors battue en brèche dans ses principes et dans ses conséquences.

Néanmoins, des doutes pouvaient subsister encore. En cITct, les tubes employés étaient assez étroits pour que la forme de la surface capillaire n’eût pas une influence bien marquée. Cette surface tend indéfiniment vers la forme sphérique lorsque le diamètre du tube décroît de plus en plus; mais elle en diffère considérablement lorsque les tubes sont très-gros. La correction de Laplace suppose que la surface capillaire est presque sphérique et n’est applicable qu’aux tubes très-fins; mais on ne sait pas à priori à quel degré de grosseur des tubes il faut s’arrêter pour que la formule de correction soit admissible. Poisson donna une autre formule plus approchée que celle de Laplace, et dans la suite Éd. Desains en proposa une nouvelle, qui était fondée sur l'assimilation de la surface capillaire à celle d’un ellipsoïde de révolution. Ces approximations, trèsbonnes pour vérifier une théorie non contestée, laissent toujours quelque chose à désirer lorsqu’on est en présence de graves objections, car on ne sait pas d’avance dans quelles limites l’approximation est suffisante; et, lorsqu'il y a une différence entre l’observation et le calcul, on peut être tenté de supposer qu elle lient moins à l’insuffisance de l’approximation qu’à la théorie elle-même, surtout lorsqu’on voit cette différence s’accroître considérablement

dans les tubes très-larges, là où la forme de la surface capillaire s’écarte beaucoup de celle de la sphère ou de l’ellipsoïde.

M. Quel, voulant vérifier la théorie dans les conditions les plus significatives, lorsque les tubes étaient très-larges ou les plaques très-écarlécs, chercha la solution générale du problème, qui consiste à déterminer la hauteur moyenne en fonction de la hauteur du point central de la surface capillaire. Alors les expériences pouvaient être plus variées, et la théorie de Laplace pouvait être soumise à un contrôle plus complet et plus caractéristique, puisqu’on aborderait le cas où la surface s’éloignerait beaucoup de la forme sphérique ou ellipsoïdale; la même question fut traitée dans le même sens pour les plaques parallèles.

M. Quet intégra l'équation générale de la surface capillaire poulies tubes cylindriques verticaux et à section circulaire, en employant tour à tour la méthode des coeflicients et des exposants indéterminés, et celle qui est fondée sur la formule de Maclaurin. II obtint, de cette manière, une série qui donne le rapport de la hauteur moyenne à la hauteur observée, en fonction de cette dernière quantité et du rayon du tube, et qui permet de vérifier la théorie de Laplace dans des tubes quelconques 1 .

1 Si I on pose P — ^ . la formule (8) devient

(»a) a* cos a» — rA P.

If. Quel o trouvé que l’on »

en posant

(l3) pr» « A, 4- A, -4-. . . .

», - — ; { i -h in • -4- l 8 — : I •

i àüo&u a* \

l)K LA CAPILLARITÉ.

Cette série se réduit à la valeur approximative que Laplace a donnée pour le cas des tubes très-fins. Les calculs qui y conduisent font connaître l'équation de la surface capillaire, et l’on montre que cette surface tend indéfiniment vers la forme sphérique lorsque le diamètre du tube décroît.

Par une méthode analogue, M. Quet détermina, dans le cas des plaques parallèles, le rapport qui existe entre la hauteur moyenne et la hauteur observée, ce qui permet de soumettre au contrôle de l'expérience la théorie de Laplace dans le cas des plaques trèsécartées 1 .

Ln «trie (i3) se réduit è P= i -4- ^ lorsque r est suffisamment petit; c'est l'approximalion de Laplace qu'on obtient alors.

L’équation de la surface capillaire dans les tubes est donnée par la série suivante :

z est In distance d'un point quelconque de la surface capillaire au niveau général, et x est la distance de ce point à l'axe du tube.

Lorsque le rayon du tube est suffisamment petit, l'équation précédente peut être réduite à celle-ci :

r r / 46* cos 1 «1

ce qui est P équation d un cercle dont le rayon est

* Si l’on pose P p . la formule (g) devient

(».i) h* itm a» = «A* P .

M. Quet a trouvé que t on a

en [Kisant

i iKn rt \ w /

/ . ii/*/ A* A*\

i it, = 7 — ■ ( 1 4- t*r> - 4- »*«» — ).

KAHFüKT SUIt l.ES HHOOBES

•2tv2

Ce rapport se réduit à la formule approximative de Laplace, lorsque la distance des plaques est suffisamment petite.

En suivant une méthode d’intégration qu’il avait déjà employée dans son Mémoire sur les gyroscopes, M. Quet trouva une nouvelle série qui donne immédiatement la distance des plaques en fonction de la hauteur observée et de l’angle capillaire. D’ailleurs il obtint l’équation de la surface capillaire sous une forme telle qu'on peut en tirer exactement, et sans passer par les séries, la valeur de la flèche, ce qui est avantageux, parce que les séries qui donnent la flèche convergent trop lentement et exigent le calcul assez pénible d’un grand nombre de termes 1 .

Lorsque l'angle capillaire' est mil et que la distance des plaques décroît indéfini ment, l'équation de la surface capillaire, qui est eu général

i~h 1 1 -+-3 B, tend vers l’équation

(;■*) fr) «

Ce qui est l'équation d'un cercle. En môme temps l'équation (î 5) tend indéfiniment vers l'expression

ce qui est la formule d'approximation adoptée par Laplace.

1 Si l’on pose que l’on désigne par e un angle auxiliaire délini par

'équation

Cl*

sill» -, — - ,

Il -4- II'

et par t la tangente de l'angle e, on n, d'après le calcul de M. Quet :

(i 8 ) J — a ^ t I | >S«t m 4- - ( to*

in -2 a»'\ i . , . „ A ,

1 t 4 ( o siii ù> *- sm J X ; t 1

Cette équation contient une série qui est assez rapidement convergente lorsque les plaques sont Irès-rapprochées, mais qui converge trop lentement lorsque les plaques sont un peu écartées.

DK LA CAPILLARITÉ.

2 fi 3

Après avoir préparé des formules très-générales pour vérifier la théorie de Laplace dans les conditions les plus variées pour la grosseur des tubes el la distance des plaques, M. Quet a voulu s'adresser à l'observation, et, avec le concours de M. Seguin, il a pu déterminer, pour chaque lube, un très-grand nombre de mesures, dont la moyenne a été comparée au calcul théorique.

A l’aide de ces observations et de celles de Gay-Lussac et d’Edouard Desains, on a eu i h déterminations de hauteur capillaire dans les tubes, 8 entre les plaques et h mesures de flèches.

Les hauteurs extrêmes de l’eau dans les tubes ont varié de î à a 3 oo, tandis que le rapport des diamètres correspondants a été celui de aoo à î. Le tube le plus large avait 27 ““", 85 de diamètre, et l’eau s’y élevait à la hauteur de o mm ,o().

Entre les plaques, les hauteurs extrêmes de l’eau ont varié dans le rapport de i à 70, et les distances correspondantes, dans celui de 33 à 1 . La plus grande distance des plaques a été de 1 i“"",ao , et la hauteur de l’eau s’est trouvée, dans ce cas, de o m, ".7 1 , avec une flèche de 3 m ”,9 2.

Ces 36 mesures, prises dans des conditions si variées, sont toutes d’accord avec les résultats des formules théoriques trouvées par M. Quet. Les différences ne se sont élevées qu’à quelques centièmes

La courbe capillaire peut sc définir au moyen des deux équations suivantes : r*=s a* sin u;

l — \ • 1 / Ml» *«\ I / • . \ . I

jrs= «y t — J l -4- g sm a •+■ sut 3u J J‘+

a est l'angle que la tangente it la courbe, au point dont x et z sont les coordonnées, fait avec le niveau général. De la première de ces équations on tire, pour la valeur/ de la flèche, l'expression

( 1 9) /— «* costt — h'.

Cette formule permet de calculer la flèche avec toute l'exactitude que comportent les mesures de /»’ et de v.

de millimètre pour les hauteurs, dans les gros tubes, et à quelques millièmes de millimètre pour les rayons des tubes fins.

On a encore objecté à la théorie une série de faits qui se sont révélés lorsqu'on a étudié expérimentalement l’influence de la chaleur sur les phénomènes capillaires. Pour examiner ces nouvelles critiques, il convient de distinguer deux cas généraux, suivant que le liquide communique librement avec l’atmosphère , ce qui limite son élévation de température, ou qu'il est en vase clos, ce qui permet de le porter jusqu’au point de sa volatilisation complète. Supposons d’abord qu’il s'agisse du premier cas.

L'expérience montre que la hauteur à laquelle un liquide s’élève dans un tube capillaire diminue à mesure que la température croit. Ce fait est conforme à la théorie, et ce n’est pas de ce côté que vient l’objection. La difficulté s’est présentée, lorsqu’on a mesuré de combien la hauteur capillaire diminue pour chaque degré de température, car cette diminution s’est trouvée de beaucoup supérieure à celle que Laplace avait indiquée. L’illustre géomètre avait en effet donné cette règle, que l’ascension du liquide est proportionnelle à sa densité, et que, par suite, les variations de cette ascension sont proportionnelles à celles de la densité. Or voici les conséquences de cette règle et leur comparaison avec les résultats de l’observation.

La densité de l’eau varie pour chaque degré dans un rapport qui n’est pas constant, mais qui est en moyenne de 0,000 65, entre les températures de la glace fondante et de l’eau bouillante. C’est donc suivant cette proportion que la hauteur de la colonne d’eau devrait diminuer pour chaque degré, et l’expérience fait voir que celle hauteur décroît à peu près de la fraction 0,00 1 85, qui est environ quatre fois plus grande que la précédente. Les nombres trouvés par MM. Brunner, Wolf, Ed. Desains, Quel et Seguin, ne sont pas rigoureusement les mêmes et diffèrent par quelques unités

de l’ordre de la cinquième décimale; mais, bien que le coefficient dont il s’agit ne soit pas déterminé avec une rigueur extrême, il ne peut y avoir aucun doute, sur ce résultat, que la règle de Laplace est ici en défaut.

La même conclusion se tire d’expériences faites avec l'éther sulfurique et l’huile d’olive , dont les densités diminuent, pour chaque degré de température, dans les proportions 0,001 5 et 0,0007, tandis que les coefficients relatifs h la hauteur capillaire sont de o,oo46 et 0,00 1 h.

Si la règle de Laplace est contraire à l’observation, il ne s'ensuit pas que la théorie même de Laplace soit en défaut, et M. Quet a pu tirer de cette théorie une nouvelle règle, plus complète que la précédente, et conforme aux données de l’expérience 1 . Suppo-

1 Lorsque l'angle capillaire est nul , l’équation (8) se réduit à

rH — a*.

La quantité «\ qui est donnée par la formule (a), se compose du facteur rf et du fadeur

ri fp'/'P' (i P- *9 J

L'action de deux masses m et ut' du liquide placées à la distance p a été désignée par mm' f (p); elle se compose de l'attraction de la matière pondérable, que l'on peut représenter par mm* $ (p), et de la répulsion calorifique, que nous désignerons par mm’ yff (p. /). Si nous désignons par d, la densité du liquide à la température arbitraire qui sert à compter les autres températures et qu’on peut supposer celle de la glace fondante, pour fixer les idées, nous pouvons |»oscr

en appelant 6 le moyen coellicieut de diminution de la densité entre les températures o* et C.

Si Ton exprime par (p, /) la dérivée de ^ (p, /) par rapport à In variable on a , d'après un théorème connu ,

en désignant par 0 une quantité comprise entre o et t. On tire de là

p’/( f) [? W - + (p. ») | •V- 1 Je* ’f fp . Si) <*p

sons que le tube soit recouvert intérieurement d’une couche adlié-

Posons „

A- |p* [p W - + (e . «)J<tp . b- p' +’ [p.ot) ,i P .

Nous aurons

a* = d (A — B/) — rll=rf.{i -£l)(A-Bf).

Celle équation montre que le produit rll ne diminue pas seulement à cause du facteur i — Gl , qui se rapporte à la densité, mais aussi avec le facteur A — Bf, qui est relatif aux actions moléculaires.

Désignons par K la pro(>or(ion suivant laquelle la moyenne hauteur capillaire varie pour chaque degré dans les limites dp température considérées, et par a le coefficient de dilatation linéaire du verre, on aura

( ,+ “) ('- K, )“aî;( ,e ') O - '")’

désignant, pour abréger le quotient, - par p.

On peut remarquer qu’à la glace fondante on n r. H. = à. A ,

d'après l'équation générale

rH«n\

ou d'uprès l'équation précédente; cette équation se réduit donc, après avoir divisé par / les deux membres, a l'expression

a — K — *Kt ■= G — fi + € fit .

On peut, dans une première approximation, négliger les termes qui contiennent les produits des coefficients a, K, G, p, ce qui est toujours permis, lorsque la température t n’est pas trop élevée, vu que ces coefficients sont de petites fractions. On tin* alors de l'équation précédente

Ke=ï+? +|».

Pour les tubes de verre, on a sensiblement

a =» 0,000 oo$ 6 1 3 .

Or l'observation donne la valeur de K avec une approximation qui s’étend au plus à la cinquième décimale; il est donc permis de négliger a, et de réduire l'équation à

K — G -f fi.

G est donné par les tables de dilatation des liquides, niais p n’est pas connu h priori . C’est peut-être pour cela qu’à défaut d’expériences propres à faire connaître la valeur de K , Lapluce et Poisson ont négligé le second tenue p de cette quantité. Mais aujourd'hui l’expérience a fait connaître numériquement la valeur de K pour divers liquides, en sorte qu’on peut eu déduire celle de p, et voir que celte dernière, loin d'être négligeable pur rapport à €. est au contraire notablement plus grande quelle, au moins pour l'eau, l'éther sulfurique et l'huile d’olive.

1)E LA CAPILLARITÉ, rente de liquide, ce qui rend nul l’angle capillaire; dans ces conditions, le produit du rayon du tube par la hauteur moyenne de la surface capillaire peut se décomposer en deux autres facteurs, dont l’un est la densité du liquide, et l’autre est proportionnel à l’intensité de l'action moléculaire que le liquide exerce sur lui-méme. Le premier de ces facteurs diminue, au moins en général, lorsque la température s’élève, et il en est de même du second facteur, car l’action moléculaire est la différence entre l’attraction de la matière pondérable et la répulsion calorifique qui augmente avec la température. La hauteur capillaire diminue pour deux causes, et non pas seulement parce que lu densité diminue; les variations doivent donc se produire sur une proportion plus forte que celles de la densité, ce qui est conforme à l’observation et fait disparaître l’objection dont nous avons parlé.

H est vrai que Laplace n’avait pas tiré de la théorie cette conséquence et s’était borné à tenir compte de la variation de densité. Peut-être avait-il négligé les changements que la température fait éprouver à l’action moléculaire, parce qu'on ne peut pas les déterminer numériquement à priori, et que, les expériences relatives à la température n’ayant pas encore été exécutées, on n aurait eu aucun guide pour corriger les etfels des changements de température dans les observations à comparer; mais M. Quel a demandé à la théorie une réponse complète, et celle réponse a résolu la difficulté.

On peut presser davantage la théorie et en tirer une nouvelle conséquence, susceptible d’être soumise au contrôle de l’expérience. Déterminons la hauteur de l'eau pour deux températures très-éloignées, et calculons, sur le pied de la diminution observée, quelle doit être la hauteur de l’eau îi une température intermédiaire. Or M. Quel a fait voir que, d’après la théorie, celle hauteur calculée doit être inférieure à celle de l’observation, cl que la différence doit

RAPPORT SUR LES PROC.RÈS s’élever à environ ÿ de millimètre pour trois températures trèsespacées et convenablement choisies et pour un tube d’un diamètre très-fin et déterminé. MM. Quet et Seguin ont cherché à vérifier celte conséquence, et ils ont trouvé qu’en elTet l’observation donne une hauteur plus grande que la hauteur calculée, et que cette différence est, à peu de chose près, celle qui vient d’ètre indiquée.

Il est sans doute difficile de fonder quelque chose de certain sur une différence aussi petite. Il est cependant remarquable qu'elle se soit manifestée dans le sens de la théorie , et sensiblement avec la valeur prévue. Peut-être n’est-il pas inutile de rappeler cet accord extrêmement minutieux, après toutes les critiques qui ont été successivement accumulées contre la théorie de Laplace 1 .

* Désignons pnr /, l", trois températures et par II, H\ H", les hauteurs moyennes

correspondantes de l'eau. Dans les expériences de MM. Quet et Seguin, on avait : (e=i5*,9; t*=54V>; f*=83",4; H = to i ““.09 ; !!* = 9 V""\o3; H’ =* 87“", y3. Posons

, 11 - ir

q " désignera la moyenne diminution de la hauteur capillaire en passant de la température t à la température l'\ pour chaque degré fie température.

Si l’on désigne pari, à', V, les trois densités du liquide aux températures t, l', C , on a 3 - F 3 — 3 '

et numériquement

’ J(f*- f)‘ ~ o If ‘ — t)'

f,es calculs que nous avons exposés dans In note précédente et que nous avons rapportés a la température de o* peuvent aussi se reproduire pour une température quelconque l prise comme point de départ. Alors on a

On tire de là

q’rn=

nu bien

Lorsque In température passe de / à l‘ , si la diminution se faisait suivant In proportion constante q", qui est égal à 0.190 07, on aurait

II' = H — q n [ f' I),

Lorsque l’appareil dans lequel l'ascension du liquide se produit est enfermé dans un vase entièrement clos, on peut élever la température au-dessus de l’ébullition et la porter jusqu’au point de volatilisation complète. Alors il se produit des phénomènes nouveaux que l’on n’a pas manqué d objecter à la théorie de La place.

A partir d une température suffisamment élevée, on remarque que l’angle capillaire cesse d’ètre nul; la preuve en est très-claire, puisque la surface du liquide devient de moins en moins concave, et finit même par s’aplatir tout à fait. Lorsque ce phénomène se produit, les deux niveaux sont exactement sur le prolongement l’un de l’autre. Ainsi la capillarité cesse de se manifester ù cette haute température sous le double rapport de l’ascension du liquide et de l’angle capillaire. C’est M. Wolf qui a remarqué le premier cet effet de la chaleur. Les expériences ont été faites avec l’çtlier sulfurique, et elles ont montré que la surface cesse d’èlre concave, au moment où les niveaux extérieur et intérieur ne diffèrent plus. M. Wolf a aussi constaté sur le sulfure de carbone, l’huile de naplitc et l’alcool, que l’angle capillaire peut devenir égal à un droit, lorsque la température de ces liquides se rapproche beaucoup de celle de leur volatilisation complète.

Drion, qui a étudié également ces phénomènes, a démontré que

Ce n’est pas suivant la proportion q" que la hauteur diminue, mois suivant une quantité moindre, c'est-à-dire, suivant la quantité

La différence entre q‘ et q est

On a donc

q — q ^ II. 0,000 098.

D’après cette valeur de q on doit avoir