PAR DES ROUES A AUBES
8 i. MOUYBBIENT DANS UNE EAU TRANQUILLE.
Les formules qui vont suivre sont celles données pour la première fois par M. Marestier, et reproduites dans plusieurs ouvrages sur les bateaux à vapeur^ entre autres celui de MM. Tourasse et Mellet, d*où nous avons emprunté (§7) réquation au moyen de laquelle on détermine la limite théorique de là vitesse de ces bateaux.
^ Nous désignerons par
B' la surface immergée du maître couple ou de la plus grande section transversale du navire ^ 6^=±/3B* la surface plane éprouvant la même résistance directe que la carène du navire ou la mrface résistante du navire (le coefficient ^ dépend des proportions et des formes de la carène) ; V la vitesse de sillage du navire ; A^ la surface d'une des aubes ;
2 CHAP. l^^. — THÉOfellE 6ÉNÉRALB
a' =z aA^ la surface plbttê iDile (lelpenliMlâlirQineht amiBuidey avec la vitesse moyenne des aubes et éprouvant la même résistance, ou la surface résistante des aubes (le coefficient a dépend du nombre d'aubes qui agissent à la fois et de leur d^fé d^obliquité dans Teau) ;
U la vitesse moyenne ou la vitesse au centre de pression des aubes ;
D le diamètre absolu des roues à aubes ;
aft lèiir diàktBtèife kdbyen auceiitfie à'eBhri on ie (Nreftioa des aubis (I dé^ pend âe lahaiftetit des aubes et de leur liio&e S'slttioh);
k la résistance directe de Teau , correspondante à l'unité de surface et de vitesse (on sait par diverses expériences que la valeur de k est comprise entre 60 et 60 kilogrammes pour un mèlre de surface et un mètre de vitesse par seconde) ;
p la pression de la vapeur sur le piston de la machine ;
mp reffet utile de cette pression (m est déterminé par Texpérience , pour chaque système de machine à vapeur; il varie non seulement d'un système à l'autre, mais avec l'état de la machine);
d le diamètre dti piston du cylindre à sapeur ;
7r=3.1416 le rapport de te <^ir6ottféf6m)e kn diamètre ;
i; la vitesse moyenne du piston du cylindre à vapeur, par seconde ;
c la course du piston ;
n le nombre de doubles courses du piston ou de tours de roues par minute.
bans Tétat actuel de nos connaissances sur la résistance des fluides et sur la force élastique de la vapeur d'eau , nous supposerons que le mouvement du bâtiment, qui commence par s'accélérer progressivement ^ est parvenu à l'uniformité.
En admettant que la résistance des fluides suit la loi générale du carré des
vitesses , et que les bâtiments sont assez semblables par leurs formes pour
que leur résistance soit proportionnelle â la surface immei^ée de leur plus
grande section transversale ^ la résistance éprouvée par la carène du navire
mu avec la vitesse V sera égale à
. kb^.
La vitesse relative des aubes étant U —Y » la réftistanoe qu'elles éprouvent sera
et le mouvement étant uniforme, on^ura
DM. lATIMUm A TAPIPR.
OU
d'où
- ne changeant pAS^ la vitesse du navire est toujours proportionnelle à
celle des aubes. Cette équation montre aussi que la vitesse des aubes est d'autant plus grande, relativement à celle du navire, que leur surEaice résistante est moindre par rapport ,à celle de ce dernier. Le moment de l'action des aubes est égal à
En supposant que les frottements et les autres obstacles qui nuisent au mouvement de la machine absorbent une même portion de la force motrice, son action sera égale à la pression utile de la vapeur , multipliée par la surface du piston , ou à X 'KtPmpj et son moment à
j irtPmpv.
On aura donc, dans la supposition du mouvement uniforme,
iit(Pmpv=ka^[V^\fU.
Cette équation et celle U = Tl 4- -j V donnent
^n voit que la quantité
' ^ ^^^ atàtoflH^ltt^îmTteV^up^rieurelle la vitesse que peut prendre le navire et la limite inférieure de la vitesse des aubes^ et que ces vitesses s*approdient *d*autaat plus de leur limite que la surface des aubes est plus grande.
On conclut de la premièrede ces deux équations que pour un môme navire.
4 CHAP. I*^. — THÉOIIB GÉNiMALE
6 et a ne changeant pas, la vitesse de sillage est proportionnelle à la racine cubique de la force développée par la machine.
La seconde équation montre que, pour conserver au piston de la machine la vitesse qui convient à la force de vaporisation de la chaudière, il faut disposer le mécanisme de manière que la vitesse des aubes soit égale à
i/*ir('+s"'
OU, en nommant r le rapport de la vitesse des aubes à celle du piston , de manière qu'on ait
Pour un autre bâtiment , en représentant par V, U', 6', a', etc., les quantités analogues à Y, U, 6, a, etc., on aura
et par conséquent
et
I!— I / hé!^!^^ V ** V *"*" •
Lorsque les deux bâtiments sont tels que les rapports - et -, sont égs^.
on a
c*est-à-dire que les vitesses des bâtiments, sont proportionnelles â ceHes des aubes , et de plus en raison directe de la racine cubique de la force des machines et en raison inverse de la résistance que ces bâtiments éprouvent.
DBS BATUOlfTS A VÀPICTR. S
Par le moyen des trois équations . ^
U=ri+|)v, in(Pmp»z=:àa\JJ^\)^\] et V=rv, .
on pourra, généralement parlant, déterminer trois des huit quantités a, 6, ^9 P» ^9 U, Y et v, lorsque les cinq autres seront données. Ainsi par exemple, en considérant U , V et t; , comme inconnues , on aura
La valeur de U montre que Texcès de la vitesse des aubes sur celle du navire est égale à ^^
a^ kr
Ainsi, plus les aubes seront grandes, moinis leur vitesse surpassera celle du navire.
On voit que la valeur de Y ne dépend point de a; c'est-à-dire que, r restant le môme, on peut augmenter ou diminuer la surface des aubes sans que la vitesse du navire change. «^ « ^ v.^
Mais il résulte de la valeur de v que , lorsque a ou la surface des aubes augmente, la vitesse du piston de la machine diminue, et par suite la consommation de la vapeur, et que le contraire a lieu lorsque la surface des aubes diminue. .
Si Ton réduit Te diamètre des roues, et par conséquent r, la vitesse Y du navire augmente ; mais en même temps la vitesse v du piston et la force de la machine augmentent aussi, ainsi que la dépense de vapeur ou de combustible. Lors donc que la machine marchera plus lentement qu'on n'avait compté , de manière à ne pas utiliser toute la vapeur produite par la chaudière , on pourra obtenir une augmentation sur la vitesse du navire en réduisant con- ^npnablement le diamètre des roues.
Si l'on augmente le diamètre des roues ou bien r, la vitesse du navire diminue. C'est ce qui arrivera nécessairement lorsque , ne pouvant augmenter la sur&ce des aubes, la machine marchera avec trop de vitesse pour que la diaudière puisse suffire à la production de la vapeur.
Enfin, si l'on diminue le diamètre des roues, en retranchant en même temps une partie de chaque aube , la vitesse du navire augmente, puisque r diminue ; mais la vitesse du piston et la consommation delà vapeur augmen.
6 CHAP. I*'. -^ TiAOlIE dÉRilALB
teront dans une plus grande proportion q/w si, en opérant le changemait de diamètre, on eAt conservé les mêmes aubes.
Lorsqu'on modifie le mécanisme qui transmet aux roues le mouvement du piston, les quantités r, U, V et v, se changent enW, U^ V^ r', et au lieu d*a voir
on a
v=it/^ « Hï+^y^^-
et par conséquent
Ainsi, quand 1^ piston ne preîn<t pas toute la vitesse que la quantité de vapeur fournie par la chaudière lui permettrait de prendre si le mécanisme était changé, la vitesse du navire se trouve réduite proportionnellement à la racine cubique de la vitesse du piston , et c'est es raisoa inverse de la racine cubique du carré de cette vitesse qu'il faut diminuer lorappdrt r pour que le navire acquière la totalité de la vitesse que la machine est capable de lui imprimer.
S 2. OBSERVATIONS SCR LE MODE D'ACTION DES ROUES A AUBES ORDINAIRES ET SUR LEURS PROPORTIONS , EU ÉGARD A LA FORCE DE LA «ACHINE ET A LWnERSION MS AUBttS PAR SUITE DU GHARGEMBirr DU NAVRE.
Lesaubes agissant obliquement dans l'eau , leur aclioa peut se décomposa en deux forces ^ l'une Terticale et srbs effet sur le mouvement de translation du navire 9 Tautre horizontale et dans la direction de ce ttioii^eiaent. Haj|^^ une partie de fai composante horizoolale est seule utilisée pour jbire avancer le narice; une antre partie est peréue par le mouvement en arrière df 1» roue dans l'eau y à cause de Fexcès de la vitesse U sur Ja vitesse Y. Cet àh^ est commun aux machines à vapeur loeooMtives*. Dans le mouvement il'jun^ vukune a vapeur, si le frottmieut de la roue sur le rail est tel que la Mue ne puisse pas glisser^ la vitesse de la voiture est la même ^que celle de la cûruonférenq^de la roue, ^ lottte la puissanoe ide la mpchiue est emf^k>yée utito^
m MTORHtl A YAPBIJft. 7
meiil 4 feiire aymoer la voiture; si, au oontrairei et c*est ee qui a inévita- Mement lieu » le frottemeiil sur le rail n^eat pas suffisant, la roue gUese en anîire d'une eetiaine quantité, la consommation de tapeur ou de force est la même pour une révolution de la roue, mais la voiture n'avance pas comme anparatani , ^ U y ^9 par oonséquent, «ne perte 4e piûasanœ proportionnée su recul de la foue anr le rail. Il en est de même x>our nn bâtiment i raf eur. Toute la quaniSié éont te centre d*actiott des aubes recule dans l'eau, ou tout ce dont leur vitesse de rotation surpasse la Yitesscde siUagedu navire, peut Attn colnaîêéré comme puissance piordm pour foire avancer ce denùer ; la nr t^se V de ta macbine ou la dépense de vapeur reste toujours proportionnelle à la vitësseUdes aubes, et la puissance uttliséerà la viliesse V du navire.(QnQfque la nature du mouvement employé dans les bâtiments à vapeur eiige un glissement m arrière de la pstt des roues, il eat certain qve, moins eUas rélrograklerotit en dedans des limites do la convenance pratique , ïneûis il y aura ^ perte de force pour agir sur la marche du naviro.
De cette renrarque et de celtes auxquelles ont donné lieu ies équations pré. cédentes on conclut 1® que, plus les aubes sont grandes, moins leur vitesse surpasse celle du navire, et moins il y a de force motrice perdue; 2^ qu'il n'y a aucun avantage à diminuer la surface des aubes, de manière à pouvoir mettre en action toute la puissance dont la niaafaine est capable, TefTet produit dans ce cas étant simplement 4'accroltre la vûtesse des roues par rapport à celle du sillage , et de consommer de la vapeur sans aucun but 9 3^ qu'on obtiendra un aceroîss ement de vitesse du navire en réduisant le diamètredes roues ou on rentrant lea aubes , du moins en dedans de certaines limMesi c'est«À^dire autant que les aubes resteront convenablement plongées dans l'eau , «et que la vitesse de la «lacbine ne dépassera pas celle à laqueUe elle peut produire convenablement son effet. Ce dernier résultat est fort important pour des bâtiments destinés à de longues traversées , où la grande quantité de combustible dont il est nécessaire qu'ils soient chargés accroît
tellement Timmersion des aubes , que la machine ne peut souvent exercer au dda des j ou des \ de la puissance dont elle est capable.
Iby aurait de l'avantagea avoir des roues d'un grand diamètre, avec une vimse d'aubes déterminée, puisque^ dans l'immersion des aubes produite par une surcharge du navire, leur angle d'obliquité d'action sur l'eau serait affecté 4'une manière moins sensible que pour les roues d'uh petit diamètre. La pratique s'oppose à ce que cet avantage puissaétre obtenu dans les bâtiments i vapeur marins, soit en augmentant la longueur du coup de piston de
8 CHAP. l^. — TBÉOftlS GÉNÉftALE
la mactiine, soit en transmettant le mouvement aux roues par te moyeir d'un engrenage, aiin de diminuer leur vitesse. On peut donc considérer l» roues à aubes des bâtiments à vapeur marins comme ayant atteint leur plus grande limite à Tégard du diamètre.
Diverses considérations limitent aussi les proportions des aubes ordinaires. Il y a des inconvénients à leur donner trop de longueur, et Ton ne peut en multiplier trop le nombre sans qu'elles se nuisent par leur rapprochement. Leur hauteur doit être proportionnée au rayon des roues, afin que celles-ci ne soient pas trop immergées et que les aubes ne choquent pas le fluide dans une direction trop oblique. Mais une autre cause limite encore cette hauteur. Pour que les aubes agissent efficacement sur l'eau, il est nécessaire qu'elle» aient une vitesse absolue de rotation plus grande que celle du navire; si elles étaient trop hautes, la partie supérieure de leur surface aurait moins de vitesse que le navire, et choquerait l'eau en sens contraire, ce qui ralentirait le mouvement. La vitesse du bord supérieur ou intérieur des aubes dépasse généralement un peu la vitesse du sillage des bâtiments à vapeur.
S 3. RBLATIO?îS ENTRB LA FORGE DE LA MACHINE ET LES DIMENSIONS DU NAVIRE.
Dans les bâtiments à vapeur, le mouvement du piston de la machine est en^ général transmis aux roues , de manière à ce qu'elles Tassent un tour à chaque oscillation ou double course du piston : ainsi , n désignant le nombre d'oscillations du piston ou de tours de roues par minute, v la vitesse di» piston par seconde , et c la longueur de sa course, on a
2g»i ne
On aura aussi r^
^,__ WîTîD
et, par conséquent,
ôT' (
u 7rap
Remplaçant r et b^ par ^ et pB',
DBS BATIMBNTS A YAPBUII8. 9
dans réquation
on pourra la mettre sous la forme
En supposant la q"^"^»^^^!/ ITZ; connue, el en la désignant par M, on aura
=mI/
dhnpc
L'équation
deviendra aussi, en remplaçant b^ par j3B^, a* par aA*, et U par sa valeur
wttSD
d'où
- -KP^ ..v
et en désignant par S la quantité
e,(.+îl/£)
> on aura
^ D=sl
"^ Les. coefficients « , 3, 3, ne pouvant être déterminés rigoureusement par le à^cul, et variant non seulement d'un bâtiment à un autre, mais, selon les ciç^nstances , pour le même bâtiment, l'introduction des facteurs M et S dans les équations
y=Ml/^ « '>=sï
fournira les moyens de résoudre les questions relatives aux proportions ou
10 CHAP. ««". — TlltOtfB «ÉNÉKALB
dimensions principales des machines et des navires à vapeur, en les comparant à d*aiUres dont les qualités sont connues.
En combinant ces deux équations » éliminant D» et considérant B^ comme rinconnue, on aura
B=-s--vr-
Ainsi , la force de la machine à vapeur étant donnée, on connaîtra la surface immergée de la plus grande section transversale du navire que celte machine pourrait faire mouvoir avec une vitesse déterminée. Celte même équation donne
ou, puisque nc=30i;,
80rf2m/>r=z|5B2VS ou bien encore
ce qui fera connaître la force que doit avoir une m«ichine pour faire prendre à un navire de grandeur déterminée une vitesse donnée. On voit que la force de la machine augmente proportionnellement au cube de cette vitesse. Si Ton se donne encore la vitesse v , correspondante à une course c j que doit avoir le piston du cylindre à vapeur, ainsi que la pression p exercée sur ce piston , on en conclura son diamètre, et, par suite, toutes les autres dimensions de la machine.
En représentant iizd'^mpv par F, exprimant la force de la machine en che-
vaux-vapeur, et rb^jïTiP^^ le facteur unique K, on aura les deux équations
F=KB2V3, B^=3^r
F Le coefficient K=^5^ ayant été calculé pour des bâtiments à vapeur con-.^^
nus et devant servir de termes de comparaison , on déduira de ces de\pi équations la force en chevaux-vapeur que doit avoir une machine , lors(0on se donne le navire et sa vitesse de sillage , et , réciproquement , l'aire e/< section transversale du navire , lorsque la force de la machine et la vitesse de sillage sont données.
Enfin, remplaçant B^ par7.LT (X désignant le rapport de la surfafee immergée du matCre coitpleau paraHélogramme circonscrit, L la largélitdti
BÉS BATIMBIITS A VAPBUm. 11
navire à la flottaison, T le tirant d'eau (ou mieux la profondeur de la carèla saillie de la quille non comprise), etXK parK', les deux formules
ne
précédentes pourront être écrites ainsi :
F=K'LTVS LT=
S 4. MOCTEHENT DANS DBS GOURANTS.
Soient u la vitesse du courant, et V4 la vitesse absolue que prend le bâtiment. Il est certain que Teau frappera la carène du navire avec la vitesse relative Yiqpt', selon que le courant sera favorable ou contraire, et qu'elle se dérobera à l'impulsion des aubes avec cette vitesse relative, c'est-à-dire que la vitesse d'action des aubes sera égale à U — (Vjipii).
On aura , en supposant que le mouvement est devenu uniforme (SI)»
my.^u)^= ka^ [U-( V. qi u)]S et les équations
U=(l-|-^)v et \7:(Pmpv=ka^{\]—\y\]
deviendront
U = ri+^)(V,qpu) et {7t(Pmpv=ka'\T]—(y,z:izu)yV=kb\Y,zf:uyiJi
d'où
i7c(Pmpvz=kb^(y^zç:u)^(i+2)'
Cette dernière expression nous apprend que la force motrice des bâtiments à vapeur naviguant dans des courants est proportionnelle au cube de leur vitesse relative.
La vitesse du piston de la machine, et par conséquent celle des aubes, Bpstantles mêmes qu'en eau calme, on aura V=V|q:u, d'où V|=V±:tt. Ainsi^ la vitesse absolue du sillage d'un bâtiment à vâpeiir naviguant avec le jurant sera égale à sa vitesse en eau calme, augmentée de celle du courant, et elle sera égale à la différence de ces deux dernières vitesses lorsque le bâtimenlt naviguera contre le courant.
Nons observerons que, s'il s'agissait du mouvement d'un bateau à vapeur dans une rivière , il faudrait non seulement tenir compte des variations de
12 CHAP. î^. — THÉORIE GÉNiftALS
la vitesse du courant , mais aussi de la pente de la rivière et de l'augmentation de résistance due à la configuration de son lit.
î^orsqu'on navigue dans un courant alternativement favorable et contraire, comme celui produit par les marées, on peut déduire des vitesses observées la vitesse qui serait obtenue par l'action de la machine en eau calme.
Soient M le nombre de milles parcourus à l'heure avec le courant, M' le nombre de milles contre le courant , on aura ( Y et u étant exprimés en milles par heure)
M=V+u et M'=V— u; d'où
Ainsi, dans les expériences qui ont pour but de déterminer avec exactitude la vitesse de sillage d'un bâtiment à vapeur en eau calme, il faut choisir, autant que possible, le moment de la mer étale , et, pour tenir compte de reflet des courants de marée , se régler sur une distance d'un mille bien dé* terminé à terre, et aller et revenir de suite pour avoir la même vitesse de courant. C'est à ce défaut de précautions qu'on doit attribuer les résultats souvent exagérés des vitesses d'épreuve des bâtiments à vapeur.
8 5. nODVENENT PAR LES ACTIONS COMBINEES DE LA FORCE DU VENT
