DU PROBLEME GÉOMÉTRIQUE

coordonnées ou des accroissements des variables de l'équation. Leibnitz, à son tour, fournit le moyen de calculer ce rapport; il le déduit, par un procédé infaillible, de l'équation considérée par Descartes.

Dès lors, le problème de la tangence est résolu, non seulement pour le cercle, les sections coniques et les autres courbes qui avaient fixé individuellement l'attention des géomètres, mais il est résolu aussi pour toutes les courbes dont l'expression algébrique est connue. Il en serait de même pour la détermination du rayon de courbure, question du même ordre, intimement liée à la précédente. Le géomètre peut désormais se passer des modes incertains et laborieux qui présidaient auparavant à ses recherches.

Ceux qui continuent d'y recourir le font par une sorte d'amour de l'art, fort compréhensible d'ailleurs, car les spéculations à la manière des anciens, précisément parce qu'elles n'ont pas le caractère un peu mécanique de l'Analyse moderne, offrent à l'esprit un attrait supérieur. Malheureusement, cet attrait ne suffit pas pour assurer la solution.

Je passe au second problème, celui des longueurs et des surfaces. Ce que j'en ai dit, à

i68 DE l'expérience en géométrie.

propos du concept des limites, dans la première partie de ce travail, montre que la difficulté est ramenée à celle de l'évaluation de la limite vers laquelle converge la somme de très petits côtés d'un périmètre ou de très petites surfaces rectangulaires, lorsque ces côtés et ces surfaces diminuent au delà de toute expression. Or, ces sommés sont précisément l'objet du Calcul intégral, de même que les rapports sont l'objet du Calcul différentiel. La seule dissemblance dans les résultats, c'est que le premier mécanisme est d'un effet immanquable, tandis que le second ne l'est pas. On ne sait pas toujours — il s'en faut — intégrer ou trouver la valeur d'une limite de somme. Nonobstant cette impuissance théorique, les géomètres sont parvenus, par d'ingénieux artifices, à étendre tellement la liste des réussites, que pratiquement bien peu de courbes intéressantes échappent à la méthode. En sorte que d'un point de vue d'ensemble on peut constater que la découverte de Leibnitz a reculé indéfiniment les bornes de l'ancienne Géométrie.

Je crois inutile de parler des surfaces non contenues dans le même plan, non plus que des volumes que ces surfaces peuvent enclore. Sauf le nombre des variables, qui est ici de trois au

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lieu de deux, les mêmes procédés s'appliquent et des avantages analogues peuvent être obtenus.

En résumé, les deux brcinches, spéciale et générale, de la Géométrie se relient Tune à l'autre par la communauté de leurs concepts et par les bases que la première fournit à la seconde. Malgré l'invasion du Calcul, qui semble donner à celle-ci un caraclère abstrait et la séparer du monde physique pour la rejeter dans les Mathématiques pures, elle n'est pas, au fond, moins concrète que sa devancière. Elle emprunte les mêmes notions expérimentales et ne vit que par les matériaux que la Géométrie ancienne a amassés et lui fournit libéralement. Ce qui induit à lui attribuer un caractère strictement rationnel, c'est qu'elle ne discute pas les vérités géométriques dont elle fait usage. Elle paraît les accepter comme évidentes; mais ce n'est pas parce qu'elle en place la source dans la raison

pure, c'est uniquement parce que la Géométrie ancienne en ayant déjà dressé l'inventaire, elle ne se croit pas obligée de recommencer cette opération; elle s'en tient aux résultats acquis. Mais il importe de le répéter, l'invention de Descartes, non plus que celle de Leibnitz, n'ont rien changé aux bases de la Géométrie: l'espace, l'angle, la ligne droite, le plan, les parallèles sont restés ce qu'ils étaient auparavant. Le mode d'opérer sur ces éléments a changé, voilà tout. Le Calcul remplace des combinaisons graphiques, mais il s'appuie implicitement sur les mêmes axiomes et n'obtiendrait rien sans eux. Quant à ces axiomes, les plus hautes spécula-

tions analytiques ne sauraient en altérer la nature. La mise en équation d'une ligne ou d'une surface ne fait pas que la première des lignes, la droite, et la première des surfaces, le plan, ne soient pas douées de propriétés que l'observation seule a permis de connaître. Quelque évidente qu'elle apparaisse par elle-même, la propriété du plus court chemin nous a été révélée par l'expérience. Quel droit avions-nous d'affirmer a priori que l'arc de cercle, par exemple, est plus long que sa corde? Nous le voyons et nous le savons maintenant, mais à l'origine, au début de

nos sensations, nous n'aurions pu le proclamer. Nous pressentions tout au plus cette véritc, mais elle n'était point certaine à nos yeux avant qu'une épreuve précise l'eût mise hors de contestation. Et de même, comment pouvions-nous savoir que la surface d'une eau tranquille est susceptible de recevoir dans tous les sens l'empreinte d'une ligne droite ? C'est encore par l'application que nous en avons été instruits.

Plus tard, avec l'éducation prolongée de nos organes et de notre esprit, avec la netteté et la force de nos impressions, avec la sécurité que nous communique un contrôle maintes fois exercé, nous sommes portés à transformer en axiomes rationnels des lois physiques, après tout contingentes. Mais il y a un double intérêt à ne pas prendre le change. D'une part, une saine philosophie nous commande de bien connaîtn* les bases de notre certitude. Il existe un second motif d'un ordre, je dirai, plus prcitique, et co motif est le suivant. Si les vérités premières do la Géométrie sont empruntées à la raison pure, nous n'avons pas le droit d'en augmenter le nombre. Elles sont ce qu'elles sont, et nous avons l'obligation de rattacher à elles par un lien rigoureux, par une série de déductions logiques,

les autres vérités géométriques. Si au contraire ces axiomes sont puisés dans l'observation de la Nature, il ne nous est pas interdit d'en établir un de plus, par voie expérimentale, lorsque ceux déjà admis ne nous suffisent pas et que le raisonnement est impuissant à fournir une démonstration irréfutable. Tel est le cas pour le postulatum d'Euclide. Si le grand géomètre avait résolument rangé parmi les axiomes, en lui donnant au besoin une forme plus saisissante, la nouvelle vérité dont il avait besoin pour construire la théorie des parallèles, ses successeurs auraient probablement suivi sa trace, et une grande difficulté théorique eût ainsi été évitée. En se contentant au contraire du titre trop réservé de postulatum ou de demande, Euclide a laissé supposer que son œuvre était inachevée, et dès lors il a ouvert la voie à toutes sortes de recherches qui devaient aboutir à la Géométrie abstraite, c'est-à-dire à un ordre d'idées bien différent de celui qui avait été le sien.

J'ai longuement insisté, au cours de ce travail, afin de bien marquer le caractère des vérités initiales. Il ne s'agit pas, on le comprend, d'une querelle de mots, mais d'une divergence de fond

qui me parait avoir son importance, au point de vue des progrès de la Science. Autant il est souhaitable que la haute Analyse élargisse le plus possible le champ des spéculations géométriques, autant il est nécessaire que les bases elles-mêmes restent intangibles. Plus l'édifice s'élève, plus les fondations doivent garder leur solidité.