INVENTION DE DESCARTES OU APPLICATION DE L'ALGÈBRE A LA GÉOMÉTRIE

L'invention de Descartes, telle qu'elle est actuellement comprise et appliquée, repose sur cette idée capitale que toute courbe susceptible d'une définition géométrique peut être exprimée par une équation algébrique à deux inconnues — je parle pour le moment des figures planes. Réciproquement, toute équation peut être conçue comme représentant une courbe géométrique.

Cette idée, qui nous paraît si simple et si évidente, fut un objet de surprise pour les contemporains de Descartes. On ne vit pas tout d'abord ce qu'elle était réellement, l'origine d'une révolution dans les méthodes. L'inventeur eut quelque peine à en faire accepter l'exactitude et à en démontrer la fécondité. Les applications ont dépassé ce qu'il était permis d'espérer. Non seule-

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ment la Science Ta faite sienne et y trouve un champ de spéculations inépuisable, mais elle est devenue en quelque sorte banale et familière aux esprits les plus étrang^ers à la Géométrie. Il n'est personne aujourd'hui qui, en présence d'une série de faits en relation avec le temps, ou avec la distance, ou avec tout autre élément pris pour base, ne songe immédiatement, pour rendre Tenchainement plus clair, à l'exprimer sous forme d'une courbe, dont la coordonnée verticale est le fait à enregistrer. Les statisticiens qui veulent embrasser du regard le développement du commerce, de la population, de la fortune publique, emploient continuellement ce procédé qui n'est que l'idée même de Descartes, réduite, il est vrai, à la partie purement graphique.

On se rend compte aisément que toute courbe géométrique plane peut être exprimée par une équation à deux variables. En effet un point quelconque d'un plan est déterminé par ses deux coordonnées ou par ses distances à deux axes, que je suppose rectangulaires. Si ce point appartient à une courbe, les deux coordonnées ne peuvent avoir à la fois des valeurs arbitraires, indépendantes Tune de l'autre. Mais ces valeurs doivent satisfaire à une équation de condition, à

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savoir l'équation qui exprime la propriété caractéristique de la courbe, par laquelle celle-ci peut être définie. Si le point se trouve, par exemple, sur un cercle dont les axes occupent le centre, les coordonnées sont soumises à la condition que la somme de leurs carrés est constante ou égale au carré du rayon. De là une équation entre les deux variables que sont les coordonnées. Si le point se trouve sur une ellipse, les coordonnées devront de même réaliser la condition que la somme des distances aux deux foyers est constante, ou toute autre condition équivalente. D'une façon générale, la courbe définie géométriquement apporte une condition nécessaire à laquelle les coordonnées doivent satisfaire et qui se traduit par une relation algébrique, devenue ainsi l'équation même de la courbe.

Réciproquement une équation à deux variables étant donnée, on peut imaginer que l'une des deux variables représente l'abscisse d'une courbe et que l'autre variable en représente l'ordonnée. A chaque valeur de l'abscisse correspond, en vertu de l'équation même, une valeur déterminée de l'ordonnée et par suite la position précise d'un point. La succession de tous ces points

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prend la forme d'unç courbe, laquelle est dès lors le lieu géométrique des points qui satisfont à la condition ou à la relation donnée. La courbe ainsi obtenue jouit de propriétés qui étaient renfermées en germe dans l'équation et qu'une saine interprétation met en évidence. En résumé la conception algébrique peut être substituée à la conception géométrique, ou pour mieux dire les deux conceptions n'en font qu'une : l'esprit s'habitue à ne voir dans une équation à deux variables que Timage virtuelle d'une courbe plane qui peut à tout instant être retracée.

Dès lors, les catégories d'équations représentent des catégories de courbes. Si l'on classe les équations suivant leur degréy chaque degré correspond à une famille de courbes réunies par cette parenté algébrique. Ainsi — et c'est peutêtre là le spécimen le plus mémorable — le deuxième degré comprend le cercle et les trois sections coniques. Ces courbes fameuses examinées isolément par les géomètres de l'antiquité, et chez lesquelles ils avaient reconnu cette particularité remarquable de pouvoir être engendrées sur le même cône par' l'intersection d'un plan diversement incliné, se trouvent rapprochées par cet autre caractère, bien différent, d'être

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exprimables par des équations du même degré* Il est donc possible d'établir des familles de courbes, de même que dans l'histoire naturelle on établit des familles de plantes ou d'animaux, reconnaissables à certains traits communs, et dont l'étude peut être poursuivie d'un point de vue d'ensemble. Pareillement, dans la Géométrie analytique (qu'il eût été préférable d'appeler Géométrie algébrique^ le terme d'Analyse étant réservé pour d'autres emplois), dans cette Géométrie, dis-je, il devient possible de rechercher des propriétés génériques dont la Géométrie spéciale ne donne pas l'idée. Ces travaux sont d'ailleurs sans limites, car rien n'impose l'obligation de s'arrêter à un type déterminé d'équations. Le champ indéfini des spéculations est ouvert, et l'on n'y rencontrerait pas de bornes si les difficultés de calcul n'augmentaient à mesure qu'on s'élève et ne venaient placer devant le géomètre des barrières effectives.

Il y a plus. Non seulement on substitue la notion de groupes généraux à celle de spécimens particuliers, mais on peut, d'un regard plus large encore, réunir ces groupes dans une vaste synthèse et rechercher les propriétés qu'ils possèdent en commun. Je citerai deux de ces pro-

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priétés qui ont, de tout temps, sollicité vivement l'attention des géomètres : la tangence et la courbure. C'est là, on peut le dire, l'essence elle propre des courbes; en pénétrant ces caractères on connaît ce qu'il y a en elles de plus intime et de plus distinctif. Or, l'invention de Descartes a fourni le moyen de procéder à de pareilles investigations ou, du moins, de les concevoir dans toute leur généralité. Car, pour les effectuer intégralement, il est nécessaire de recourir à la seconde invention, celle de Leibnitz.

Je n'ai parlé que des courbes planes. Les surfaces non planes ou à trois dimensions donneraient lieu à des considérations analogues. Leur représentation analytique exige l'emploi de trois coordonnées. Réciproquement, les équations à trois variables servent à exprimer la position d'un point quelconque par rapport à trois axes fixes. La logique indiquerait de classer les surfaces d'après le degré de leurs équations. Mais, en fait, ce classement, déjà obscur pour les courbes d'un degré supérieur, perd toute signification pratique pour les surfaces : j'entends par là qu'on serait conduit à réunir sous la même rubrique des surfaces dont les propriétés géomé-

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triques sont extrêmement dififérentes. On trouve plus simple, en général, de recourir au classement d'après le mode de génération.

De même qu^on étudie chez les courbes certaines propriétés communes, notamment la tangence et la courbure, de même on recherche pour les surfaces la position du plan tangent et la valeur de la figure, du type uniforme, qui représente la courbure en un point donné.

Les conditions se correspondent: le plan remplace la ligne droite et une surface à trois dimensions remplace le cercle de courbure. On aperçoit, sans qu'il soit besoin d'insister davantage, l'ampleur de la conception géométrique et, en même temps, les difficultés analytiques, souvent insurmontables, qui peuvent se rencontrer dans la solution effective du problème.

2- LWENTION DE LEIBNITZ OU APPLICATION DU CALCUL INFINITÉSIMAL AUX ÉQUATIONS DE LA GÉOMÉTRIE.

L'invention de Leibnitz est arrivée à point pour suppléer à l'insuffisance de l'Algèbre proprement dite. Descartes avait supprimé les bornes de l'ancienne Géométrie en introduisant la représentation analytique. Mais les équations restaient

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le plus souvent non résolues. Les calculs étaienl indiqués, mais ils ne pouvaient être effectués. De même qu'une méthode générale avait manqué à la Géométrie, une méthode générale manquait maintenant à TAlgèbre.

C'est alors que Leibnitz, concurremment à Newton, mais sous une forme meilleure, proposa ses merveilleux procédés connus sous le nom à^ Analyse infinitésimale.

Découverte à l'occasion de problèmes de Géométrie, elle est beaucoup plus générale que cette Science. Elle ne s'applique pas seulement aux équations qui expriment des phénomènes géométriques, mais aussi à celles qu'on rencontre en Mécanique, en Physique; en un mot, elle s'applique à toutes les relations algébriques, quelles qu'on soient la forme et la signification. La méthode est, d'ailleurs, la même partout, et nous n'avons qu'à l'envisager dans l'ordre de faits qui nous intéresse. Il en est deux exemples saillants : la détermination des tangentes et l'évaluation des longueurs ou des surfaces. Ces deux opérations sont même tellement adéquates au mécanisme du Calcul infinitésimal qu'on a quelque peine à les concevoir séparément.

Le Calcul infinitésimal, on le sait, a essentiel-

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lement en vue la mesure des limites de rapport, d'une part, et des limites de somme, d'autre part. De là ses deux branches : Calcul différentiel et Calcul intégral. Le premier recherche la limite vers laquelle tend le rapport des accroissements des deux variables d'une équation — pour ne parler que des courbes planes — lorsque ces accroissements, en vertu de la relation qui les unit, convergent simultanément vers zéro. Si les variables représentent les deux coordonnées d'une courbe, le Calcul différentiel procure donc la limite vers laquelle tend le rapport des accroissements de ces coordonnées, c'est-à-dire la direction de la tangente à la courbe. En effet, la position de la tangente est la limite des positions de la sécante quand les deux points se rapprochent indéfiniment, et la direction de la sécante est constamment indiquée par le rapport de l'accroissement de l'ordonnée à l'accroissement de l'abscisse, quel que soit l'intervalle des deux points d'intersection. Le Calcul infinitésimal apporte ainsi la solution pratique du problème géométrique posé par Descartes. En résumé, Descartes avait trouvé que la direction de la tangente à une courbe était déterminée par la limite du rapport des accroissements de ses