XXI. — l'espace non-euclidien et les vérifications physiques

(Vol. II, p. 378).

Dès l'origine de rhypergéométrie, ses fondateurs ont demandé que l'on vérifiât expérimentalement si l'espace est ou non conforme au schéma de la géométrie euclidienne. Loba- TSCHEAvsKY (Etiides géométriques sur la théorie des parallèles, trad. HouEL, Mémoires de Bordeaux, t. IV, 1866, p. 120) et RiEMANN (JOeber die Hypothesen welche der Géométrie zu Grunde liegen, Abh. der Kgl. Gesellschaft zu Gœttingen, vol. XIII, 1854, p. 148) ont expressément réclamé des observations astronomiques dans ce but, et Helmholtz a approuvé cette manière de voir (Populaere Vortraege. Brunsw^ick, 1876, pp. 42, 43 et Wissenschaftliche Abhandlungen, Leipzig, 1884, p. 154). En 1872, M. Mach estimait que si Ton avait échoué jusqu'alors à constituer une théorie mécanique pleinement satisfaisante de Télectricité, c'est qu'on s'était obstiné à considérer les mouvements moléculaires dans un espace à trois dimensions (cf. G. Sorel, Vues sur les problèmes de la philosophie, Revue de Métaphysique et de Morale, XVIII, sept. 1910, p. 610) et vers la même époque, Tastronome Zoell- NER rattachait l'action à distance de la gravitation, postulée par la théorie newtonienne, à l'existence d'une- quatrième dimension de Tespace (Principien einer elektrodynamischen Théorie der Materie, Leipzig, 1876, pp. lxxii et suiv.). Plus tard, Tait formulait cette supposition que le système solaire et, avec lui, notre terre, pourraient un jour arriver dans des régions de l'espace où la courbure de ce dernier se modifierait (Conférence sur quelques-uns des progrès récents de la physique, trad. Krouchkoll, Paris, 1886, pp. 12 et suiv.), et M. Bertrand Russell proposait sur la « constante spatiale » une expérience précise consistant à rouler un disque et à mesurer le chemin parcouru [Les axiomes euclidiens sonl-ils empiriques .^ Revue de Métaphysique, VI, 1898, p. 761). Plus récemment encore, M. G. Fano a prévu le jour où, en possession d'instruments plus perfectionnés que ceux dont nous disposons actuellement, nous serions amenés à « nous convaincre que l'une ou l'autre des deux géométries non-euclidiennes se prêtent à représenter les rapports de position des corps, tels qu'ils sont perçus par nous, avec une approximation plus grande que ne le fait la géométrie euclidienne » (La geometria non-euclidea, Scientia, IV, 1908, p. 280). On a d'ailleurs tenté d'introduire aussi l'hypothèse de l'hyperespace dans la

chimie, en représentant notamment l'azote pentavalent dans un espace à quatre dimensions (F. Severi, Hypothèses et réalité dans les sciences géométric/iies, Scieniidi, VIII, 1910, p. li) et nous avons parlé (vol. I*% p. 182 a) de la manière dont, selon Renan, cette idée devait, en biologie, se combiner avec celle de la préformation. On peut se convaincre, en parcourant les travaux que nous venons de citer, que ces spéculations sont indépendantes de celles sur l'hypergéométrie spatio-temporelle de Minkowski.

La similitude du développement ne constitue d'ailleurs pas le seul point de contact entre la théorie de la relativité et les conceptions plus anciennes sur rhvperespace. En effet, M. Einstein suppose que notre espace lui-même n'est point euclidien, mais bien « sphérique », et calcule même son rayon de courbure [Ueber die spezielle iind die allgemeine Relativilaetsthéorie, 9* éd., Brunswick, 1920, p. 77).

En parlant de la déduction mathématique (notamment au chap. XVI, pp. 203 et suiv.), nous avons, afin de ne pas trop compliquer les raisonnements, fait abstraction de ces développements récents. Que si, au contraire, on tient compte des théories sur l'hyperespace, les vues que nous avons exposées comportent quelques réserves.

Nous venons de voir que ce qui caractérise, au point de vue le plus général, ces conceptions nouvelles, c'est le fait que les intuitions géométriques qui forment le fondement de la géométrie euclidienne n'y sont plus considérées comme inébranlables. Au contraire, ces bases doivent être soumises au contrôle de l'expérience et modifiées conformément aux indications fournies par celle ci. De ce fait, la géométrie se trouve rapprochée des sciences physiques. Sans doute ne songe- t-on point à y introduire les considérations de statistique, mais il n^'apparaît plus comme inimaginable qu'un énoncé arrive à être conçu comme simplement approchant. Ainsi des êtres à deux dimensions, vivant sur une surface sphérique, aboutiraient infailliblement, sils parvenaient à mesurer un cercle suffisamment grand, à considérer que le rapport entre le diamètre et la circonférence n'est pas une constante, mais une fonction variant avec la grandeur du diamètre. Et de même, si notre espace est « sphérique », nous pourrions être amenés, dans des conditions favorables, à reconnaître que le rapport entre le contenu d'une sphère et son rayon, tel que le définit la géométrie euclidienne, ne constitue qu'une approximation, et que, pour des valeurs suffisamment grandes de ce rayon, ce rapport doit subir une correction sensible,

A supposer que ces doctrines triomphent réellement dans la science, qu'y aura-t-il de changé au point de vue de la ra-

4'i6 APPENDICES

tionalisation du réel par les mathématiques dont nous avons parlé dans notre chapitre XVI ?

On peut tout d'abord faire valoir que, la nouvelle géométrie s'écartant notablement des conceptions du sens commun, la force explicative des théories qui seraient fondées sur elle se trouverait, par là même grandement diminuée. La situation, en effet, serait, en un certain sens, analogue à celle que nous avons constatée au chapitre VIII (pp. 309 et suiv.) en ce qui concerne les explications par le mouvement atomique discontinu.

Toutefois, il n'est point, semble-t il, trop risqué de prédire que, pour ce qui a trait au rôle des mathématiques dans les sciences physiques, la modification ne sera pas très sensible. Il faut considérer, en effet, que ce qui fait la valeur des mathématiques dans cet ordre d'idées, c'est Timportance qu'y prend la déduction. Or, cette importance se trouvera, sans doute, dans la nouvelle géométrie, diminuée : on n'affirmera plus que les résultats des déductions ne pourront jamais être contredits par l'expérience. Mais il convient de remarquer que ce que l'on modifiera chaque fois, en passant par exemple de l'espace euclidien à un espace sphérique et de là à un espace elliptique, ce seront uniquement les bases même de notre conception spatiale, les axiomes et postulats du début. Le développement n'en continuera pas moins à être essentiellement déductif et le concept mathématique sera encore, en comparaison du concept physique, infiniment perlucide. En considérant la géométrie comme une science physique, ce sera une science dont le donné expérimental sera très réduit et où le raisonnement au contraire jouera encore un rôle grandement prédominant. On peut d'ailleurs estimer, nous Tavons vu, que la situation est déjà analogue dans la géométrie actuelle et à cet égard, par conséquent, le changement ne sera point fondamental.

INDEX

Abegg, I, 220.

Abel, I, 34.

Abélard, II, 25.

Adbt, II, 388.

Alembert (d'), I, 81. II, 69, 172, 231, 266, 330.

Alexandre d'Aphrodisias, 1, 111, 112.

Ampère, I, 7, 192, 211, 288. II, 172.

Anaxagorb, I, 86. II, 325.

Andler, II, 410.

Anselme (S.), II, 76, 77.

Appuhn, I, 159.

Arghimèdb, I, 7, 16, 17, 121.

Aristakque de Samos, I, 121.

Aristotb, I, 10, 34, 53, 75, 86, 91, 94, 95, 115, 116, 117. 118, 119, 121, 122, 123, 163, 166, 167, 168, 169, 172, 254, 278, 279, 281, 289, 306, 319, 320. II,

Arrhenius, I, 200, 205, 207, 209, 279.

Arsonval (d'), I, 242.

Autenriejh, II, 51.

Avbnarius, I, 71.

Avogadro, I, 211, 214, 218, 288.

Baader, II, 87.

Bacon, I, 33, 89, 121, 124, 125, 258, ''59, 261, 262. Il, 154, 162. 239, 272, 273, 274, 291, 304, 305, 356, 357, 358,

Bacon (Roger), I, 289.

Baer (v.), II, 420.

Baeybr, I, 241, 299.

Baillehache, II, 161.

Baillie II, 58.

Bailly, I, 97, 98, 223. II, 277, 278,

Balfour, I, 100, 101, 309, 334, 335.

Barrow, II, 44.

Barth, II, 418.

Bateson, I, 159,

Baler (E.), I, 215.

Bauer iBruno), II, 101.

Baume, I, 11. II, 394, 395, 396, 421.

Bayen, II, 391.

Bayliss, I, 160.

Bêcher, II, 244, 400.

Becquerel (H.), II, 323, 324.

Becquerel (J.), II, 406.

BÉGUYER DE GhANCOURTOIS, II, 421.