I . Duhamel, Ibid.^ p
struite, en considérant deux points donnés, et en remarquant la ligne que trace le premier point lorsqu^il se meut vers le second et vers le second seulement, par opposition à la ligne qu'il trace lorsqu'avant de se mouvoir vers le second, il se meut soit vers un autre ou plusieurs autres points, ce qui donne la ligne brisée, soit vers une série infinie d'autres points, ce qui donne la ligne courbe. On voit ainsi que, dans la ligne droite tracée à partir d'un point, le tracé entier, c'està-dire la ligne droite elle-même, élant déterminé uniquement et complètement par son rapport avec un seul second point , tous ses caractères , quels qu'ils soient, connus ou inconnus, dérivent uniquement et complètement du rapport qu'il a avec ce seul second point.
De là, deux conséquences, l'une qui concerne la ligne entière, l'autre, qui concerne ses diverses portions. — Si, à partir du même premier point, on trace une autre ligne qui se meut aussi vers le même second point , et vers celui-là seulement, ce second tracé ne fait que répéter exactement le premier ; car tous ses caractères, comme tous ceux du premier, dérivent complètement et uniquement du rapport qu'il a, comme le premier, avec ce seul second point; d'où l'on voit que les caractères des deux lignes, quels qu'ils soient, connus ou inconnus, sont tous absolument les
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mêmes, en d'autres termes, que ces deux lignes se confondent et n'en font qu'une' : ce qu'on exprime de différentes façons, en disant qu'entre deux points on ne peut mener qu'une seule ligne droite, que deux points suffisent à déterminer la ligne droite interposée, que deux droites ayant deux points communs coïncident dans toute leur étendue intermédiaire, d'où l'on tire aisément que deux droites qui se coupent ne peuvent enclore un espace ^ — Voilà pour la ligne entière ; considérons maintenant ses diverses portions. Puisque le tracé entier est complètement et uniquement déterminé par son rapport avec le second point et dérive de là tous ses caractères , chacune de ses portions constituantes est uniquement et complètement déterminée par le même rapport et dérive aussi de là tous ses caractères, sauf un, qui est la propriété d'être telle portion et non telle autre, située à tel ou à tel endroit de la ligne, au commencement, à la fin ou au milieu. Par conséquent, si nous faisons abstraction de cette particularité, toutes les portions de la ligne ont exactement les mêmes caractères, en d'autres termes elles sont les mêmes.
1. Une démonstration tout à fait analogue prouve que deux circonférences dont les rayons sont égaux se confondent en une seule.
2. Cette dernière proposition est le douzième axiome d'Euclide.
Effectuons cette abstraction, et, pour cela, supprimons l'emplacement particulier d'un fragment de la ligne, en le retirant de l'endroit où il est, de la fin par exemple, pour le transporter ailleurs, par exemple au commencement, et pour le superposer en ce point à la ligne totale. Il se confondra avec la portion sur laquelle il sera appliqné, et les deux fragments n'en feront qu'un. D'où il suit qu'une portion quelconque de la ligne droite, retirée de sa place et superposée en un autre point quelconque à la ligne totale, coïncidera rigoureusement avec la portion sur laquelle on l'aura appliquée ^
Cela posé, nous connaissons le rapport d'une portion quelconque de la ligne droite à une autre portion quelconque de cette même ligne, et par suite , nous pouvons, au delà des deux points entre lesquels nous l'avons menée, la suivre jusqu'à l'infini. Soit, en effet, une
^^^ droite AB, prolongeons-la tant
ABC que l'on voudra au delà du point B, mais de façon à ce qu'elle reste droite , c'est-à-dire, d'après la condition précédente, de façon à ce qu'une quelconque de ses por-
1. Une démonstration analogue prouve que, dans le même cercle ou dans des cercles égaux, un arc quelconque transporté hors de sa place, coïncidera exactement avec la portion de circonférence sur laquelle on l'aura placé. C'est que la circonférence, comme la ligne droite, est une ligne uniforme.
CIIAP. If. LES JUGEMENTS GÉNÉRAUX. 359
lions puisse coïncider avec une de ses portions quelconques, partant avec toutes celles qui sont comprises dans son prolongement. Maintenant, supposons une seconde droite tracée de A en B, et prolongée de même aussi loin que l'on voudra; ainsi qu'on l'a prouvé tout à l'heure, de A en B, elle coïncidera avec la première ; mais, en outre, ce que nous allons prouver, au delà de B, si loin qu'on la prolonge, elle coïncidera avec le prolongement de la première. Car, admettons qu'en un point quelconque, elle cesse de coïncider, et qu'à partir de G par exemple, elle diverge au-dessus ou au-dessous de la première; prenons une portion du tracé qui soit commune aux deux lignes, AB par exemple et appliquons-la sur la première ligne, au point G, de façon qu'elle déborde en deçà et au delà. Puisque le première ligne est droite, cette portion coïncidera, en deçà et au delà de G, avec le fragment de la première ligne sur lequel elle aura été appliquée. Puisque la seconde ligne est censée droite, cette même portion devra coïncider aussi en deçà et au delà de G avec le fragment de la seconde ligne sur lequel elle aura été appliquée. Ge qui est contradictoire, puisque au delà de G, le second fragment diverge et cesse de coïncider avec le premier. Il y a donc contradiction à ce quela seconde
ligne soit droite et cesse de coïncider avec la première. Sa divergence exclut sa rectitude, ou sa rectitude exclut sa divergence. Si elle a cessé de coïncider avec la première, c'est qu'elle a cessé d'être droite ; pour qu'elle reste droite, il faut qu'elle continue à coïncider avec la première; pour qu'elle demeure toujours droite, il faut qu'elle continue toujours à coïncider avec la première. Par conséquent, deux droites qui ont deux points communs coïncident dans toute leur étendue, à quelque distance qu'on les prolonge ; ou encore, deux points suffisent à déterminer complètement dans une ligne droite, non-seulement le tracé qui les réunit, mais encore le tracé tout entier prolongé des deux côtés aussi loin que l'on voudra.
'< La définition et les propriétés de la ligne « droite, disait d'Alembert*, sontl'écueil et, pour « ainsi dire, le scandale des éléments de géomé- « trie. >' Si je ne me trompe, on vient de voir que ce scandale peut disparaître, et que les axiomes admis sont des théorèmes capables de preuve. Selon d'Alembert, les parallèles présentent une difficulté analogue. Sans doute, il est téméraire d'aborder un obstacle que de grands esprits et dés savants spéciaux déclarent invincible ou iu-
1. Mélatu/es. — Éclaircissernents sur les éléments de philosophie. Tom. V, 207.
vaincu; mais heureusement il s'agit moins de découvrir une démonstration que d'analyser une construction; nous faisons œuvre de psychologue et non de géomètre; nous cherchons simplement le procédé intime et secret par lequel, sous le témoignage accessoire et insuffisant des yeux, se forme la conviction inéhranlahle de l'esprit. — Comment construisons-nous la notion de deux parallèles ? Le moyen le plus ordinaire » est, sur une droite donnée dans un plan, d'élever une perpendiculaire par un point, et une autre perpendiculaire par un autre point ; ces deux perpendiculaires sont dites parallèles l'une à l'autre ^ Or, qu'y a-t-il de primitif dans cette construction? Rien, sinon qu'on suppose deux droites perpendiculaires toutes deux à une troisième, en désignant par le nom de perpendiculaire la droite qui, élevée sur une autre, fait avec celle-ci deux angles adjacents égaux ; c'est de cette construction (ju'il faudra déduire toutes les propriétés des parallèles. — A présent , quelles sont ces propriétés? Nous sentons que, dansées deux perpendiculaires comparées l'une à l'autre, il y a du même ; en effet, elles forment chacune avec la base les deux mêmes angles droits j et, par suite, l'une des deux avec ses angles, transportée
1. 76., 202. D'Aleinbert propose une autre construction, très-analogue, mais un peu moins simple.
sur l'antre, coïnciderait complètement avec l'autre et ses angles. Sauf une seule circonstance, qui est leur position sur deux points différents de la base, elles sont donc la mémo; et cette identité partielle, pourvu qu'on sache la démêler, doit se manifester par des suites précises. — Concevons que la portion de la base interceptée par leurs pieds remonte tout entière , d'un monvement uniforme, en demeurant inflexible, et de façon à ce qu'un de ses éléments trace dans son ascension une perpendiculaire à la base. Puisqu'elle est droite, tous ses éléments sont similaires ; sauf leur emplacement distinct, ils sont, comme on l'a vu, le même élément; d'où il suit que, dans leur ascension commune, ils traceront tous des droites similaires, c'est-à-dire les mêmes sauf l'emplacementdistinct; d'où il suit enfin que, l'une de ces droites étant perpendiculaire, toutes ies autres le seront. C'est pourquoi si l'extrémité A' trace dans son ascension une perpendiculaire, l'extrémité B en tracera une autre, et la ligne AB, dans son ascension, aura A B tracé en A et en B deux perpendiculai-
res. Mais puisque c'est toujours la même ligne AB qui remonte, elle sera partout la même à tous les paints du trajet, et comme c'est elle qui mesure la distance des deux perpendiculaires, cette distance sera la même à tous les points du trajet.
D'où il suit que la distance des deux perpendiculaires demeure toujours la môme et a pour mesure la portion de base interceptée par leurs pieds; d'où il suit, à plus forte raison, que les deux perpendiculaires, ayant toujours entre elles une distance, ne se rencontreront jamais.
A mon avis, telle est la secrète opération mentale qui soutient et éclaire le témoignage de nos sens, lorsque nous constatons ou croyons constater par les yeux que les deux perpendiculaires gardent partout entre elles la même distance. Pour l'admettre, nous avons une meilleure preuve que les durées à peu près égales des sensations éprouvées par nos muscles oculaires. Nous n'avons pas besoin d'appliquer plusieurs fois la même équerre sur une des deux perpendiculaires, de noter au crayon la distance indiquée par la première mesure, de la comparer à celles qu'indiquent les mesures suivantes, et de vérifier en récapitulant que toutes les mesures s'accordent pour indiquer des distances égales. Si l'esprit admet tout de suite cette égalité, c'est qu'il la crée; il la crée, en faisant remonter, et aussi en faisant descendre la même ligne intacte; il a vaguement conscience qu'au commencement et à la fin de sa construction, cette ligne est la même ; voilà la réminiscence sourde qui s'ajoute à la suggestion des yeux et devance les vérifications de l'équerre ,
pour rendre inutile l'emploi de l'équerre et pour autoriser, par une évidence plus forte, le témoignage insuffisant des yeux.
11 n'en est pas ainsi de la seconde proposition principale qui concerne les parallèles et qu'on nomme le postulat d'Euclide ; en effet, elle n'est pas un axiome, mais un postulat- Elle consiste à dire que, si une oblique MB ' rencontre la première parallèle ND, elle rencontre aussi la seconde OC. — On voit sans difficulté la condition suffisante et nécessaire de cette rencontre. 11 faut et il suffit que l'oblique prolongée au-dessous de B s'écarte assez de la première parallèle pour qu'une perpendiculaire NO, élevée à sa rencontre en un point N, égale la distance BA des deux parallèles. L'oblique s'écartera-t-elle assez pour cela? — On démontre aisément qne son écartement va croissant à mesure qu'elle se prolonge ; car, si, à un moment quelconque, cet écartement diminuait ou cessait de croître, deux points pris sur elle à partir de ce moment seraient à égale distance de la première parallèle, et, comme deux points suffisent pour déterminer une di'oite, l'oblique se confondrait avec une troisième parallèle qui passerait par ces
deux points, ce qui est impossible, puisque, par la proposition précédente, deux parallèles ne peuvent se rencontrer et puisque, par hypothèse, notre oblique rencontre la première parallèle. Donc, à mesure que l'oblique se prolonge, elle s'écarte davantage de la première parallèle, et la perpendiculaire qui mesure cet écartement est une grandeur qui va toujours croissant. — Mais notre question subsiste toujours. En effet, cette grandeur croissante croîtra -t -elle assez pour égaler une grandeur très-grande, et notamment une grandeur aussi grande que l'on voudra, comme peut l'être la distance des deux parallèles choisies? Ramenée à ces termes précis, la proposition nous laisse une certaine inquiétude ; sans doute , au premier aspect , voyant une oblique sensiblement inclinée, et deux parallèles médiocrement distantes, nous avons jugé que l'oblique, après avoir rencontré la première, rencontrerait la seconde ; c'est que le point de rencontre n'était pas loin ; nous l'apercevions avec les yeux, ou nous le marquions d'avance par l'imagination; sur ces indices, nous avons induit avec vraisemblance que, si petite que fût l'inclinaison et si grande que. fût la distance, la proposition serait toujours vraie. Mais, si nous supposons la distance égale à la ligne qui joint une étoile fixe à la terre, en même temps que
rinclinaison réduite à un cent millionième de seconde, nos yeux ne nous renseignent plus, notre imagination défaille, nous sommes troublés. Nous le sommes davantage encore, si nous nous rappelons que nous pouvons agrandir la distance et diminuer l'inclinaison beaucoup au delà de ces chiffres énormes, et cela indéfiniment. Nous devenons encore plus inquiets, si nous remarquons que certaines grandeurs croissent indéfiniment, sans jamais pouvoir atteindre une certaine limite, que vainement grossies et enflées, elles restent toujours au-dessous d'une grandeur donnée, que 1 + ^ ~j- i ~(~ 8 ~I~T6? ^^^'> i'6ste toujours au-dessous de 2, et que peut-être notre perpendiculaire est dans ce cas. — I] nous faudrait employer une analyse plus délicate. Essayons-la. Sur ce terrain, nous remarquons sans difficulté que le point N s'éloigne d'autant plus du point B que l'angle de l'oblique sur la première parallèle est plus petit. Nous remarquons en outre que, l'angle demeurant le même, le point N s'éloigne d'autant plus du point B que la distance des parallèles est plus grande ; puis, combinant les deux points de vue, nous concluons que BN est une grandeur dont les variations dépendent des variations de deux autres grandeurs. Il faudrait préciser cette double dépendance, et pour cela chercher un rapport
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fixe, lion plus entre les trois grandeurs, mais entre leurs parties, éléments ou fractions. En d'autres termes, il faudrait trouver dans quelle proportion l'angle diminué de moitié accroît BN, dans quelle proportion la distance doublée accroît BX, par suite dans quelle proportion composée l'angle diminué de moitié et en outre la distance doublée accroissent ensemble BN. Si nous pouvions déterminer exactement ce rapport, non-seulement nous pourrions affirmer que, l'angle étant aussi petit et la distance aussi grande qu'on voudra, l'oblique rencontrera toujours la seconde parallèle, mais encore, étant donnés l'angle et la distance, nous pourrions dire quelle sera la longueur de BN et, par suite, marquer d'avance sur la seconde parallèle le point précis où l'oblique la rencontrera. — Par malheur, les formules trigonométriques qui nous conduisaient là sont elles-mêmes fondées sur la supposition que l'oblique rencontre la seconde parallèle. Nous ne pouvons donc nous en servir ; ainsi le postulat d'Euclide reste un postulat, c'est-à-dire une proposition que nous voulons bien admettre par tolérance, mais que nous ne sommes point contraints de subir par force, et, de l'avis des géomètres les plus autorisés, les diverses démonstrations qu'on a voulu en donner, suffisantes pour entraîner notre assentiment, n'ont point la rigueur
analytique qui appartient aux tliéorcmes et aux axiomes proprement dits.
VI. Le lecteur .voit maintenant comment se forment les axiomes. Non-seulement Texpérience faite avec les yeux ou avec l'imagination n'est qu'un indice, mais de plus cet indice, en certains cas, peut manquer; tout à Theure, ni avec l'œil externe, ni avec l'œil interne, je ne pouvais suivre le prolongement des deux parallèles au delà d'une certaine distance ; pareillement, on peut citer telle ligure, le myriagone régulier, que je n'ai jamais vue tracée , que par l'imagination je ne puis tracer, et sur laquelle pourtant je puis porter avec clarté des jugements certains. Sous le travail de l'œil externe ou interne, il y a un sourd travail mental, la reconnaissance répétée ou continue d'une circonstance qui , supposée dans la construction primitive, persiste ou reparaît toujours la même aux divers moments successifs de notre opération. Quand, après avoir élevé mes deux perpendiculaires sur une base, je les suis indéfiniment par l'imagination sans pouvoir admettre qu'en un point quelconque du trajet elles se rapprochent, c'est qu'involontairement et sans le savoir, j'emporte avec elles la portion de base interceptée par leurs pieds, et qu'à tous les mo-
ments du parcours, cette base, toujours la même dans mon esprit, se fait vaguement reconnaître à mon esprit comme toujours la même. — Mais quoique la raison soit le véritable ouvrier de la conviction finale, l'indice que fournissent les sens est très-précieux. Car les témoignages de l'œil et de l'imagination devancent et confirment les conclusions de l'analyse; nous sommes conduits à l'axiome par une suggestion préalable, et nous y sommes maintenus par une vérification ultérieure. L'évidence 'sensible sert d'introduction et de complément à l'évidence logique, et c'est grâce à cette concordance que raritlimétique, la géométrie et même l'algèbre, ayant trouvé tout de suite leurs axiomes, ont été si précoces. — Il n'en est pas de même de la mécanique. Dans cette science, les axiomes ne concordent pas avec les inductions de l'expérience ; du moins ils ne concordent pas avec les inductions de l'expérience ordinaire. Par exemple, les axiomes disent que la matière est inerte, incapable de modifier spontanément son état , de passer du repos au mouvement si elle est en repos , et du mouvement au repos si elle est en mouvement. Or, tous les jours nous voyons des corps passer du mouvement au repos ou du repos au mouvement, à ce qu'il semble, spontanément, et sans l'intervention appréciable d'une condition nouvelle.
Une pierre lancée, un pendule qui oscille finissent par s'arrêter, et on est tenté de croire qu'ils s'arrêtent d'eux-mêmes ; un mélange détonne, une pomme tombe de son arbre, sans que nos sens démêlent la circonstance nouvelle qui, s'ajoutant à l'ancien état, a provoqué le nouveau. Pendant toute l'antiquité et tout le moyen âge, les philosophes ont admis des tendances au repos ou au mouvement, diverses chez les divers corps, la tendance vers le bas pour la pierre qui tombe, la tendance vers le haut pour l'air et le feu qui montent, la tendance au mouvement parfait ou circulaire pour les astres qui tournent, l'horreur du vide, etc. C'est seulement à la Renaissance, avec Stevin et Galilée que la mécanique a commencé; et, très-probablement, la cause de ce long retard est le désaccord de l'induction ordinaire et de la raison pure. Au lieu de mener à l'axiome, l'expérience en détournait ; au lieu de le confirmer elle le démentait. On n'avait pas d'aide pour le former, et, si on l'eût formé, l'observation, telle qu'on la pratiquait, aurait suffi pour le défaire. Nous avons fini par le former, et l'expérience mieux conduite se trouve aujourd'hui d'accord avec lui. Même, elle a été si bien conduite, et en certains cas, comme celui du pendule de Borda, elle se trouve si concluante que, selon plusieurs auteurs, l'induction est la seule preuve valable de
l'axiome; ils considèrent les principes de la mécanique comme des propositions analogues au principe de l'attraction, établies comme lui par l'induction pure, limitées comme lui au petit cercle et à la petite durée du monde que notre observation peut atteindre, in capables comme lui d'être appliquées au delà sinon par conjecture, et tout à fait douteu^s comme lui, quand notre témérité veut étendre leur empire à toutes les portions de l'espace ou à tous les moments du temps.
Pour nous, avec Leibnitz et d'Alembert, nous inclinons à penser que, parmi les principes de la mécanique, plusieurs sont non-seulement des vérités d'expérience, mais aussi des propositions analytiques. Afin de le montrer, examinons de près nos constructions. — Soit un mobile qui se meut d'un mouvement rectiligne et uniforme pendant une durée aussi courte que l'on voudra et en parcourant un espace aussi court que l'on voudra; voilà ce qu'on peut nommer son mouvement initial ou primitif; continuera-t-ilà se mouvoir et, en ce cas, quel sera son mouvement? — Si courte qu'ait été la durée d'abord écoulée, par exemple un millionième de seconde, et si petit qu'ait été l'espace d'abord traversé, par exemple un millième de millimètre, ou peut considérer tour à tour deux moitiés dans cotte durée et deux moitiés
dans cet espace. Comme, d'après uotre supposition, le mouvement a été rectlligne, le second demi-millième de millimètre décrit s'ajuste au premier en ligne droite. Comme, d'après notre supposition, le mouvement a été uniforme, l'espace parcouru pendant le deuxième demi-millionième de seconde est le même en grandeur que l'espace parcouru pendant le premier. De là suivent deux conséquences. Ni la direction, ni la vitesse du corps n'ont été altérées. La direction qu'il avait dans la première fraction d'espace est restée la même pendant la deuxième. La vitesse qu'il avait pendant la première fraction de durée est restée la même pendant la deuxième. Que la fraction soit la deuxième ou la première, il n'importe pas; ce caractère qui fait leur différence n'a pas eu d'influence sur le mouvement: par rapport au mouvement, ce caractère a été indifférent et, si j'ose ainsi parler, nul. — Mais, parmi les fractions semblables de l'espace ultérieur et de la durée consécutive, on peut en concevoir une qui suive immédiatement notre deuxième fraction, après le deuxième demi-millimètre de l'espace parcouru, un troisième, après le deuxième demimillionième de la durée employée, un troisième. Ce troisième, pris en lai-même et comparé au deuxième, n'en diffère que comme le deuxième diffère du premier; il vient après le deuxième
comme le deuxième vient après le premier; rien de plus. D'où il suit que, puisque l(^ caractère par lequel le deuxième diffère du premier, à savoir la propriété de venir ensuite, n'a pas eu d'influence sur le mouvement, le caractère par lequel le troisième diffère du second, à savoir la propriété de venir ensuite, n'aura pas d'influence sur le mouvement; par rapport au mouvement ce caractère sera aussi indifférent et nul, et, de même que pendant le deuxième moment le corps a continué son mouvement uniforme et rectiligne, de même pendant le troisième moment, sauf introduction d'un nouveau caractère influent, il continuera son mouvement uniforme et rectiligne. Même raisonnement pour le quatrième, le cinquième moment, et ainsi de suite à l'inflni. Réduite à ces termes, la preuve est rigoureuse. Elle est fondée tout entière sur deux remarques : l'une est que deux portions égales et contiguës de l'espace, comme deux portions égales et successives du temps, sont exactement les mêmes, sauf cette différence que la seconde est après la première; l'autre est que, si cette différence, posée une première fois, n'a pas eu d'effet sur le mouvement, cette même différence posée une seconde fois n'aura pas non plus d'effet sur le mouvement, à condition que la seconde fois elle soit absolument la même, et que nulle autre différence
influente et nouvelle ne soit intervenue. A quoi l'on pourvoit, en supposant que la troisième fraction de durée et d'espace répète la seconde absolument et à tous égards; que, nul caractère perturbateur ne s'étant rencontré dans la seconde, nul caractère perturbateur ne se rencontrera dans la troisième; que dans le troisième lieu et le troisième instant , comme dans le second lieu et le second instant, nulle circonstance étrangère et influente ne s'est adjointe pour arrêter, dévier, presser ou ralentir le mouvement; que, le petit espace d'abord parcouru étant vide, l'espace infini qui reste à parcourir est vide aussi: que, la courte durée d'abord employée n'ayant présenté aucun événementmodificateur, la durée infinie qui reste à employer n'en présentera non plus aucun. Bref, nous concluons d'un lieu à un lieu différent et d'un instant à un instant différent, avec autorité et certitude , lorsque cette différence, ayant manifesté son manque absolu d'influence, peut être considérée par rapport au mouvement comme nulle, et que, toute autre différence influente étant exclue par hypothèse, les deux lieux et les deux instants deviennent rigoureusement les mêmes par rapport au mouvement.
Le lecteur voit sans difficulté qu'un raisonnement analogue et plus simple encore s'applique au corps en repos ; car, dans ce cas, on n'a point à
tenir compte de l'espace, mais seulement de ladurée. — Soit un corps eu repos pendant une durée aussi courte que l'on voudra ; cette durée étant divisible en deux moitiés, on démontrera de même que, le corps étant demeuré pendant la seconde moitié dans le même état que pendant la première, le caractère par lequel la seconde moitié diffère de la première, c'est-à-dire la propriété qu'elle a de venir ensuite, n'a pas eu d'influence sur cet état ; d'où il suit qu'un troisième fragment égal, découpé dans la durée consécutive, n'aura pas non plus d'influence, à moins qu'on n'y fasse intervenir quelque circonstance nouvelle influente, quelque événement étranger efficace. C'est pourquoi, tant que cette exclusion sera maintenue, le repos primitif se maintiendra, et le corps en repos, comme le corps animé d'un mouvement uniforme et rectiligne, si bref que soit leur état initial, tendront à persévérer indéfiniment dans cet état.
L'axiome, ainsi démontré et entendu, notez sa portée restreinte. Il n'établit aucunement qu'un corps choqué par un autre prendra un mouvement rectiligne et uniforme, ni qu'un corps animé d'un mouvement rectiligne et uniforme pourra le perdre sous l'action d'un choc et demeurer alors indéfiniment en repos; ces vérités sont affaire d'induction et d'expérience. Nous sommes
ailleurs, dans la pure région des vérités abstraites; nous ne savons plus si, eu fait, il y a des mobiles en repos ou en mouvement; nous ne faisons qu'extraire et suivre les conséquences incluses dans une supposition ou construction initiale. — C'est pourquoi la simple analyse nous a suffi jusqu'ici et nous suffit encore pour démontrer deux autres propositions capitales de la mécanique. B' Soit une droite inflexible A B; supposons qu'elle remonte tout entière et de façon à rester toujours parallèle à sa première position; au bout d'un certain temps elle devient A'B' parallèle à A B, et nous convenons que ce laps de temps est une seconde. A présent, supposons que, pendant ce mouvement de la droite totale, un mobile, situé en A, s'est dirigé lui-même en ligne droite vers le point B, de façon à parcourir aussi en une seconde, c'est-à-dire dans le même laps de temps, la droite A B. Nous admettons ainsi pour A deux mouvements simultanés et différents, l'un qui lui est commun avec tous les autres points de la droite A B, l'autre qui lui est propre. — Remarquez que nous ne savons pas si les choses se passent ainsi dans la nature. Rien ne prouve que notre combinaison mentale ait ou même puisse avoir sa contre-partie dans les combinaisons réelles.
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Ou pourrait imagiucr uu état de choses daus lequel, par cela seul qu'uu corps se mouvrait dans uu sens, une portion de ce corps répugnerait à se mouvoir eu même temps dans un autre sens. Mais nous n'avons pas à nous inquiéter de ce que permettent ou interdisent les lois des choses réelles ; nous supposons dans notre mobile l'indépendance de deux mouvements simultanés et dirigés en sens différents, sauf à vérifier plus tard par l'expérience si les faits s'ajustent ou ne s'ajustent pas à cette conception. — De nos deux hypothèses que suit-il? Par la première il est admis que la ligne AB, remontant en A' B', devient A' B' au bout d'une seconde, et qu'ainsi au bout d'une seconde B se trouve en B'. Par la deuxième il est admis que le mobile situé en A se transporte de A en B, aussi en une seconde, sans que l'ascension de A B altère en rien sa propre translation. Cette ascension est donc indifférente et nulle par rapport à la translation, et le mobile chemine sur A Ben mouvement comme il cheminerait sur A B en repos. D'où il suit qu'au bout d'une seconde il est arrivé à l'extrémité de A B en mouvement, comme il serait arrivé au bout d'une seconde à l'extrémité de A B en repos. Mais, au bout d'une seconde, l'extrémité de A B en mouvement est B' ; donc au bout d'une seconde le mobile est en B'. D'où l'on voit que,
parti de l'angle du parallélogramme, il est arrivé à l'angle opposé.
Reste à savoir quelle ligne il a tracée dans ce parcours. Deux cas peuvent se présenter, celui du mouvement uniforme et celui du m-ouvementqui n'est pas uniforme. Nous n'examinerons que le premier, le plus simple de tous ; dans celui-ci, la vitesse de A B pendant toute son ascension est demeurée la même, comme aussi la vitesse du mobile en A pendant toute sa translation.
Par conséquent, au bout d'une A' B' ^7
demi-seconde A B s'est trouvé
exactement au mdieu de son parcours total, c est-a-dire en C D, et, au bout de la même demiseconde, le mobile A s'est trouvé exactement au milieu de son parcours total, c'està-dire en S. Mais comme A B, pendant ce laps de temps, est remonté en C D, le point S qui lui appartient y est remonté du même coup et s'y trouve en S', milieu de G D, comme S est le milieu de AB. Des considérations géométriques fort simples montrent que ce point S' est sur la diagonale, c'està-dire sur la ligne droite qui joint A et B'. En subdivisant les divisions de la seconde, on prouverait de même quetoutesles autres positions successives du mobile sont pareillement sur la diagonale, d'où il suit que la ligne qu'il trace dans son double
mouvement total d'ascension et de translation est la diagonale. — De là, une conséquence trèsimportante : notre mobile qui aurait décrit en une seconde la ligne A B, en une seconde aussi la ligne A A', décrit pareillement en une seconde la diagonale A B'. Donc, puisque les temps employés sont les mêmes et que les espaces parcourus sont différents, la vitesse du mouvement composé ne sera pas la même que celles des mouvements composants ; elle sera représentée par la diagonale et celles-ci seront représentées par les deux côtés de l'angle, ces trois lignes étant la mesure des espaces parcourus pendant l'unité de temps. Or, nous avons mesuré la force d'après la vitesse plus ou moins grande qu'elle imprime au même mobile. Supposons maintenant deux forces appliquées au mobile précédent, l'une qui, agissant seule^ lui ferait parcourir la ligne A B en une seconde, l'autre qui, agissant seule, lui ferait parcourir la ligne A A' aussi en une seconde ; appliquons-les au mobile toutes deux ensemble; on vient de voir qu'il parcourra la diagonale en une seconde. D'où il suit que la force résultante, évaluée par la vitesse imprimée, est aux forces composantes, évaluées aussi par la vitesse imprimée, comme la diagonale est aux deux côtés de l'angle. Partant, la diagonale mesure la foi'ce résultante par rapport aux forces composantes, comme
elle a mesuré la vitesse composée par rapport aux vitesses composantes. — Il suffit maintenant de faire entrer, dans la mesure des forces, son second élément, la masse, et nous avons montré comment cette idée se lie à l'idée de vitesse ^ Cela fait, on possède tous les axiomes essentiels de la mécanique, et on les a formés, comme on forme toute autre proposition analytique, par la simple analyse de la combinaison mentale dans laquelle, à l'état latent, ils étaient inclus.
VII. D'autres axiomes, moins fructueux, méritent aussi d'être démontrés, à cause de leur portée immense et de la prodigieuse envergure qu'ils semblent donner tout d'un coup à la counaissance humaine. Ce sont ceux qui concernent, non plus telle durée comparée à telle durée, tel espace comparé à tel espace, mais la durée tout entière et l'espace tout entier. Par rapport à un moment donné, la durée est infinie en avant et en arrière, et on peut la figurer par une droite qui, des deux côtés d'un point donné, est infinie. Par rapport à un point donné, l'espace est infini, selon trois aspects ; d'abord en longueur, ce que l'on figure en supposant un point qui, se déplaçant en ligne droite, engendre des deux côtés
