LOIS QUI CONCERNENT LES CHOSES POSSIBLES

I. On voit que ce procédé est fort long; car il suppose le recueil, le choix et la comparaison de plusieurs cas. En outre, d'ordinaire, plus la loi ainsi découverte est générale, plus il nous faut de temps pour y arriver ; car elle suppose la découverte préalable de diverses lois partielles; Nev^ton, Geoffroy Saint-Hilaire, Dalton, Faraday ne sont venus qu'après beaucoup d'autres, et la loi inductive la plus large que nous connaissions^ celle qui pose la conservation de la force, a été trouvée hier'. Enfin, si bien établie et vérifiée que soit une de ces lois, si on veut l'appliquer hors du petit cercle d'espace et du court fragment de durée dans lesquels sont confinées nos observations, elle n'est que probable. Il n'est pas absolument sûr que, par delà les dernières

1. Voir sur cet ordre des découvertes l'excellent livre du D'' Whewell, Hlstory of the inductive sciences^ 3 vol.

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uébuleuses d'Herschell, la loi de la gravitation tienne encore bon. Il n'est pas dn tout certain que, dans le soleil, l'hydrogène et l'oxygène gardent l'affinité chimique que nous leur connaissons sur notre terre. Il est possible que dans le soleil la température excessive, par delà les dernières nébuleuses quelque circonstance inconnue, interviennent pour annuler ou altérer la loi. Par conséquent, si on considère la proposition qui l'énonce, on trouve, d'une part, que l'acquisition en est tardive, d'autre part, que l'application en est limitée.

II. Tels sont les traits distinctifs des propositions générales dans lesquelles les idées composantes, formées par extraction et graduellement ajustées aux caractères généraux des choses réelles, sont tenues de correspondre à leur objet. — Tout autres sont les traits distinctifs des propositions générales dont les idées composantes, formées par construction, ne sont pas assujetties à une obligation semblable. Ce sont celles de l'arithmétique, de la géométrie, de la mécanique pure, de toutes les sciences mathématiques, et, plus généralement, de toutes les sciences déductives. Les propositions de ces sciences ne sont pas seulement probables, mais certaines au delà de notre petit monde; en tout cas, nous croyons qu'il

en est ainsi, et, de plus, nous ne pouvons ni croire ni même concevoir qu'il en soit autrement. Même par delà les dernières nébuleuses, deux faits ou objets ajoutés à trois faits ou objets de la même classe font cinq faits ou objets de la même classe ; s'il s'y trouve un triangle, la somme de ses angles est, comme chez nous, égale à deux droits; si un corps y est mû par deux forces dont les directions font un angle, il suivra comme chez nous la diagonale. Du moins, quelque effort que nous fassions pour concevoir le contraire, nous n'y parvenons pas; une fois bien entendues, les deux idées qui composent la proposition font dans notre esprit un couple indissoluble dont les termes, par eux-mêmes, répugnent à toute séparation. — En outre, parmi ces propositions, ce sont les plus générales qui sont découvertes les premières; car c'est par elles qu'on prouve les moins générales. Au point de vue géométrique, l'idée de solide est moins générale que celle de surface, et celle de surface moins générale que celle de ligne, puisque le solide est construit avec des surfaces et la surface avec des lignes, d'où il suit que, sinon dans la nature, du moins dans l'esprit, la surface se rencontre sans le solide, et la ligne sans la surface, mais non le solide sans la surface, ni la surface sans la ligne; ce qui donne à la surface un cas de plus qu'au so-

lide et à la ligne un cas de plus qu'à la surface. Or chacun sait que, pour établir les propositions qui concernent les solides, il faut d'abord établir celles qui concernent les surfaces, et que, pour établir les propositions qui concernent les surfaces, il faut d'abord établir celles qui concernent les lignes. — Enfin, parmi les plus générales de ces propositions, il en est quelquesunes, nommées axiomes, qu'on ne démontre point, et par lesquelles on démontre le reste. On les plante en tête de chaque science, comme des crampons pour y accrocher toutes les autres. Celles-ci sont autant d'anneaux qui font une ou plusieurs chaînes; chaque anneau y est suspendu au précédent et soutient le suivant; mais les points d'appui qui portent le tout sont deux, trois, quatre propositions expresses ou tacites, placées au sommet. Si on ne les démontre point, c'est (ju'on les déclare évidentes par ellesmêmes; du moins il semble au lecteur attentif que, pour les admettre, il n'a pas besoin de preuve; il lui suffit de les comprendre. Sitôt que les deux idées dont la proposition est composée sont nettes dans son esprit, elles s'attachent l'une à l'autre, et y font couple ; cette soudure réciproque est instantanée; chacun voit du premier coup que, parmi toutes les lignes menées d'un point à un autre point, la ligne droite est la plus

courte. Pareillement, dans chaque autre science déductive, il y a certaines idées primitives qui, une fois présentes dans l'esprit, s'engrènent ensemble aussi vite, par une attache aussi invincible, avec une autorité aussi incontestée. Voilà certes des propositions formées d'une façon étrange, et ce sont elles que nous allons d'abord examiner.

III. Il y a, pour ces sortes de propositions, deux sortes de preuves, l'une expérimentale, inductive, approximative et lente, l'autre analytique, déductive, exacte et courte; c'est la dernière dont on se sert dans toutes les sciences de construction. — Pour mieux marquer les caractères et les contrastes de ces deux preuves, que le lecteur me permette une supposition. Soit une proposition très-voisine des axiomes, cette vérité de la géométrie élémentaire que dans tout triangle la somme des angles est égale à deux droits. J'imagine un homme qui n'est pas géomètre et qui, par la structure de son cerveau, est incapable de le devenir, mais très-patient, très-exact et trèshabile à induire; je lui mets en main un demicercle divisé en minutes et secondes pour la mesure des angles; je trace devant lui une quantité de triangles, je lui enseigne à en tracer d'autres, et je le prie de chercher si, dans tous

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ces triangles, la somme des angles n'égale pas une certaine somme d'angles droits. — Pendant plusieurs journées, il applique son demi-cercle aux angles de trois ou quatre cents triangles; pour chacun d'eux, il regarde sur son demi-cercle les trois valeurs des trois angles, et, additionnant ces valeurs, il trouve toujours que leur somme est de 180 degrés ou de deux droits. Cela l'intéresse, et il tâche de démêler les lois partielles dont cette loi, obtenue par le recueil des concordances, est le total. — Il prend d'abord des triangles chez -lesquels un angle est droit; la somme des deux autres angles est alors égale à un droit, et il lui sera plus aisé de trouver la circonstance qui provoque cette égalité. Reprenant son demi-cercle, il constate que, toutes les fois que le premier de ces deux angles se rapproche de la valeur de l'angle droit, le second s'en écarte, en sorte que la diminution de l'un est compensée par l'augmentation de l'autre, et que, grâce à cette compensation perpétuelle, la somme des deux angles est toujours égale à un droit. — Il prend ensuite des triangles quelconques et chez lesquels un angle est de même grandeur ; puis, mesurant cet angle, il calcule par une soustraction la valeur que doivent avoir ensemble les deux autres angles pour former avec lui une grandeur égale à deux droits. Appliquant encore

une fois son demi-cercle, il constate que, toutes les fois que le premier de ces deux angles s'approche davantage de la valeur requise, le second s'en écarte davantage, en sorte que, la perte égalant le gain, la somme des deux angles est toujours égale à la valeur requise. — Ainsi dans tous les triangles, un angle étant donné, les diminutions ou augmentations qu'un des deux angles restants peut éprouver sont compensées par des augmentations ou diminutions égales de l'autre, et compensées de telle sorte que la grandeur totale des deux angles restants soit la valeur re- Quise pour form<^r avec l'angle donné une somme d'angles égale a deux droits. — Cela fait, notre chercheur a trouvé une liaison fixe entre les valeurs du deuxième et du troisième angle, une autre liaison fixe entre la somme de ces valeurs et la valeur du premier angle, et, par ces deux liaisons, il s'explique la valeur totale des trois angles. Mais il est à bout, il ne peut aller plus loin. Bien plus, après tant de mesures, d'additions, de soustractions, et de récapitulations, il a des motifs de doute ; il doit se demander si ses triangles tracés sont absolument parfaits, si les divisions de son demi-cercle sont rigoureusement égales, si, en appliquant son demi-cercle aux angles, il fait coïncider exactement les lignes des divisions avec les côtés des angles. Qu'il prenne

un fort microscope; en bien peu de cas il trou- \cva ces conditions remplies, et il doit supposer que, si le microscope était plus fort, il ne les trouverait remplies en aucun cas. Partant, tout ce qu'il peut affirmer c'est que, dans des triangles sensiblement parfaits, la somme des trois angles est sensiblement égale à deux droits. — -A présent faisons intervenir le géomètre; il ne trace qu'un triangle ; encore n'est-ce point de celui-là qu'il s'occupe ni d'aucun autre triangle tracé; son objet est un triangle quelconque ; il nous en avertit expressément ; la figure sensible n'est pour lui qu'un moyen de faire plus aisément une construction mentale ; ses yeux suivent sur le papier ou sur le tableau des lignes idéales auxquelles le tracé physique ne correspond qu'à peu près. Il complète sa construction mentale et sa figure sensible, en conduisant par le sommet du triangle, et parallèlement à la base, d'une part une ligne idéale, d'autre part un tracé physique entre lesquels il y ait aussi une correspondance grossière. La construction mentale achevée, il reprend ses définitions du triangle et des parallèles, il en note les éléments, il suit du doigt ces éléments dans le tracé approximatif, il rencontre en l'un ou plusieurs d'entre eux la propriété cherchée, et prouve ainsi le théorème par l'analyse de ses définitions.

Les axiomes sont des théorèmes analogues, mais qu'on se dispense de prouver, soit parce que la preuve en est très-facile, soit parce que la preuve en est très-difficile. En d'autres termes, ce sont des propositions analytiques, où le sujet contient l'attribut soit d'une façon très-visible, ce qui rend l'analyse inutile, soit d'une façon très-masquée, ce qui rend l'analyse presque impraticable. De là deux espèces d'axiomes, lesquelles confinent l'une à l'autre par des transitions.

Au bas de l'échelle, il y en a qui semblent insignifiants; c'est que l'analyse démandée y est toute faite; les termes de l'attribut se trouvent par avance dans les termes du sujet; le lecteur ne trouve point la proposition instructive; il juge qu'on lui dit deux fois la même chose. Tels sont les fameux axiomes métaphysiques di identité et de contradiction. — Le premier peut s'exprimer ainsi : si dans un objet telle donnée est présente, elle y est présente. — Le second peut recevoir cette formule : si dans un objet telle donnée est présente, elle n'en est point absente; si dans un objet telle donnée est absente, elle n'y est point présente. — Comme les mots présent et non absent, absent et non présent sont synonymes, il est clair que dans l'axiome de contradiction aussi bien que dans l'axiome

d'identité, le second membre de la phrase répète une portion du premier; c'est une redite; on a piétiné en place. — De là un troisième axiome métaphysique, celui à! aller native, moins vide que les précédents ; car il faut une courte analyse pour le prouver; on peut l'énoncer en ces termes : dans tout objet, telle donnée est présente ou absente. — En effet, supposons le contraire, c'est-à-dire que dans l'objet la donnée ne soit ni absente ni présente. Non absente, cela signifie qu'elle est présente; non présente, cela signifie qu'elle est absente; les deux ensemble signifient donc que dans l'objet la donnée est à la fois présente et absente, ce qui est contraire aux deux branches de l'axiome de contradiction, l'une par laquelle il est dit que, si dans un objet telle donnée est présente, elle n'en est pas absente, et l'autre par laquelle il est dit que, si dans un objet telle donnée est absente, elle n'y est pas présente. — Maintenant reprenons l'axiome d'alternative, et observons l'attitude de l'esprit qui le rencontre pour la première fois. 11 est sous-entendu dans une foule de propositions ; c'est parce qu'on l'admet implicitement qu'on les admet explicitement. Par exemple quelqu'un vous dit : tout triangle est équilatéral ou non ; tout vertébré est quadrupède ou non. Sans examiner aucun triangle ni aucun vertébré, vous reconnaissez que

forcément ces propositions sont vraies; l'alternative est inévitable ; vous ne pouvez vous y soustraire. Et cependant, d'ordinaire, vous n'avez pas de preuve en main. Vous n'avez pas fait l'analyse précédente; vous ne sauriez montrer, comme nous venons de le faire, la série des liaisons par lesquelles la proposition se rattache à l'axiome de contradiction. Vous n'avez point dégagé et suivi comme nous les idées très-abstraites qui, par leur filière délicate et continue, soudent ensemble les deux membres de la proposition. Qu'est-ce à dire, sinon qu'à défaut de la vue claire, vous avez le sentiment confus de cette soudure, et que la jonction existe entre les deux membres de votre pensée, sans que vous puissiez montrer précisémentles points de jonction? — Tous les jours nous voyons cette efficacité des idées latentes ; nous sentons que telle personne n'a pu agir ainsi, que telle démarche serait inopportune, que tel acte est honnête ou blâmable; et le plus souveut nous ne saurions dire pourquoi; néanmoins il y a en nous un pourquoi, une raison secrète; cette raison est une idée, une idée incluse dans la conception totale que nous nous sommes faite de cette personne, de cette démarche, de cet acte; elle existe dans la conception totale comme un segment non tracé dans un cercle, comme un gramme de plomb dans un poids de plomb; elle

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y est active au même titre que ses associées; toutes eusemble font un bloc qui, au contact (l'un autre , manifeste tantôt une affinité qui aboutit à l'union, tantôt une répugnance qui aboutit à la séparation. Plus tard, à la réflexion, nous désagrégeons ce bloc; au moyen de mots abstraits, nous isolons ses idées composantes; nous en trouvons une qui nous explique la jonction involontaire ou l'incompatibilité insurmontable de nos deux conceptions. — Qu'il y ait des idées probantes incluses dans les termes de l'axiome précédent, on ne peut en douter, puisque nous venons de les démêler et de les arranger en preuve. Que des idées non démêlées puissent et doivent agir à l'état latent pour unir ou dissocier deux conceptions où elles sont incluses, cela est certain, puisque journellement nous sommes témoins du fait. Nous pouvons donc conclure que les soudures et les répulsions mentales constatées à propos de l'axiome précédent , ont pour cause la présence dissimulée des idées latentes que nous avons démêlées tout à l'heure, et conjecturer que, dans tous les axiomes semblables, c'est la même cause qui produit le même effet.

IV. Il serait trop long et, de plus, inutile de les analyser tous. Attachons-nous à ceux qui sont

le plus fructueux et qui servent à construire des sciences entières. — En tête de l'arithmétique , de l'algèbre et de la géométrie, on inscrit les deux axiomes suivants : si, à deux grandeurs égales entre elles, on ajoute deux grandeurs égales entre elles, les sommes sont encore égales; si, à deux grandeurs égales entre elles, on ôte deux grandeurs égales entre elles, les restes sont encore égaux. — Certainement nous pouvons former ces deux propositions par l'induction ordinaire, et, très-probablement, c'est de cette manière qu'elles s'établissent d'abord dans notre esprit. Voici deux troupeaux de moutons, chacun de vingt dans son enclos ; ils peuvent être accrus ou diminués; ce sont donc des grandeurs. Je fais entrer quinze moutons dans le premier enclos et quinze autres dans le second; je compte ensuite les deux troupeaux ainsi accrus, et je trouve que, dans chaque parc, il y en a trente-cinq. Je fais sortir alors dix-sept moutons du premier enclos et dixsept autres moutons du second; puis je compte les deux troupeaux ainsi diminués, et je trouve que, dans chaque parc, il y en a dix-huit. — Toutes les fois que, sur un troupeau d'animaux quelconques, ou, plus généralement, sur une collection d'objets ou do faits distincts quelconques, j'ai pratiqué dans des conditions semblables des opérations semblables, j'ai vérifié que l'issue

était semblable. Même remarque, si la collection se compose, uoii plus d'individus naturels comme un mouton, un caillou, ou de faits naturellement distincts, comme un son, un choc, une sensation, mais d'individus artificiels, comme un mètre, un litre, un gramme, ou de faits artificiellement distingués, comme les parties successives d'un mouvement continu. Par exemple, voici deux vases dans chacun desquels il y a six litres d'eau; je verse trois litres d'eau dans le premier et trois litres d'eau dans le second; je mesure ensuite les deux quantités d'eau ainsi accrues et je trouve que dans chaque vase il y a neuf litres d'eau. Je retire alors cinq litres d'eau du premier vase et cinq litres d'eau du second, puis je mesure les deux quantités d'eau ainsi diminuées, et je trouve que dans chaque vase il reste quatre litres d'eau. — Chacun de ces cas est une expérience. Un enfant en fait de semblables avec des jetons; si, ayant compté deux gros tas égaux, il leur ajoute deux petits tas pareillement comptés et aussi égaux, et que, comptant ensuite les deux totaux, il les trouve égaux, ce sera pour lui une découverte, et je crois qu'il en sera aussi heureux qu'un physicien qui remarque pour la première fois un phénomène inconnu. — Après beaucoup d'expériences semblables, nous pouvons induire, par la mé-

thode des coucordances, que des grandeurs égales ajoutées à des grandeurs égales donnent des sommes égales, et que des grandeurs égales diminuées de grandeurs égales donnent des restes égaux. Car si parfois, comme dans l'expérience pratiquée sur les vases d'eau, les sommes ou les restes ne sont pas rigoureusement égaux, nous pouvons à bon droit attribuer cette inégalité à l'inexactitude de nos mesures préalables ou à la maladresse de notre manipulation ultérieure, puisque, plus nos mesures deviennent exactes et notre manipulation adroite, plus l'inégalité devient petite. — En outre, pour fortifier notre conclusion, nous avons en main i^ne autre méthode inductive, celle des différences. Sitôt que nous supprimons l'égalité des grandeurs primitives ou des grandeurs ajoutées, l'égalité des totaux obtenus disparaît. Sitôt que nous supprimons l'égalité des grandeurs primitives ou des grandeurs retranchées, l'égalité des restes subsistants disparaît. Ces deux premières égalités sont donc l'antécédent de la troisième, comme la troisième est le conséquent des deux premières; et nous avons un couple dans lequel les deux termes, obtenus comme le refroidissement et la rosée, sont, comme le refroidissement et la rosée, liés sans exception ni condition.

Mais les deux axiomes ainsi formés peuvent en-

core être formés d'une autre façon. En effet, laissons là l'expérience, fermons les yeux, et renfermons-nous dans l'enceinte de notre propre esprit; examinons les termes qui constituent nos propositions; tâchons de savoir ce que nous entendons par les mots de grandeur et d'égalité, et voyons quelles constructions mentales nous faisons, lorsque nous fabriquons l'idée d'une grandeur égale à une autre. — Ici il faut distinguer entre les grandeurs artificielles où les unités sont naturelles, et les grandeurs naturelles où les unités sont artificielles. Examinons-les tour à tour, et d'abord les grandeurs artificielles qu'on nomme aussi collections.

Soit une collection d'individus semblables, tel troupeau de moutons, ou une collection d'unités abstraites, tel groupe mental d'unités pures, figurées aux yeux par un même signe tracé plusieurs fois. Nous appelons ces collections des grandeurs; et, si nous leur donnons ce nom, c'est que, tout en gardant leur nature, elles peuvent devenir plus grandes ou moins grandes; nous voulons dire par là qu'en fait ou par la pensée, on peut au troupeau ajouter un ou plusieurs moutons, ajouter au groupe une ou plusieurs unités, ôter au troupeau un ou plusieurs moutons, ôter au groupe une ou plusieurs unités. A présent, comparons une de ces collections avec une autre

collection analogue' et faisons correspondre, par la pensée ou autrement, un premier objet de la première avec un premier objet de la seconde, un second avec un second, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'une des deux soitépuisée. Deux casse présentent. — Ou bien les deux collections sont épuisées ensemble ; alors le nombre des moutons est le même dans le premier et dans le second troupeau, le nombre des unités est le même dans le premier et dans le second groupe ; auquel cas on dit que les deux grandeurs sont égales. Égalité signifie donc présence du même nombre. — Ou bien l'une des deux collections est épuisée avant l'autre; alors le nombre des moutons est différent dans le premier et dans le second troupeau, le nombre des unités est différent dans le premier et dans le second groupe ; en ce cas on dit que les deux grandeurs sont inégales. Inégalité signifie donc présence de deux nombres différents.

Maintenant, pour ces sortes de grandeurs, nous pouvons prouver l'axiome. Soient deux grandeurs égales auxquelles on ajoute des grandeurs égales. Selon l'analyse précédente, cela signifie que la première collection contient un certain nombre d'individus ou d'unités, qu'on lui en ajoute un

1 . Duhamel, De, la Méthode clans les sciences de raisonnement. Tom. I, p. 3.

certain nombre, que la seconde contient le même nombre d'individus ou d'unités que la première, qu'on lui en ajoute le même nombre qu'à la première, que, dans les deux cas, le même nombre est ajouté au même nombre, et que, partant^ les deux collections finales contiennent le même nombre ajouté au même nombre, c'est-à-dire le même nombre total d'individus ou d'unités, d'où il suit, d'après la défmition, que les deux sommes ou grandeurs finales sont des grandeurs égales. — Pareillement, soient deux grandeurs égales, desquelles on ôte deux grandeurs égales : selon la même analyse, celasignifie que la première collection contient un certain nombre d'individus ou d'unités, qu'on lui en ôte un certain nombre, que la seconde contient le même nombre d'individus ou d'unités que la première, qu'on lui en ôte le même nombre qu'à la première, en sorte que dans les deux cas le même nombre est diminué du même nombre, et que, partant, les deux collections finales contiennent le même nombre diminué du même nombre, c'est-à-dire le même membre restant d'individus ou d'unités; d'où il suit toujours, d'après la définition, que les deux restes ou grandeurs finales sont des grandeurs égales.

Des grandeurs artificielles, passons aux grandeurs naturelles. Parmi celles-ci, les plus impor-^'

tantes sout les géométriques, parce qu'ellesserveiit de mesure pour toutes les autres : durées, vitesses, forces, masses, etc. Ces grandeurs géométriques sont les lignes, les surfaces, les solides; et, si nous les appelons des grandeurs , c'est parce qu'elles peuvent devenir plus grandes ou moins grandes ; nous voulons dire par là qu'en fait ou mentalement on peut ajouter ou ôter une ligne à la ligne, une surface à la surface, un solide au solide. A présent comparons une ligne à une ligne, ou une surface à une surface, et, par la pensée ou autrement, transportons la seconde sur la première, en ayant soin dans ce transport de ne rien changer à la seconde. Deux cas se présentent comme tout à l'heure. — Ou bien la seconde coïncide exactement et complètement avec la première, de manière à se confondre absolument avec elle; auquel cas les deux lignes ne font plus qu'une seule et même ligne; on dit alors que les deux grandeurs sont égales. Dire que deux grandeurs sont égales, c'est donc dire qu'après le transport, en d'autres termes, omission et abstraction faites des deux emplacements distincts, les deux lignes, surfaces, etc., sont les mêmes. — Ou bien la seconde ligne ne coïncide pas exactement et complètement avec la première; auquel cas les deux lignes, ne se confondant pas, restent différentes ; on dit alors que

les deux grandeurs sont inégales. Dire que deux grandeurs sont inégales, c'est donc dire qu'après le transport, c'est-à-dire omission et abstraction faites de leurs emplacements distincts, les deux lignes, surfaces, etc., sont différentes.

Maintenant, pour ces sortes de grandeurs, nous pouvons aussi prouver l'axiome. Soient deux grandeurs égales ajoutées à deux grandeurs égales. Selon l'analyse précédente, cela signifie qu'une certaine ligne, surface, etc., primitive est donnée, qu'on lui en ajoute une complémentaire, qu'une seconde ligne primitive, omission faite de son emplacement distinct, est la même que la première, qu'on lui en ajoute une complémentaire, la même, sauf son emplacement distinct, que l'autre complémentaire, que dans les deux cas, abstraction faite des emplacements distincts, la même ligne est ajoutée à la même ligne, et que, partant, les deux lignes complétées sont la même ligne ajoutée à la même ligne, c'est-à-dire la même ligne totale, d'où il suit, d'après la définition, que les deux sommes ou grandeurs totales sont égales. — Pareillement, soient deux grandeurs égales ôtées de deux grandeurs égales. Selon la même analyse, cela signifie qu'une certaine ligne, surface, etc., primitive est donnée, qu'on en retranche une portion, qu'une seconde ligne primitive, omission faite de son emplace-

ment, est la même que la première, que ron en retranche une portion, qui, sauf son emplacement distinct, est la même que l'autre portion retranchée, que, dans les deux cas, abstraction faite des emplacements distincts, la même ligne est ôtée de la même ligne, et que, partant, les deux lignes diminuées sont la même ligne diminuée de la même ligne, c'est-à-dire la même ligne restante, d'où il suit, d'après la définition, que les deux restes ou grandeurs finales sont égales. — On démontrerait de la même façon un troisième axiome, qui est vrai des grandeurs naturelles aussi bien que des grandeurs artificielles, à savoir que deux grandeurs égales à une troisième sont égales entre elles.

Que le lecteur prenne la peine d'examiner l'artifice de cette preuve. Par la pensée, et avec la confirmation auxiliaire des faits sensibles, nous faisons correspondre, membre à membre, deux grandeurs artificielles, ou nous faisons coïncider, élément à élément, deux grandeurs naturelles; si cette correspondance ou cette coïncidence sont absolues, l'idée d'égalité naît en nous. Nous venons d'assister à sa naissance et nous démêlons son fonds ; elle renferme un élément plus simple et se ramène à l'idée du même; en effet, à un certain point de vue, omission faite de ce qu'il faut omettre, les deux grandeurs deviennent /a même.

Par suite, au point de vue inverse, addition faite de ce qu'il faut ajouter, la même grandeur se transforme en deux grandeurs cgalcs. Retranchez aux deux grandeurs leurs traits distinctifs, aux deux grandeurs artificielles égales la propriété d'appartenir à deux collections distinctes, aux deux grandeurs naturelles égales la propriété d'avoir des emplacements distincts; elles deviennent la même grandeur. Réciproquement, prenez deux fois la même grandeur, et attachez-la tour à tour à deux collections distinctes ou à deux emplacements distincts; elle se transformera en deux i^^i'andeurs escales. Sous le mot égal réside le mot même; voilà le mot essentiel; telle est l'idée latente incluse dans l'idée d'égalité. Dégagée et suivie à travers plusieurs propositions intermédiaires, elle ramène l'axiome à une proposition analytique. Par elle nous relions l'attribut au sujet; nous la voyons présente dans les deux ; mais, avant de l'y voir, nous l'y pressentions; elle y était et témoignait de sa présence par la contrainte qu'elle exerçait sur notre affirmation; quoique non démêlée, elle faisait son office. Nous sentions bien que les deux grandeurs égales pouvaient, par cela même, être substituées l'une à l'autre, que, partant, l'augmentation ou la diminution subies par la seconde pouvaient être substituées à l'augmentation ou à la

diminution correspondantes subies par la première. Nous devinions avec certitude, mais sans pouvoir préciser les choses, que dans les deux données et dans les deux opérations, il y avait du même; l'analyse n'a fait qu'isoler ce même, et nous montrer à l'état distinct la vertu qu'il avait en nous à l'état latent.

V. Il y a douze axiomes de ce genre au commencement de la géométrie d'Euclide; plusieurs se réduisent aux précédents; d'autres, qui renferment les idées de tout, de partie, de moins grand, de plus grand, se démontrent aisément par la définition préalable des termes'. Les derniers enfin, plus importants, méritent d'être étudiés à part; ce sont ceux qui concernent la ligne droite et les parallèles. Observons d'abord que la définition ordinaire de la ligne droite est mauvaise ; on dit qu'elle est la plus courte qui puisse être menée d'un point à un autre. Ce n'est pas là une propriété primitive, mais une propriété dérivée ; on n'assiste point , en la pensant , à la génération de la ligne; on ne pos-

1. Lire à ce sujet Duhamel, Ibid. Tom. II, p. 3 et 6. — Les angles égaux se définissent par la coïncidence de leurs côtés ; la perpendiculaire, par 1' -égalité des deux angles adjacents qu'elle forme; l'angle droit, par les perpendiculaires qui sont ses côtés.

sède pas les éléments de la construction mentale ; on ne tient qn'une de ses suites. D'ailleurs*, « cette définition ramène une notion à d'autres a que l'on n'a pas et qui sont beaucoup moins « simples que la première. Qu'entend-on en efl'et a par une ligne moins courte ou plus grande « qu'une autre? C'est celle qui se compose d'une « partie égale à la première et d'un reste quel- « conque. Or, deux lignes égales sont celles qui « peuvent coïncider, et, par conséquent, l'égaa lité ne peut être conçue entre deux lignes dont « la figure ne se prête pas à la superposition, » ce qui est le cas pour la ligne droite rapportée aux autres lignes, brisées ou courbes, en nombre indéfini, auxquelles il faudrait la comparer pour vérifier qu'elle est plus courte qu'aucune d'elles. Ce n'est point ainsi que les fins et subtils analystes grecs ont défini la ligne droite ; Euclide n'admet pas au début qu'elle soit la plus courte; il le prouve plus tard, en comparant des triangles dont elle est un côté, ce qui la démontre plus courte qu'aucune ligne brisée, puis en étendant le cas de la ligne brisée à la ligne courbe qui est sa limite. — Il faut donc lui chercher une définition diff'érente et, selon notre usage, assister à sa construction. Or, nous l'avons con-