En latin, undecim, duodecim

2. En latin, tredecim. En anglais, twelve, thirteen, dérivés de two, three. En allemand, zwôlf, dreizehn, dérivés de zwei, drei.

3. En anglais, twenty ; en allemand, zwanzig, dérivés de two et de zwei.

4. En anglais, tliirty, forty, fifty, etc. En latin, triginta, quadraginta, quinquaginta, etc. Dans l'ancien français, septante, 0 étante et nouante.

Une pareille expression est un substitut fort abréviatif, car elle peut être prononcée en moins d'une seconde ; on n'en a pas trouvé de plus courte en fait de sons. Mais, si on l'écrit pour les yeux, elle occupe une ligne et demie et exige cinquante-cinq caractères ; c'est beaucoup , et , à cet égard , on peut l'améliorer. — Aux noms écrits , on substitue des caractères plus simples, qui, au lieu de remplacer directement les noms de nombre et indirectement les nombres, remplacent directement les nombres. Ces caractères sont appelés chiffres ; on convient qu'un chiffre placé à la gauche d'un autre désigne des unités de l'ordre immédiatement supérieur, c'est-àdire dix fois plus grandes ; on compose une liste de neuf chiffres distincts pour représenter les neuf pre» miers nombres; on ajoute à cette liste un zéro pour représenter l'absence d'unité ou de nombre, et désormais, au lieu de cinquante-cinq caractères, on n'en emploie plus que sept pour représenter une collection de 2 327 648 unités.

Grâce à ces notations abréviatives , nous fabriquons une quantité prodigieuse de composés qui sont les nombres. Il nous suffit pour cela d'aligner des chiffres ou de proférer des noms, en nous rappelant le sens que notre convention leur a donné. — A présent, remarquons les caractères de l'idée ainsi faite. Quand nous lisons et que nous comprenons un de ces groupes de signes, par exemple 2 327 648, nous n'examinons point si la nature fournit un objet qui corresponde à fiotre idée. Y a-t-il quelque part un groupe d'unités réelles auquel s'adapte, trait pour trait, ce groupe d'unités mentales ? C'est là une ques^ tien réservée ; nous n'en prenons point souci ; notre

idée a été construite pour elle-même. — Et cependant il y a chance pour que la construction mentale coïncide avec quelque construction réelle. Car aux éléments dont mon idée est faite correspondent des éléments inclus dans les choses. En effet, ce que j'ai appelé unité, c'est l'aptitude à entrer dans une collection. Or il n'y a pas d'individu naturel ni d'événement effectif qui n'y puisse entrer; qu'il s'agisse d'un corps ou d'un esprit, d'un changement externe ou interne, sitôt que nous apercevons une chose ou un fait, nous le mettons dans sa classe, c'est-à-dire avec d'autres semblables ; bien mieux, dès que l'objet est pensé par nous, il évoque spontanément en nous, sans que nous le voulions et par la seule loi d'association des idées, d'autres objets plus ou moins semblables. Tous ensemble forment un groupe de données plus ou moins pareilles, chacune d'elles ayant ce caractère qu'elle est une donnée distincte parmi plusieurs autres analogues. A ce titre et dans ce sens étroit, elle est une unité parmi plusieurs autres unités. — Il y a donc des collections d'unités dans la nature, comme il y a des collections d'unités dans l'esprit. En effet, il y a un certain nombre de planètes autour du soleil. Il y a en ce moment un certain nombre d'hommes, d'animaux, de plantes qui vivent sur la terre. Depuis un an, la terre ou toute autre planète s'est avancée de tant de kilomètres dans son orbite. Depuis un an, tant de personnes sont mortes en France. Pendant que mon esprit fait ses additions ou ses soustractions, la nature fait les siennes. Je fabrique d'avance une longue série de moules distincts, échelonnés d'après leur ampleur croissante ; elle fabrique ou a fabriqué avec ses diverses argiles ce qu'il faut pour les rempliï ; et

le contenu s'ajuste au contenant, d'abord parce que les éléments mentaux de l'un sont calqués sur les éléments réels de l'autre, ensuite parce que la structure artificielle du contenant se trouve d'accord avec la structure naturelle du contenu

II. Tel est le caractère commun de toutes les idées que nous construisons : elles sont des cadres préalables; quand nous en faisons un, nous n'avons point en vue une chose réelle à laquelle nous tâchions de conformer notre pensée ; et néanmoins notre pensée se trouve conforme à une ou plusieurs choses réelles encore inconnues, qui, lorsqu'elles seront connues, manifesteront cette conformité.

Non pas que l'adaptation soit toujours exacte ; il y a des cas où elle n'est qu'approximative. De cette espèce sont les idées géométriques. Cherchons d'abord les éléments avec lesquels nous les construisons; tout le monde sait qu'ils sont en petit nombre, et on voit aisément de quelles expériences nous les extrayons. — Soit un corps quelconque observé par les sens, cette pierre, ce morceau de bois. Il a pour limite un ou plusieurs dehors qui enclosent son dedans ; et ces dehors par lesquels il finit sont ses surfaces. Mais chacune de ces surfaces finit elle-même par une ou plusieurs limites qu'on appelle lignes, et chacune de ces lignes finit elle-même par deux limites qu'on nomme points. — Jusqu'ici, nulle difficulté ; chacune de ces limites, surface, ligne ou point, est un caractère du corps , caractère isolé par abstraction , considéré à part, et, de plus, général, c'est-à-dire commun à beaucoup de corps, ou, pour mieux dire, universel, c'est-à-dire commun à tous les corps. Nous le déta-

chons et nous le notons au moyen de symboles, qui tantôt sont les noms de surface, ligne et point, tantôt sont une classe d'objets sensibles, fort maniables, choisis pour tenir lieu de tous les autres, la surface réelle d'un tableau noir ou d'un papier blanc, le mince tracé d'un trait de craie ou d'encre, la trèspetite tache que laisse sur le papier ou sur le tableau l'attouchement momentané de la plume ou du crayon. — La tache étant exiguë, nous sommes tentés de ne point faire attention à sa longueur ni à sa largeur, qui sont réelles; par cette omission, nous en faisons involontairement abstraction, et nous n'avons pas de peine à traiter la tache comme un point. — Le tracé étant fort effilé , nous sommes disposés à ne point nous inquiéter de sa largeur, qui est réelle ; par cette omission, nous la retranchons, et, sans efforts, nous en venons à considérer le trait comme une ligne. — Le tableau et le papier étant tout à fait plats et unis pour notre œil et notre main, nous n'éprouvons aucune sensation qui nous avertisse de leur épaisseur ; par cette omission, nous la supprimons, et nous sommes tout portés à regarder le tableau et le papier comme de vraies surfaces. — De cette façon, le tableau, le trait étroit, la petite tache de craie deviennent des substituts commodes. Ce sont des choses sensibles et particulières, mais qui remplacent des limites tout à fait abstraites et générales, de même que tout à l'heure en arithmétique des cailloux et des doigts remplaçaient de pures unités.

A ces éléments ainsi représentés, ajoutez-en un autre, le mouvement; il se rencontre aussi dans la plupart des corps que nous percevons ; on peut donc l'ea détacher. Une fois ces données extraites, il sufQt

de les combiner de diverses façons pour obtenir tous les composés géométriques. Bien mieux , par une réduction plus profonde, il se trouve que le point et le mouvement suffisent pour reconstituer les deux autres sortes de limites que nous avons nommées la ligne et la surface, et, en outre, ce corps solide duquel nous avons tiré, avec les idées de surface et de ligne, celles de point et de mouvement. — En effet, supposez un point, c'est-à-dire la limite d'une ligne, et admettez qu'il se meuve; la série continue des positions qu'il occupe fait une ligne. Admettez que cette ligne se meuve ; la série continue des positions qu'elle occupe fait une surface. Admettez que cette surface se meuve; la série continue des positions qu'elle occupe fait un corps solide, au moins au jpoint de vue géométrique. Et les substituts que nous avons adoptés pour le point, la ligne et la surface nous rendent cette construction sensible. En prolongeant cette petite tache de craie, nous voyons naître un tracé miiice. En faisant mouvoir d'un bloc tout le tracé, nous voyons naître une surface plus ou moins grande. En reculant par la pensée la surface du tableau noir, nous voyons naître tout le tableau solide. — De cette construction générale, passonsauxparticulières. Soient deux points ; si le premier se meut vers le second et vers le second seulement , la ligne qu'il décrit est droite. — S'il se meut pendant une fraction appréciable de son mouvement vers le second point et ensuite pendant une autre fraction également appj'éciable vers un troisième, un quatrième, etc., la ligne qu'il décrit est brisée ou composée de droites distinctes. — Si à chaque instant de son mouvement il se meut vers un point différent, la ligne qu'il décrit est courbe.

Voilà pour les différentes espèces de lignes. — A présent, si deux droites parties du même point vont chacune vers un point différent, elles s'écartent l'une de l'autre, et cet écartement plus ou moins grand s'appelle un angle. Si les deux angles que la seconde fait à gauche et à droite sont égaux, on les appelle droits, et on dit qu'elle est perpendiculaire à la première. Voilà pour les angles. — Avec des droites qui se coupent deux à deux, en formant certains angles, on construit tous les triangles, tous les quadrilatères, et, en général, tous les polygones. — Si l'on impose à une courbe l'obligation d'avoir tous ses points à égale distance d'un autre point intérieur, on a la circonférence. — « La surface plane, ou plan *, est engendrée par une droite perpendiculaire à une autre et tournant autour d'elle en passant toujours par un même de ses points. » Avec des plans terminés par certains polygones et formant certains angles par leur inclinaison l'un sur l'autre, on construit tous les polyèdres. — Avec la révolution du demi-cercle autour de son diamètre, du rectangle autour d'un de ses côtés, du triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit, nous fabriquons la sphère, le cylindre, le cône ; avec des sections du cône, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole; avec des combinaisons diverses des éléments primitifs et de ces premiers composés, toutes les espèces possibles de lignes, de surfaces et de solides, parfois si compliquées que l'imagination ne peut les exécuter et que, si la nature ou l'art en fournissent des exemples, l'œil même attentif ne parvient pas à en démêler exactement tous les traits.

1. Duhamel, de la Méthode dans les sciences de raisonnement, deuxième partie, p. 12.

Y a-t-il dans la nature des constructions physiques conformes à ces constructions mentales? — Et d'abord, y a-Ml dans la nature des surfaces, des lignes et des points? Oui, certainement, au moins pour nos sens; car, pour nos sens, un corps a ses surfaces, qui sont les limites où il semble contenu ; une surface a ses lignes, qui sont les limites par lesquelles elle semble circonscrite; une ligne a ses points, qui sont les limites par lesquelles elle semble se terminer ou par lesquelles on peut l'interrompre. — Y a-t-il dans la nature des surfaces, lignes et points qui se meuvent? Oui, puisque les corps se meuvent et que leurs limites les accompagnent dans leur mouvement. — A présent, y a-t-il dans la nature des points, des lignes, des surfaces, qui en se mouvant, en se combinant, se conforment en toute rigueur aux conditions énoncées dans nos constructions? En d'autres termes, y a-t-il des lignes droites, des angles droits, des carrés, des cercles, des plans, des polyèdres, des corps ronds qui soient parfaits ? — Autant que nous pouvons en juger, la nature n'enfournit pas. Quand nous armons notre œil d'un microscope puissant, nous constatons des inflexions dans les lignes qui nous semblaient les plus droites, des rugosités dans les plans qui nous semblaient .' <iS plus unis, des irrégularités dans les formes qui nous semblaient les plus régulières. Un boulet semble avancer en ligne droite ; la théorie montre qu'il commence à descendre au sortir du canon. Les planètes semblent décrire une ellipse; l'observation et le calcul de leurs perturbations prouvent que cette ellipse n'est pas exacte. — Bref, quand nous comparons l'œuvre de la nature et l'œuvre de l'esprit, nous vérifions que leur conformité n'est paa

entière ; la première se rapproche de la seconde; rien de plus. D'ordinaire, cette coïncidence n'est qu'assez lointaine ; mais, même dans les cas les plus favorables, elle manque sur quelque point ; on dirait que If substance réelle essaye de se mouler sur la forme mentale, mais que l'imperfection de son argile l'empêche de copier rigoureusement le contour prescrit. Il y a une cause à cette impuissance; et, si nous prenons les cas dont la théorie est faite, nous pouvons nous l'expliquer. Le boulet de canon avancerait toujours en ligne droite, si la pesanteur ne le faisait pas descendre vers le sol. La planète décrirait une ellipse parfaite, si la proximité variable des autres corps planétaires ne venait pas altérer la régularité de sa courbe. Si le boulet dévie de sa ligne droite et la planète de son ellipse , c'est qu'à la direction simple que suit le boulet, aux deux directions simples selon lesquelles chemine la planète, s'ajoutent d'autres directions perturbatrices. Par conséquent, si la construction réelle ne s'ajuste qu'à peu près à la construction mentale, c'est que la première est plus compliquée et la seconde plus simple. Débarrassée de ses éléments accessoires et réduite à ses éléments principaux, la première copierait exactement la seconde; et, de fait, elle s'en rapproche d'autant plus que ses éléments ultérieurs ou accessoires, plus faibles, laissent plus d'ascendant à ses éléments primitifs ou principaux. — Ainsi, en géométrie, comme tout à l'heure en arithmétique, nos cadres préalables ont un office et un prix. Quoique construits pour eux-mêmes, ils ont un rapport avec les choses. A un certain point de vue, ils sont exacts, et, après une opération complémentaire, ils peuvent le devenir. L'écai^t que l'on

remarque entre eux et les faits peut disparaître et disparaît en effet de deux façons. — Il vient de disparaître par une abstraction, c'est-à-dire par l'omission mentale de certains éléments des faits ; de cette façon, les faits réduits se sont ajustés aux cadres. — Il pourra disparaître aussi par un travail inverse, c'est-à-dire par l'introduction dans les cadres des éléments que la construction préalable y avait omis ; à la considération des directions primitives ou principales, on ajoutera alors celle des directions perturbatrices, soit ultérieures, soit accessoires, et, de cette façon, les cadres complétés s'ajusteront aux faits.

III. D'autres éléments, calqués comme les précédents sur des caractères généraux des objets naturels, se combinent avec les précédents pour faire de nouveaux cadres. On peut considérer le mouvement non pas seulement comme ayant pour effet de décrire une ligne, mais en lui-même. Sous nos yeux et tous les jours, une quantité prodigieuse de corps sont en repos ou en mouvement, de sorte qu'à ce point de vue l'expérience nous fournit tous les matériaux nécessaires pour que nous puissions isoler les deux idées élémentaires de repos et de mouvement.

Soit un corps en mouvement; il va d'un point à un autre en décrivant une ligne; nous avons beaucoup d'occasions de remarquer que, selon les circonstances, cette même ligne est décrite en plus ou moins de temps, et nous tirons de là une nouvelle idée élémentaire, celle de vitesse. — Soit un corps qui passe du repos au mouvement ; la plupart du temps , nous découvrons que quelque autre chose a changé en lui ou dans ses alentours, et, après un certain nombre

d'expériences, nous constatons ou nous croyons constater que ce changement interne ou externe est toujours suivi par le mouvement du corps. Quelle que soit cette condition de mouvement, choc d'un autre corps, attraction d'un aimant, répulsion électrique, qu'elle semble résider dans le corps mû ou dans un autre, il n'importe ; on l'appelle force^ sans préjuger quoi que ce soit de sa nature, et on n'entend rien de plus par ce nom qu'une condition dont la présence suffit à provoquer le mouvement, condition qui se rencontre dans une infinité de circonstances diverses et qui, dégagée, isolée par une fiction de l'esprit, devient ainsi tout à fait générale et abstraite. A cet état de pureté, elle n'est définie que par son rapport avec le mouvement qu'elle provoque. Partant, s'il y a dans le mouvement qu'elle provoque un caractère capable de grandeur, elle sera capable de grandeur ; or on vient de voir que ce caractère est la vitesse. A ce point de vue, nous parlons d'une force double, triple, etc., d'une autre; et nous n'entendons rien par là, sinon une condition dont la présence suffit pour provoquer de la part du même corps entouré des mêmes circonstances un mouvement deux ^ trois, etc., fois plus rapide que le premier.

Cela posé, nous pouvons faire un pas de pluSi Parmi les corps que nous examinons, il y en a qui nous semblent homogènes, c'est-à-dire composés de particules toutes parfaitement semblables, sauf la différence des emplacements qu'elles ont dans le corps ; tel est un litre d'eau bien pure, un morceau d'or affiné. Sur cette indication de l'expérience, nous n'avons pas de peine à concevoir un mobile absolument homogène, analogue à un pur solide géométrique, partant