Duhamel, ibid., p

CÎIAP. II. LES JUGEMENTS GÉNl^RAUX 349

à partir d'un point, le tracé entier, c'est-à-dire la ligne droite elle-même, étant déterminé uniquement et complètement par son rapport avec un seul second point, tous ses caractères, quels qu'ils soient, connus ou inconnus, dérivent uniquement et complètement du rapport qu'il a avec ce seul second point.

De là deux conséquences, l'une qui concerne la ligne entière , l'autre qui concerne ses diverses portions. — Si, à partir du premier point, on trace une autre ligne qui se meut aussi vers le même second point, et vers celui-là seulement, ce second tr^acé ne fait que répéter exactement le premier; car tous ses caractères, comme tous ceux du premier, dérivent complètement et uniquement du rapport qu'il a, comme le premier, avec ce seul second point ; d'où l'on voit que les caractères des deux lignes, quels qu'ils soient, connus ou inconnus, sont tous absolument les mêmes, en d'autres termes, que ces deux lignes se confondent et n'en font qu'une ^ : ce qu'on exprime de différentes façons, en disant qu'entre deux points on ne peut mener qu'une seule ligne droite, que deux points suffisent à déterminer la ligne droite interposée, que deux droites ayant deux points communs coïncident dans toute leur étendue intermédiaire, d'où l'on tire aisément que deux droites qui se coupent ne peuvent enclore un espace ^. — Voilà pour la ligne entière ; considérons maintenant ses diverses portions. Puisque le tracé entier est complètement et uniquement déterminé par son rapport avec le second

1. Une démonstration tout à fait analogue prouve que deux circonférences dont les rayons sont égaux se confondent en une seule.

2. Cette dernière proposition est le douzième axiome d'Euclide.

point et dérive de là tous ses caractères, chacune de ses portions constituantes est uniquement et complètement déterminée par le même rapport et dérive aussi de là tous ses caractères, sauf un, qui est la propriété d'être telle portion et non telle autre, située à tel ou à tel endroit de la ligne, au commencement, à la fin ou au milieu. Par conséquent, si nous faisons abstraction de cette particularité, toutes les portions de la ligne ont exactement les mêmes caractères, en d'autres termes, elles sont les mêmes. Effectuons cette abstraction, et, pour cela, supprimons l'emplacement particulier d'un fragment de la ligne, en le retirant de l'endroit où il est, de la fin par exemple, pour le transporter ailleurs, par exemple au commencement, et pour le superposer en ce point à la ligne totale. Il se confondra avec la portion sur laquelle il sera appliqué, et les deux fragments n'en feront qu'un. D'où il suit qu'une portion quelconque de la ligne droite, retirée de sa place et superposée en un autre point quelconque à la ligne totale, coïncidera rigoureusement avec la portion sur laquelle on l'aura appliquée *.

Cela posé, nous connaissons le rapport d'une portion quelconque de la ligne droite à une autre portion quelconque de cette même ligne, et, par suite, nous pouvons, au delà des deux points entre lesquels nous l'avons menée, la suivre jusqu'à l'infini. Soit, en effet,

^^-^"^ une droite AB ; prolongeons-la

^ ^ ^ tant que l'on voudra au delà

du point B, mais de façon qu'elle reste droite, c'est-

1. Une démonstration analogue prouve que, dans le même cercle ou dans des cercles égaux, un arc quelconque transporté hors de sa place, coïncidera exactement avec la portion de circonférence sur laquelle on l'aura placé. C'est que la circonférence, comme la ligne droite, est une ligne uniforme.

d-dire, d'après la condition précédente, de façon qu'une quelconque de ses portions puisse coïncider avec une de ses portions quelconques, partant avec toutes celles qui sont comprises dans son prolongement. Maintenant, supposons une seconde droite tracée de A en B et prolongée de même aussi loin que l'on voudra; ainsi qu'on l'a prouvé tout à l'heure, de A en B, elle coïncidera avec la première ; mais, en outre, ce que nous allons prouver, au delà de B, si loin qu'on la prolonge, elle coïncidera avec le prolongement de la première. Car, admettons qu'en un point quelconque elle cesse de coïncider, et qu'à partir de G, par exemple, elle diverge au-dessus ou au-dessous de la première ; prenons une portion du tracé qui soit commune aux deux lignes, AB par exemple, et appîiquons-la sur la première ligne, au point G, de façon qu'elle déborde en deçà et au delà. Puisque la première ligne est droite, cette portion coïncidera, en deçà et au delà do G, avec le fragment de la première ligne sur lequel elle aura été appliquée. Puisque la seconde ligne est censée droite, cette même portion devra coïncider aussi en deçà et au delà de G avec le fragment de la seconde ligne sur lequel elle aura été appliquée. Ge qui est contradictoire, puisque, au delà de G, le second fragment diverge et cesse de coïncider avec le premier. Il y a donc contradiction à ce que la seconde ligne soit droite et cesse de coïncider avec la première. Sa divergence exclut sa rectitude, ou sa rectitude exclut sa divergence. Si elle a cessé de coïncider avec la première, c'est qu'elle a cessé d'être droite ; pour qu'elle reste droite, il faut qu'elle continue à coïncider avec la première ; pour qu'elle demeure toujours droite, il faut qu'elle continue toujours à coin-

cider avec la première. Par conséquent, deux droites qui ont deux points communs coïncident dans toute leur étendue, à quelque distance qu'on les prolonge ; ou encore, deux points suffisent à déterminer complètement dans une ligne droite, non-seulement le tracé qui les réunit, mais encore le tracé tout entier prolongé des deux côtés aussi loin que l'on voudra.

« La définition et les propriétés de la ligne droite, disait d'Alembert ', sont l'écueil et, pour ainsi dire, le scandale des éléments de géométrie. » Si je ne me trompe, on vient de voir que ce scandale peut disparaître, et que les axiomes admis sont des théorèmes capables de preuve. Selon d'Alembert, les parallèles présentent une difficulté analogue. Sans doute, il est téméraire d'aborder un obstacle que de grands esprits et des savants spéciaux déclarent invincible ou invaincu ; mais heureusement il s'agit moins ici de découvrir une démonstration que d'analyser une construction; nous faisons œuvre de psychologue et non de géomètre; nous cherchons simplement le procédé intime et secret par lequel, sous le témoignage accessoire et insuffisant des yeux, se forme la conviction inébranlable de l'esprit. — Comment construisons-nous la notion de deux parallèles? Le moyen le plus ordinaire est, sur une droite donnée dans un plan, d'élever une perpendiculaire par un point et une autre perpendiculaire par un autre point ; ces deux perpendiculaires sont dites parallèles l'une à l'autre. Mais il est une construction plus simple encore, ou du moins plus naturelle, et qui nous permet d'assister à la génération de nos deux

i. Mélanges. — Éclaircissements sur les éléments de philosophie. Tome V, 207.

perpendiculaires. Soit une droite AB, et concevons qu'elle remonte en demeurant inflexible, sans changer de forme ni de grandeur. Sui- ^ n^

vons d'abord des yeux, puis de l'esprit , les différentes façons dont elle peut remonter. — Visiblement, elle peut remonter en traçant par ses divers points des lignes inégales, ce qui arrive, par exemple, lorsqu'elle tourne autour de A comme centre et que ses divers points décrivent des arcs de cercle d'autant plus grands qu'ils sont eux-mêmes plus éloignés de A. Mais elle peut remonter d'une façon toute différente, en traçant par tous ses points des droites égales, et, visiblement, cette ascension peut s'opérer en une infinité de façons, vers la gauche ou vers la droite, -par des droites plus ou moins inclinées sur AB. Visiblement enfin, entre tous ces cas, il en est un où le point A, en remontant, n'incline ni vers la gauche ni vers la droite, et, par conséquent, trace une perpendiculaire sur AB. — A présent, cette opération, que les sens déclarent possible, est-elle possible effectivement? Le composé mental que nous fabriquons ainsi d'après une suggestion de nos yeux ne renferme-t-il pas quelque contradiction interne ? Les conditions que nous avons assemblées, l'ascension d'une droite, l'obligation pour tous les points de cette droite de tracer par leur ascension des droites égales entre elles , la possibilité pour le point A de tracer une perpendiculaire, ces trois conditions peuvent-elles être remplies ensemble? N'y en a-t-il point une, la première, la seconde ou la troisième, qui répugne aux deux autres ou à l'une des deux autres ? — Nous n'en savons rien ; tout ce que nous pouvons dire, c'est que notre expérience

et notre imagination ne découvrent dans cette construction rien d'impossible. Mais cela nous suffit; car il en est ainsi de toutes les constructions mentales qui, étant très-simples, engendrent le premier-né d'une famille nouvelle et distincte. Telle était notre construction précédente à propos de la ligne droite ; elle engendrait la plus simple des lignes et, avec le point en mouvement, créait la première dimension. Telle est notre construction présente ; elle engendre la plus simple des surfaces et, avec la droite en mouvement, crée la seconde dimension. Telle serait une dernière construction analogue, qui engendrerait le plus simple des solides et, avec notre surface en mouvement, créerait la troisième dimension. Chacune de ces constructions est en son genre une supposition primitive; il n'y en a pas d'antérieure en son genre à laquelle on puisse la comparer pour vérifier si elle y répugne. Ainsi nous n'avions pas à prouver que le point peut se mouvoir, ni qu'il peut se mouvoir, pendant tous les moments de son mouvement, vers un seul et unique autre point. Pareillement, nous n'avons pas à prouver que la droite peut remonter, ni qu'elle peut remonter en traçant par tous ses points des droites égales, ni qu'en faisant ce tracé elle peut tracer une perpendiculaire par son extrémité A. A tout le moins, notre combinaison mentale a la valeur de ces formules algébriques par lesquelles l'analyse construit d'avance des courbes et des surfaces, sans se préoccuper de savoir si géométriquement elles sont réalisables ou non. Une fois la formule posée, on en déduit les conséquences ; peu importe que les conséquences répugnent à la structure de notre espace visible et tangible ; elles sont des dé-

ductions légitimes et aboutissent à des théorèmes prouvés; on a construit une géométrie entière en supposant que le postulat d'Euclide n'est pas vrai, et cette géométrie est aussi rigoureuse que celle d'Euclide. — Prenons donc notre combinaison pour ce qu'elle est, c'est-à-dire pour un pur assemblage de conditions, desquelles on ne sait pas si elles sont compatibles avec la structure de notre espace, ni si dans notre espace elles sont compatibles entre elles. Bien mieux, considérons comme réservée la question de savoir si, prises à part et en soi, elles sont compatibles ou incompatibles entre elles. Sur ce dernier article, le développement des théorèmes répondra; si l'une répugne à l'autre, comme la forme carrée répugne au cercle, au bout de quelques déductions on démêlera dans le composé mental que forme leur assemblage une contradiction interne pareille à celle que tout de suite on découvre dans la notion d'un cercle carré.

Cela admis, reprenons notre ^.

construction. Nous supposons que la droite AB, tout en demeurant la même, remonte en traçant par tous ses points des droites égales ; rien de plus ; seulement, parmi les innom-

brables angles que le point A, ^ ' en traçant sa droite, peut faire avec AB, nous choisissons l'angle droit. — A présent, il est aisé de prouver *

1 . Voici le détail de la démonstration. A'B' est une position quelconque de la droite ascendante AB, et les données sont les suivantes : AB = A'B', AA' = BB', l'angle A est droit.

\° Menons A'B. Les deux triangles ainsi formés sont égaux comme ayant leurs trois côLcs égaux chacun à chacun; car

que, si AA' est perpendiculaire sur AB, A'B' est aussi perpendiculaire sur BB' ; que partant ces deux verticales sont, partout et si loin qu'on les pro-

AB =r A'B', AA' = BB', et A'C est commun. Mais A est droit, donc B' est droit. Donc A'B' est perpendiculaire sur B'B et mesure la distance des deux verticales au point A'. Mais A'B' = AB, et, si loiu qu'on prolonge les deux verticales, A'B', en vertu du même raisonnement, sera toujours égal à AB. Donc les deux verticales sont partout équidistantes, et leur distance est AB.

2« Même démonstration pour les deux horizontales. Puisque B' est droit, BB' est perpendiculaire sur A'B' et mesure la distance des deux horizontales au point B. Mais BB' = AA',et. si loin qu'on prolonge les deux horizontales, BB', en vertu du même raisonnement, sera toujours égal à AA'. Donc les deux horizontales sont ptirtout équidistantes, et leur distance est AA'.

3» Menons AB'. Les deux triangles sont égaux, puisque, comme dans la figure précédente, ils ont les trois côtés égaux jL. -D' chacun à chacun. Donc l'angle 1 =

' ' l'angle 1' et l'angle 2 = l'angle 2'.

Mais 1 + 2 = un droit, donc 1+2' — un droit, et 2 + 1' = un droit D'autre part,! et 1', 2 et 2', respectivement compris entre des droites équidistantes ou parallèles, sont respectivement alternes internes; d'où il suit, comme chacun sait, que dans tout triangle la somme des trois angles est égale à deux droits.

— Donc, dans le triangle ABB', où la somme des angles 1 et 2' égale un droit, le troisième angle B égale un droit, et B'B est perpendiculaire sur AB. Pareillement, dans le triangle AA'B', où la somme des angles 2 et 1' égale un droit, le troisième angle A' égale un droit , et AA' est perpendiculaire sur A'B'. — Ainsi les deux verticales équidistantes sont perpendiculaires sur AG, et les deux horizontales équidistantes sont perpendiculaires sur AA'.

longe, équidistantes; que cette distance est AB; que les deux horizontales sont, partout et si loin qu'on les prolonge, équidistantes ; que cette distance est AA'; que de plus BB' est perpendiculaire sur AB ; qu'ainsi la droite ascendante engendre par ses extrémités deux perpendiculaires ; et l'on comprend que, si les deux perpendiculaires sont partout équidistantes, c'est que la droite qui les engendre demeure pendant toute son ascension la mesure de leur écartement.

A mon avis, telle est la secrète opération mentale qui éclaire et soutient le témoignage de nos yeux lorsque nous voyons remonter la droite qui trace par tous ses points des droites égales entre elles. Nous sentons que , puisque la droite reste la même et que tous les tracés doivent être les mêmes, tous les points doivent remonter dans le même sens ; que, si l'un remonte vers la gauche ou la droite, les autres doivent de même remonter vers la gauche ou la droite; que, si l'un ne remonte ni vers la droite ni vers la gauche, les autres doivent de même ne remonter ni vers la droite ni vers la gauche; en d'autres termes, que, si l'un trace une perpendiculaire, les autres doivent de même tracer des perpendiculaires; qu'en ce cas la droite ascendante qui, dans sa première position, est perpendiculaire à la première v^erticale, doit être de môme, dans la seconde position, perpendiculaire à la seconde verticale; qu'à ce titre, dans sa seconde position, elle mesure la distance des deux verticales ; que, dans ces deux positions, elle est toujours la même, et que partant, quelle que soit sa position, elle crée et constate toujours la même distance entre les deux verticales. A mesure que la droite visible remonte, cette série d'identités se déroule

358 LIV. IV. CONNAISSANCE DES CHOSES GÉNÉRALEr.

plus OU moins nettement dans l'esprit; un anneau de la chaîne en tire un autre ; nous avons vaguement 'conscience qu'au commencement, à la fin et à tous les moments intermédiaires de l'opération, la droite ascendante non-seulement demeure intacte, mais demeure toujours la mesure de la distance qu'elle établit entre les verticales qu'elle trace par ses deux extrémités ; que non-seulement elle reste invariablement la même^ mais qu'elle fait invariablement le même office. Voilà la réminiscence sourde qui s'ajoute à la suggestion des yeux et devance les vérifications de l'équerre, pour rendre inutile l'emploi de l'équerre et pour autoriser, par une évidence plus forte, le témoignage insuffisant des yeux.

A présent, la seconde proposition de la théorie ordinaire, je veux dire le postulat d'Euclide, ne présente plus de difficulté. Car nous avons prouvé non-seulement que nos deux verticales ne se rencontreront jamais, mais encore qu'elles seront toujours équidistantes, et telle est maintenant notre définition des parallèles. Or le postulat consiste à dire que, si une oblique AB rencontre la première parallèle, elle rencontrera aussi la seconde, et l'on voit aisément la condition nécessaire et suffisante de cette rencontre. Il faut et il suffit que l'oblique prolongée au-dessous de B s'écarte assez de la première parallèle pour qu'une perpendiculaire CD élevée en un point G de l'oblique égale la distance des deux parallèles. L'oblique s'écartera-t-elle assez pour cela? — On démontre aisément que son écartement va croissant à mesure

qu'elle se prolonge ; car si , à un moment quelconque, cet écartement diminuait ou cessait de croître, deux points pris sur elle à partir de ce moment seraient à égale distance de la première parallèle, et, comme deux points suffisent pour déterminer une droite, l'oblique se confondrait avec une troisième parallèle qui passerait par ces deux points, ce qui est impossible, puisque, par la proposition précédente, deux parallèles ne peuvent se rencontrer, et puisque, par hypothèse, notre oblique rencontre la première parallèle. Donc, à mesure que l'oblique se prolonge, elle s'écarte davantage de la première parallèle, et la perpendiculaire qui mesure cet écartement est une grandeur qui va toujours croissant. — Mais notre question subsiste toujours. En efifet, cette grandeur croissante croîtra-t-elle assez pour égaler une grandeur très-grande, et notamment une grandeur aussi grande que l'on voudra, comme peut l'être la distance des deux parallèles choisies? Ramenée à ces termes précis, la proposition nous laisse une certaine inquiétude; sans doute, au premier aspect, voyant une oblique sensiblement inclinée et deux parallèles médiocrement distantes, nous avons jugé que l'oblique, après avoir rencontré la première, rencontrerait la seconde ; c'est que le point de rencontre n'était pas loin ; nous l'apercevions avec les yeux , ou nous le marquions d'avance par l'imagination ; sur ces indices, nous avons induit avec vraisemblance que, si petite que fût l'inclinaison et si grande que fût la distance, la proposition serait toujours vraie. Mais, si nous supposons la distance égale à la ligne qui joint une étoile fixe à la terre, en même temps que l'inclinaison réduite à un cent-millionième de seconde,

nos yeux ne nous renseignent plus, notre imagination défaille, nous sommes troublés. Nous le sommes davantage encore, si nous nous rappelons que nous pouvons agrandir la distance et diminuer l'inclinaison beaucoup au delà de ces chiffres énormes, et cela indéfiniment. Nous devenons encore plus inquiets, si nous remarquons que certaines grandeurs croissent indéfiniment, sans jamais pouvoir atteindre une certaine limite ; que, vainement grossies et enflées, elles restent toujours au-dessous d'une grandeur donnée ; que 1 + 7 "1" T H~ i "h iV) etc., reste toujours audessous de 2, et que peut-être notre perpendiculaire est dans ce cas. — Il faut donc employer une analyse plus délicate , c'est-à-dire chercher la façon dont croît l'écartement de l'oblique par rapport à la première parallèle ; quand nous connaîtrons sa façon de croître, nous saurons si cette croissance a une limite. Pour cela, d'un point quelconque G de la portion de l'oblique située entre les deux parallèles, abaissons une perpendiculaire CD sur la première parallèle; sur le prolongement de l'oblique, prenons une longueur CE égale à BG, et enfin de E abaissons une perpendiculaire EO sur la première parallèle. On démontrera aisément que GBO, LiiO sont des triangles semblables, que par conséquent leurs côtés homologues sont proportionnels, d'où il suit que , si BE =^ 2 BG , EO = 2 CD. En d'autres termes , à mesure que l'oblique double en longueur, la perpendiculaire qui mesure son écartement par rapport à la première parallèle

double aussi en longueur. Sa croissance se fait donc en doublant toujours, et partant n'a point de limite. Bien mieux : nous pouvons dire maintenant à quel point l'oblique rencontrera la seconde parallèle. Soit CD par rapport à îa perpendiculaire qui mesure la distance des deux parallèles comme 1 est à 10, 100, 1000, etc., ou, plus généralement, comme 1 est h X ; l'oblique rencontrera la seconde parallèle , quand sa longueur sera BG X 10, 100, 1000, etc., ou, plus généralement, BG X ». Mais, comme BD, BO sont aussi des côtés homologues, la correspondance se maintient si à BG on substitue BD. En conséquence, on pourra marquer d'avance le point où l'oblique rencontre la seconde parallèle : il suffira de prendre sur la première parallèle une longueur BN égale à BD X îc; la perpendiculaire à BN élevée jusqu'à la rencontre de la seconde parallèle rencontrera cette dernière au point où l'oblique l'atteindra.

VI. Le lecteur voit maintenant comment se forment les axiomes. Non-seulement l'expérience faite avec les yeux ou avec l'imagination n'est qu'un indice, mais de plus cet indice, en certains cas, peut manquer; tout à l'heure, ni avec l'œil externe, ni avec l'œil interne, je ne pouvais suivre le prolongement des deux parallèles au delà d'une certaine distance; pareillement, on peut citer telle figure, le myriagone l'égulier, que je n'ai jamais vue tracée, que par l'imagmation je ne puis tracer, et sur laquelle pourtant je puis porter avec clarté des jugements certains. Sous le travail de l'œil externe ou interne, il y a un sourd travail mental, la reconnaissance répétée ou continue d'une circonstance qui, supposée dans la construction

primitive, persiste ou reparaît toujours la même aux divers moments successifs de notre opération. Quand, après avoir élevé mes deux perpendiculaires sur une base, je les suis indéfiniment par l'imagination sans pouvoir admettre qu'en un point quelconque du trajet elles se rapprochent, c'est qu'involontairement et sans le savoir j'emporte avec elles la portion de base interceptée par leurs pieds, et qu'à tous les moments du parcours cette base, toujours la même dans mon esprit, se fait vaguement reconnaître à mon esprit comme toujours la même. — Mais, quoique la raison soit le véritable ouvrier de la conviction finale, l'indice que fournissent les sens est très-précieux. Car les témoignages de l'œil et de l'imagination devancent et confirment les conclusions de l'analyse; nous sommes conduits à l'axiome par une suggestion préalable, et nous y sommes maintenus par une vérification ultérieure. L'évidence sensible sert d'introduction et de complément à l'évidence logique, et c'est grâce à cette concordance que l'arithmétique, la géométrie et même l'algèbre, ayant trouvé tout de suite leurs axiomes, ont été si précoces. — Il n'en est pas de même de la mécanique. Dans cette science, les axiomes ne concordent pas avec les inductions de l'expérience ; du moins ils ne concordent pas avec les inductions de l'expérience ordinaire. Par exemple, les axiomes disent que la matière est inerte, incapable de modifier spontanément son état, de passer du repos au mouvement si elle est en repos, et du mouvement au repos si elle est en mouvement. Or tous les jours nous voyons des corps passer du mouvement au repos ou du repos au mouvement, à ce qu'il semble, spontanément, et sans l'intervention appréciable d'une

condition nouvelle. Une pierre lancée, un pendule qui oscille finissent par s'arrêter, et on est tenté de croire qu'ils s'arrêtent d'eux-mêmes; un mélange détone, une pomme tombe de son arbre, sans que nos sens démêlent la circonstance nouvelle qui, s'ajoutant à l'ancien état, a provoqué le nouveau. Pendant toute l'antiquité et tout le moyen âge, les philosophes ont admis des tendances au repos ou au mouvement, diverses chez les divers corps, la tendance vers le bas pour la pierre qui tombe, la tendance vers le haut pour l'air et le feu qui montent, la tendance au mouvement parfait ou circulaire pour les astres qui tournent, l'horreur du vide, etc. C'est seulement à la Renaissance, avec Stevin et Galilée, que la mécanique a commencé; et, très-probablement, la cause de ce long retard est le désaccord de l'induction ordinaire et de la raison pure. Au lieu de mener à l'axiome, l'expérience en détournait ; au lieu de le confirmer, elle le démentait. On n'avait pas d'aide pour le former, et, si on l'eût formé, l'observation, telle qu'on la pratiquait , aurait suffi pour le défaire. Nous avons fini par le former, et l'expérience mieux conduite se trouve aujourd'hui d'accord avec lui. Même elle a été si bien conduite, et en certains cas, comme celui du pendule de Borda, elle se trouve si concluante, que, selon plusieurs auteurs, l'induction est la seule preuve valable de l'axiome; ils considèrent les principes de la mécanique comme des propositions analogues au principe de l'attraction, établies comme lui par l'induction pure, limitées comme lui au petit cercle et à la petite durée du monde que notre observation peut atteindre, incapables comme lui d'être appliquées au delà, sinon par conjecture, et tout à fait douteuses comme lui.

quand notre témérité veut étendre leur empire à toutes •es portions de l'espace ou à tous les moments du temps.

Pour nous, avec Leibnitz et d'Alembert, nous inclinons à penser que, parmi les principes de la mécanique, plusieurs sont non-seulement des vérités d'expérience, mais aussi des propositions analytiques. Afin '8 le montrer, examinons de près nos constructions. Avant de construire les mouvements composés, il faut construire le mouvement simple, puisque les mouvements composés ne sont que des combinaisons du mouvement simple. Or tout mouvement qui n'est pas uniforme et rectiligne est composé; seul, celui-ci est simple. Car, au point de vue du temps, sa forme est simple, puisque, à tous les moments, sa vitesse est la même; et, au point de vue de l'espace, sa direction est simple, puisque la ligne qu'il décrit, étant droite, se trouve la plus simple des lignes. A ce double titre, il est l'élément dont les combinaisons constituent les autres mouvements, et, de ses propriétés^ dérivent forcément leurs propriétés. — Soit donc un mobile qui se meut d'un mouvement uniforme et rectiligne pendant une certaine durée et en parcourant un certain espace ; cette durée sera aussi courte et cet espace aussi petit que l'on voudra. Voilà ce qu'on peut nommer son mouvement initial ou primitif; continuera-t-il à se mouvoir et, en ce cas, quel sera son mouvement ? — Si' courte qu'ait été la durée d'abord écoulée, par exemple un millionième de seconde, et si petit qu'ait été l'espace d'abord traversé, par exemple un millième de millimètre, on peut considérer tour à tour deux moitiés dans cette durée et deux moitiés dans cet espace. Comme, d'après notre supposition, le

mouvement a été rectiligne, le second demi-millième de millimètre décrit s'ajuste au premier en ligne droite. Gomme, d'après notre supposition, le mouvement a été uniforme, l'espace parcouru pendant le deuxième demi-millionième de seconde est le même en grandeur que l'espace parcouru pendant le premier. De là suivent deux conséquences. Ni la direction, ni la vitesse du corps n'ont été altérées. La direction qu'il avait dans la première fraction d'espace est restée la même pendant la deuxième. La vitesse qu'il avait pendant la première fraction de durée est restée la même pendant la deuxième. Que la fraction soit la deuxième ou la première, il n'importe pas ; ce caractère qui fait leur différence n'a pas eu d'influence sur le mouvement : par rapport au mouvement, ce caractère a été indifférent et, si j'ose ainsi parler, nul. — Mais, parmi les fractions semblables de l'espace ultérieur et de la durée consécutive, on peut en concevoir une qui suive immédiatement notre deuxième fraction, après le deuxième demi-millième de millimètre de l'espace parcouru, un troisième, après le deuxième demi-millionième de la durée employée, un troisième. Ce troisième, pris en lui-même et comparé au deuxième, n'en diffère que comme le deuxième diffère du premier; il vient après le deuxième comme le deuxième vient après le premier; rien de plus. D'où il suit que, puisque le caractère par lequel le deuxième diffère du premier, à savoir la propriété de venir ensuite, n'a pas eu d'influence sur le mouvement, le caractère par lequel le troisième diffère du second, à savoir la propriété de venir ensuite, n'aura pas d'influence sur le mouvement; par rapport au mouvement, ce caractère sera aussi indifférent et

nul, et, de même que pendant le deuxième moment le corps a continué son mouvement uniforme et rectiligne, de même pendant le troisième moment, saut introduction d'un nouveau caractère influent, il continuera son mouvement uniforme et rectiligne. Même raisonnement pour le quatrième, le cinquième moment, et ainsi de suite à l'infini.

Réduite à ces termes, la preuve est rigoureuse. Elle est fondée tout entière sur deux remarques : l'une est que deux portions égales et contiguës de l'espace, comme deux portions égales et successives du temps, sont exactement les mêmes, sauf cette diflerence que la seconde est après la première; l'autre est que, si cette différence, posée une première fois, n'a pas eu d'effet sur le mouvement, cette même différence, posée une seconde fois, n'aura pas non plus d'effet sur le mouvement, à condition que la seconde fois elle soit absolument la même, et que nulle autre différence influente et nouvelle ne soit intervenue. A quoi l'on pourvoit en supposant que la troisième fraction de durée et d'espace répète la seconde absolument et à tous égards; que, nul caractère perturbateur ne s'étant rencontré dans la seconde, nul caractère perturbateur ne se rencontrera dans la troisième; que dans le troisième lieu et le troisième instant, comme dans le second lieu et le second instant, nulle circonstance étrangère et influente ne s'est adjointe pour arrêter, dévier, presser ou ralentir le mouvement ; que, le petit espace d'abord parcouru étant vide, l'espace infini qui reste à parcourir est vide aussi; que, la courte durée d'abord employée n'ayant présenté aucun événement modificateur, la durée infinie qui reste à employer n'en

CHAr. II. LES JUGEMENTS GÉNÉRAUX 367

présentera non plus aucun. Bref, nous concluons d'un lieu à un lieu différent et d'un instant à un instant différent, avec autorité et certitude, lorsque cette différence, ayant manifesté son manque absolu d'influence, peut être considérée par rapport au mouvement comme nulle, et que, toute autre différence influente étant exclue par hypothèse, les deux lieux et les deux instants deviennent rigoureusement les mêmes par rapport au mouvement.

Le lecteur voit sans difficulté qu'un raisonnement analogue et plus simple encore s'applique au corps en repos; car, dans ce cas, on n'a point à tenir compte de l'espace, mais seulement de la durée. — • Soit un corps en repos pendant une durée aussi courte que l'on voudra ; cette durée étant divisible en deux moitiés, on démontrera de même que, le corps étant demeuré pendant la seconde moitié dans le même état que pendant la première, le caractère par lequel la seconde moitié diffère de la première, c'est-à-dire la propriété qu'elle a de venir ensuite, n'a pas eu d'influence sur cet état ; d'où il suit qu'un troisième fragment égal, découpé dans la durée consécutive, n'aura pas non plus d'influence, à moins qu'on n'y fasse intervenir quelque circonstance nouvelle influente, quelque événement étranger efficace. C'est pourquoi, tant que cette exclusion sera maintenue, le repos primitif se maintiendra, et le corps en repos, comme le corps animé d'un mouvement uniforme et rectiligne, si bref que soit leur état initial, tendront à persévérer indéfiniment dans cet état.

L'axiome, ainsi démontré et entendu, notez sa portée restreinte. Il n'établit aucunement qu'un corps choqué par un autre prendra un mouvement recti-

ligne et uniforme, ni qu'un corps animé d'un mouve ment rectiligne et uniforme pourra le perdre sou? l'action d'un choc et demeurer alors indéfiniment en repos ; ces vérités sont affaire d'induction et d'expérience. Nous sommes ailleurs, dans la pure région des vérités abstraites ; nous ne savons plus si, en fait, il y a des mobiles en repos ou en mouvement ; nous ne faisons qu'extraire et suivre les conséquences incluses dans une supposition ou construction initiale. ^- C'est pourquoi la simple analyse nous a suffi jusqu'ici et nous suffit encore pour démontrer deux autres propositions capitales de la mécanique. Soit une droite inflexible AB ; supposons qu'elle remonte tout entière et de façon à rester toujours parallèle à sa première position ; au bout d'un certain temps elle devient A'B' parallèle à AB, et nous convenons que ^. g, ce laps de temps est une seconde.

A présent, supposons que, pendant ce mouvement de la droite totale, un mobile , situé en A , s'est dirigé lui-même en ligne droite vers le point B , de façon à parcourir aussi en une seconde, c'est-à-dire dans le même laps de temps, la droite AB. Nous admettons ainsi pour A doux mouvements simultanés et difTérents, l'un qui lui est commun avec tous les autres points de la droite AB, l'autre qui lui est propre. — Remarquez que nous ne savons pas si les choses se passent ainsi dans la nature. Rien ne prouve que notre combinaison mentale ait ou même puisse avoir sa contre-partie dans les combinaisons réelles. On pourrait imaginer un état de choses dans lequel, par cela seul qu'un corps

se mouvrait dans un sens, une portion de ce corps répugnerait à se mouvoir en même temps dans un autre sens. Mais nous n'avons pas à nous inquiéter de ce que permettent ou interdisent les lois des choses réelles; nous supposons dans notre mobile l'indépendance de deux mouvements simultanés et dirigés en sens différents, sauf à vérifier plus tard par l'expérience si les faits s'ajustent ou ne s'ajustent pas à cette conception. — De nos deux hypothèses, que suit-il ? Par la première, il est admis que la ligne AB, remontant en A'B', devient A'B' au bout d'une seconde, et qu'ainsi au bout d'une seconde B se trouve en B'. Par la deuxième, il est admis que le mobile situé en A se transporte de A en B, aussi en une seconde, sans que l'ascension de AB altère en rien sa propre translation. Cette ascension est donc indifférente et nulle par rapport à la translation, et le mobile chemine sur AB en mouvement comme il cheminerait sur AB en repos. D'où il suit qu'au bout d'une seconde il est arrivé à l'extrémité de AB en mouvement, comme il serait arrivé au bout d'une seconde à l'extrémité de AB en repos. Mais, au bout d'une seconde, l'extrémité de AB en mouvement est B' ; donc, au bout d'une seconde, le mobile est en B'. D'où l'on voit que, parti de l'angle du parallélogramme, il est arrivé à l'angle opposé.

Reste à savoir quelle ligne il a tracée dans ce parcours. Deux cas peuvent se présenter, celui du mourement uniforme et celui du mouvement qui n'est pas nniforme. Nous n'examinerons que le premier, le plus simple de tous; dans celui-ci, la vitesse de AB pendant toute son ascension est demeurée la même comme aussi la vitesse du mobile en A pendant toute