LOIS DES VIBRATIONS

Le phénomène des vibrations présente une

(1) MM. Cagnard de Latour , Annales de phys. et de chim. , t. XII.

(2) M. Faraday, Annales de phys. et de chim. , t. VIII,

circonstance générale, indépendante de la forme et du volume des corps sonores : c'est le parallélisme des mouvemens moléculaires entre eux et avec la direction de L'ébranlement primitif (i). Mais il en est une accessoire , accidentelle et variable comme les formes, les volumes et la direction des vibrations comparée à celle des surfaces qui terminent le corps sonore : c'est un mouvement de transports ou flexions alternatifs autour de certains points, lignes ou surfaces immobiles, nommés nœuds de vibrations; il est le plus étendu possible dans les points, les lignes ou les surfaces intermédiaires , que l'on nomme ventres de vibrations. On doit rechercher la cause des mouvemens de transport ànns la manière dont les vibrations se communiquent : il suffit de concevoir qu'elles se répètent plus ou moins de fois dans les particules ébranlées directement, avant que la masse entière ne les partage par la transmission de proche en proche. Il est digne de remarque qu'une verge longtemps soumise à un même mode de vibration , comme partie d'une verge plus longue , ne paraît plus susceptible de vibrer avec régularité , au moins pendant un certain temps (2).

(1) Voy. le mémoire fort étendu de M. Savart, Annales de phys. et de chim. , t. XXY.

(2) M. Savait, Annales de phys. et de chim. , t. XIV.

On peut déterminer la formation des nœuds, en touchant un ou plusieurs points des corps en vibration ; un défaut d'égalité dans la manière d'ébranler suffit quelquefoisà cet effet. Les expériences de M. Savart , sur les membranes tendues et sur la communication du mouvement des corps en contact intime, conduisent à ce résultat, qu'il n'est point de mode de division qu'un même corps en vibration ne puisse admettre, et point de son qu'il ne puisse produire (i). Ce physicien rapporte à des divisions intermédiaires , à de certains systèmes de lignes nodales, les nœuds que M. Chladni a nommés distorsion défigures (2).

Les corps rigides ne se prêtent pas à toutes les divisions imaginables avec la même facilité. Pour une forme déterminée , les divisions que l'on observe et les sons correspondans sont assujettis à de certaines lois que l'expérience a fait connaître ; mais les mêmes sons peuvent appartenir d'ailleurs à des divisions différentes du corps vibrant , observation qui fait sentir la nécessité de bien distinguer les rnouvemens moléculaires , des rnouvemens généraux ou de transport.

Le fait bien établi du parallélisme des rnouvemens moléculaires et la connaissance des variétés que présentent les rnouvemens généraux liés aux

(1) M. F. Savart , Ann. de phys. el de chim. , t. XXXIL

(2) M. Chladni, loc.ciU

procédons, suffisent à l'explication des phénomènes observés par M. Weaîsione (i), et décrits par lui sous le nom de polarisation du son, ou comparés à la double réfraction de la lumière.

La vitesse des vibrations , et par conséquent le degré du son , varie avec le milieu dans lequel le corps sonore est plongé. On conçoit, en effet, que la résistance différente que les fluides peuvent opposer doit avoir cette influence. Pour les lames minces , l'effet semble nul lorsque les vibrations se font tangentiellement dans le sens de la longueur , mais il est très-remarquable dans le cas des vibrations normales. Dans ce dernier cas aussi la position des nœuds varie: les plus voisins des extrémités s'en rapprochent encore davantage , sans que leur nombre soit changé (2).

l° Corps linéaires.

A. Formes rectilignes.

Cordes itndues. — On a distingué jusqu'ici des vibrations transversales et des vibrations longitudinales de ces cordes : ce sont de simples mouvemens de transport.

Bans le premier mode, la corde tendue oscille de chaque côté de la ligne droite joignant les

(1) M. Weatstone , Arm. de pîiys. et de chim. , t. XXIII,

(2) M. Sayart ^ Annales de phys. et de chim. , t. XXX,

points d'attache , avec une amplitude qui détermine l'intensité du son. Le mouvement transversal est beaucoup plus compliqué qu'il ne paraît d'abord : le calcul et l'expérience à l'appui démontrent l'existence de mouvemens secondaires, dans lesquels les divisions et les subdivisions de la corde oscillent de même des deux côtés de la position moyenne qui conviendrait à chacune d'elles, dans toutes les positions variables que lui font successivement occuper toutes les espèces de mouvemens plus généraux que le sien propre, auxquels elle est soumise à la fois. Quant à la vitesse de chaque mouvement particulier , elle augmente avec le degré de la subdivision de la corde , et est inversement proportionnelle aux longueurs. Mais quel est le terme de toutes ces subdivisions ? Le calcul n'en admet aucun ; cependant quelques physiciens doutent de l'exactitude de ce résultat (i).

Pendant les vibrations longitudinales des cordes, on observe un mouvement de transport alternativement dirigé d'une extrémité vers l'autre, et

(i) Voy. Haiiy, Traité de physique , 182 1; etGalin,

Méthode du méloplaste L'assertion du premier est , on

en conviendra, fort exagérée. « On a pensé, dit-il, qu'une « corde en vibration se sous-divisait en parlics aiiquoies... ; « mais ni l'observation , ni le calcul , n'indiquent celte ,« sous-division de la corde génératrice, n

en même temps il se forme une ligne nodnle contournée en hélice , circonstance caractérisUque du mouvement vibratoire longitudinal (i). Il suffit de toucher légèrement la corde en un point de sa division en parties aliquotes , pour que chacune de ces dernières présente aussitôt des mouvemens de transport , dont la vitesse croît dans le rapport inverse de leur longueur.

Le son que rend une corde tendue dépend de plusieurs élémens , qui sont : la longueur, Tépaisseur , le poids spécifique et le degré de tension. ■> — Eu égard aux seules variations de la longueur, le nombre des vibrations est constamment dans un rapport inverse avec cette dernière ; le %'> , le '|3 ,... . d'une même corde ;

résonnent avec des vibrations 2 , 3 fois

plus rapides que la corde entière. Le même rapport inverse a lieu, lorsque le diamètre seul de la corde est soumis à des variations. Les différences de tension et de poids spécifique altèrent le degré suivant une progression plus rapide , le carré du nombre des vibrations étant directement proportionnel au poids quisous-teod la corde , et inversement au poids spécifique; — M. Chladni assure que les stms produits par des vibrations longitudinales ne dépendent pas de leur épaisseur ni de leur tension. J'ai lieu de penser

(1) \ oyez ci-après Vibration des va ges élastiques*

que celte remarque ne s'applique avec exactitude qu'à des cordes d'une mince épaisseur, au moins quant à l'influence de cette dimension. — Les sons d'une corde tendue , vibrant dans le sens de sa longueur, sont excessivement plus aigus que ceux de la même corde soumise à. des vibrations transversales.

Verges élastiques. — Ces sortes de corps se prêtent à des mouvemens généraux rapportés à deux sens rectangulaires: sens transversal et sens longitudinal , comme pour les cordes tendues.

a. Flexions des verges élastiques. — Les circonstances différentes où la même verge peut être placée influent sur les résultats. Il faut avoir égard à la distinction des cas suivans qui les comprennent tous : i° l'un des bouts fixé invariablement , l'autre libre ; 20 l'un des bouts appuyé, l'autre libre ; 3° les deux bouts libres ; 4° les deux bouts appuyés ; 5° les deux bouts fixés invariablement ; 6° un bout fixé, l'autre appuyé.

M. Chladni a expérimenté que, dans le premier cas, si l'on oblige la verge élastique à se partager par i, 2, 3,4, 5,.... nœuds, en parties vibrantes distinctes, le degré des sons correspondans est représenté par le carré de 3 , 5 , 7 , 9 , 11..,. Le son de la verge entière n'appartient pas à cette loi : le rapport du nombre des vibrations qui lui convient , au premier terme de la série précédente , est celui de 4 à 25. — Bans le deuxième

(27 ) cas, le nombre des nœuds étant i, a, 3, 4i S» 6... , les nombres de vibrations sont entre eux comme les carrés de 5, g, i3, 17, 21 , 25.... Cette série se rattache à celle du cas précédent , par le rap^. port de 625 à 1 44 9 W1 es^ celui de son premier terme au nombre des vibrations de la verge entière dans le premier cas. — Le son le plus grave que Ton puisse obtenir d'une verge élastique , placée dans les circonstances du troisième cas, suppose deux nœuds de vibrations. Les carrés

âes nombres de la suite 3 , 5,7, 11 , i3 ,

donnent les nombres de vibrations correspondans

à 2 , 3 , 4 ? 5 , nœuds. — Les deux bouts de la

verge étant appuyés, à la série des nœuds o, 1,2, 3, 4> a*,....., correspond celle des carrés des

nombres 1, 2 , 3 , 4? 5 , 6 ...... qui expriment les

degrés, et dont le premier terme est au nombre des vibrations de la verge entière, placée dans les conditions du premier cas, dans le rapport de 25 à 4- — Dans le cinquième cas , la série des nombres de vibrations , représentée par les carrés de

3, 5,7,9,11,10 , correspond à la suite

des nœuds o , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , — Enfin , dans

le dernier cas, une série du deuxième se reproduit : c'est celle des degrés représentés par les carrés de 5 , 9 , j3 , 17, 21...... ; mais ils correspondent ici à la suite o , 1 , 2,0,4 > des

nœuds de vibration. — Toutes ces lois restent les mêmes , quand on met en expérience des lames

minces , rectangulaires , ébranlées suivant une direction normale. On obtient , dans ce cas . des lignes droites nodales , perpendiculaires au sens de la longueur, et qui se correspondent exactement sur les deux faces. — Le calcul s'applique avec succès à la solution de ces recherches. Euler a déterminé de la sorte la position des nœuds de vibration ; Giordano Riccati a rattaché à une seule formule tous les résultats de la question traitée avec une grande généralité (i).

b. Mouvemens de transport suivant la longueur des verges élastiques. — On peut supposer une de leurs extrémités fixe et l'autre libre , ou les deux extrémités libres à la fois, ou au contraire fixées invariablement. Dans le premier cas, les vibrations ont lieu alternativement d'une extrémité vers l'autre , et sont deux fois plus lentes que dans les deux derniers. Les deux extrémités étant libres, la verge présente un nœud de vibration à sa partie moyenne , et les mouvemens de transport se font en sens contraire dans les deux moitiés. Quand les deux extrémités sont fixées, la verge entière est animée d'un mouvevement alternatif dirigé de l'une vers l'autre, et les mêmes points sont alternativement aussi le siège de condensations et de dilatations auxquelles la partie moyenne de la verge reste in-

(i) Voy. M. Biot , Traité de pUysiçroe.

différente. Pour les divisions de la longueur par plusieurs nœuds de vibration, les rapports des sons comparés entre eux restent les mêmes que pour les cordes tendues. Les recherches de M. Savart ont ajouté âc^ résultats importons aux notions précédentes dues aux travaux de M. Chladni : un cylindre de verre, libre dans ses deux extrémités, fixé dans son milieu et vibrant en longueur , présente deux lignes nodales rampant en hélice autour de la surface, et symétriquement disposées de chaque côté du point fixe. Le pas de cette hélice n'est pas constant ; il augmente quand elle se rapproche des extrémités. Si on arrête deux ou un plus grand nombre de points convenablement choisis, les hélices nodales se multiplient et affectent une disposition analogue à la précédente par rapport à. chacun de ces points, véritables rebroussemens de la ligne nodale entière. Si le cylindre est creux , sa surface interne présente des hélices parfaitement semblables ; mais avec cette circonstance particulière que les points de rebroussement sont diamétralement opposés à ceux de la surface externe. M. Savart a retrouvé la disposition en hélice dans les cas où la verge était fixée par une extrémité ou par toutes les deux.

Les fils les plus fins , les cheveux , tendus, ont

donné exactement les mêmes résultats que les cylindres de verre. — Les vibrations longiîudi-

(3o) «aies étudiées dans les verges prismatiques ont présenté des lignes nodales contrairement disposées sur les deux faces , et raccordées par les lignes nodales des tranches. « H ne serait donc « pas impossible que la disposition des nœuds en « hélice fût un caractère général dans les lignes « nodales des vibrations longitudinales; seule- « ment , dans certains cas ( celui des lames un « peu larges), il faudrait admettre la coexis- « tence de plusieurs de ces lignes (i). »

B. Formes courbes.

Une verge élastique courbée en forme de fourche , et vibrant dans un sens transversal , ne peut admettre que la série incomplète et suivante

des nœuds 2,4)5*6,7,8 Les sons correspon-

dans aux deux premiers termes observent le rapport de 4 à 25 , qui n'appartient pas à la loi de tous les autres. Cette loi est représentée par la suite des carrés de 3,4,5,6,7 , dont le premier terme correspond au second de la série des nœuds. Elle est précisément celle d'une verge droite appuyée par ses deux extrémités ; mais les sons de cette dernière sont plus graves que ceux de la même verge recourbée en fourche, dans le rapport de i à 4-

Le son le plus grave des verges annulaires ,

(0 M. F. Savart , foc. cit.

ébranlées perpendiculairement à leup*plàn , suppose quatre nœuds de vibration au moins. Ce nombre commence la série suivante des nœuds * seule possible dans ces formes: 4>6,8,io, 12. ......

Les sons correspondans sont dans les rapports des carrés des nombres 0,5,7,9, 1 1

20 Corps étendus en surface, J, Surfaces planes.

Forme rectangulaire. — a. Pibrailons transversales. Lorsqu'une lame rectangulaire est mise en vibration par le mouvement d'un archet promené parallèlement à sa surface , et dans un sens transversal, il se forme aussitôt sur les deux faces des lignes de repos longitudinales plus ou moins nombreuses, et toujours disposées en sens contraire. Dans le mode de division le plus simple , l'une des faces présente une seule ligne nodale, et l'autre aucune. La direction transversale étant maintenue , si l'on incline l'archet par degrés sur le plan de la lame , la ligne nodale existante se contourne , et une ligne sem*blable , mais contrairement disposée , apparaît sur l'autre face. Lorsque l'angle d'inclinaison a atteint un certain degré, les lignes nodales s'interrompent en plusieurs points, et leurs fragmens se rapprochent insensiblement de l'opposition parfaite qui a lieu lorsque la lame est

ébranlée éans un sens normal ; alors les lignes nodales sont droites et perpendiculaires à la .longueur. Mais , ce dernier cas excepté, quelle que soit la correspondance des lignes nodales , lesmouvemens moléculaires se font toujours en sens inverse sur les deux faces. Celte circonstance est commune aux surfaces de toutes h*s formes. — Sous toutes les inclinaisons possibles de l'archet , le son de la lame reste le même quant au degré ; mais son intensité s'accroît progressivement en passant des vibrations tangentielles aux vibrations normales. — Les nombres de ces vibrations des lames minces rectangulaires , de même nature , sont proportionnels à la largeur. (Il est entendu que cette dimension est toujours la plus petite de celles que présentent les surfaces. ) — b. Plbrations longitudinales. On peut donner à l'archet une direction primitive parallèle à la longueur de la lame , et passer ainsi graduellement du mouvement tangentiel dans ce sens au mouvement normal correspondant. On observe, comme dans le cas des vibrations trans. versales, que les lignes de repos des deux faces sont d'abord dirigées perpendiculairement à la longueur et ne se correspondent pas (i) ; mais , l'archet se redressant, les lignes nodales se modifient ; enfin , elles sont exactement opposées

(i) Yoy. Vibrai, longit. des verges élastiques,

lorsque les vibrations sont normales. L'intensité du son a acquis alors son maximum, mais le degré n'a pas changé. — Les nombres de vibrations des lames minces, rectangulaires, ébranlées suivant leur longueur, sont entre eux comme les carrés renversés de celte dimension, quelle que soit la largeur. — c. Vibrations tournantes. M. Chladni était parvenu à exciter , dans les verges cylindre ques, un ordre particulier de mouvemens qu'il croyait produits par des vibrations circulaires; mais M. Savait , étudiant le phénomène sur des lames minces, a reconnu qu'il était seulement un cas particulier des vibrations normales de ces lames, dans lequel il existe toujours des flexions simultanées suivant leur largeur et suivant leur longueur. Aussi les nombres de vibrations sont-ils alors réciproquement proportionnels aux aires des surfaces. — M. Chladni a observé que , les mêmes verges étant soumises alternativement aux vibrations tournantes et aux vibrations longitudinales , le son est plus grave dans le premier cas, dans le rapport de 2 à 3.

Forme carrée. — Cette forme est un cas particulier de la précédente ; les mêmes résultats sont donc' immédiatement applicables; mais à cause de l'égalité des dimensions, Je nombre des lignes nodales des deux faces et leurs transformations successives sont les mêmes dans les deux sens rectangulaires. Le degré est le même

que celui d'une surface rectangulaire vibrant en longueur, et dont le grand côté égalerait celui du carré ; on peut aussi le regarder comme la limite aiguë des sons d'une suite de lames rectangulaires animées de vibrations transversales , ayant toutes pour longueur le côté du carré , et dans lesquelles la largeur s'accroîtrait graduellement jusqu'à égalité de dimensions.

Les formes circulaires présentent des lignes nodales modifiées pour leur correspondance sur les deux faces , comme il arrive avec des lames rectangulaires , selon que l'archet qui sert à les ébranler est plus ou moins incliné. Ces lignes nodales, selon le lieu de la surface que l'on rend immobile , sont des diamètres, des circonférences concentriques ou des combinaisons de ces lignes. — Les nombres possibles de secteurs égaux formés par des lignes diamétrales étant

disposés dans cet ordre: 4*6,8,10,12 , les

sons correspondans observent les rapports des

carrés des nombres 1, 6/4, 8|4, ,0/4, ,2/4 Les

sons résultant des divisions du cercle par des circonférences concentriques , seules ou combinées avec les divisions en secteurs, ont été rattachés par M. Chladni à une formule empirique , que l'on pourra consulter dans son ouvrage : la traduction en langage ordinaire exigerait trop de détails pour être rapportée ici. — Les degrés des sons des surfaces circulaires

de rayons diffcrens observent entre eux le rapport inverse des surfaces , lorsque le mode de division est le même.

M. Chladni a soumis à l'expérience des surfaces elliptiques , triangulaires ; mais la loi

des résultats n'a pu être saisie et exprimée d'une manière générale.

Tout ce qui précède et concerne les vibrations des surfaces est vrai , quelle que soit la matière qui les compose ; mais il convient de faire observer que l'homogénéité est indispensable à la production régulière des phénomènes vibratoires : lorsqu'on emploie des lames de bois , les lignes nodales ont une tendance marquée à se former dans le sens des fibres ligneuses , et dans le sens rectangulaire à celui-là plutôt que dans les autres (i). — Les membranes tendues se prêtent à tous les modes imaginables de division, et, sous ce rapport, méritent d'être distinguées des surfaces de toute autre nature. Leurs vibrations ont lieu sous tous les degrés possibles de laxité ou de tension, et quelle que soit aussi la vitesse du mouvement moléculaire, qu'il y ait ou non production du son. Pour une

(i) M. Biot pease que la forme cristalline pourrait se déceler par les figures particulières tracées sur les lames cristallisées vibrantes» ( Voyt Annales de phys* et de ch:m»t. t. X/T, )

même vitesse, les lignes nodales se modifient quand la tension change : l'humidité de l'air détermine cet effet d'une manière très-remarquable sur ies membranes de papier (i).

B. Surfaces courbes.

Les surfaces courbes n'ont été l'objet que d'uri petit nombre d'expériences, encore s'appliquentelles au cas le plus simple , à celui des surfaces de révolution. Les cloches pouvant être considérées comme un assemblage d'anneaux soumis au même mode de division , et s'accordant pour la durée de leurs vibrations (la même considération est applicable aux lames minces de forme circulaire ) , les séries des nœuds et des sons trouvées pour ces derniers devront encore se correspondre ici : l'expérience justifie , en effet , cette manière de voir.

3° Corps a trois dimensions.

A. Solides.

J'ai dit précédemment qu'une verge prismatique ébranlée dans le sens de sa longueur , et tangentiellement à une de ses faces, présentait des lignes nodales disposées d'une manière alter-

(i) M. Savart pense que cette propriété pourrait faire employer avec avantage les membranes de papier , pour indiquer les variations les plus légères de l'état hygrométrique de l'air» ( Voy. Annales de phys, et de chim., t. XXVI.)

( 37 ) native, comme dans le cas des lames minces, et qui passaient de cette face à celle qui lui est opposée par des lignes nodales formées sur les tranches. Mais, eu égard à la ténuité des molécules matérielles, les lames les plus minces peuvent être considérées comme offrant trois dimensions , et sans doute sont soumises aux mêmes divisions de toute leur épaisseur par des surfaces de repos. Il est donc indifférent, sous ce rapport, de prendre pour épaisseur l'une des trois dimensions de la verge prismatique. Si l'on observe les vibrations sur la face perpendiculaire à cette épaisseur conventionnelle, les résultats , quant au nombre et aux transformations des lignes nodales, devront être les mêmes que s'il s'agissait d'une lame mince de même surface. — Les expériences sur les corps solides sont fort peu multipliées , et les questions que ce cas présente attendent encore une solution mathématique qui embrasse toutes les circonstances d'un problême si compliqué.

B* Corps sonores gazeux.

Les fluides aériformes , diversement limités, représentent de véritables corps sonores , susceptibles d'offrir des surfaces nodales , dont il convient d'étudier la disposition , le nombre et la succession. Dans les tuyaux cylindriques et prismatiques, ébranlés à plein orifice, elles sont planes, équidistanfes et perpendiculaires à

la longueur. Dans les tuyaux à cheminée qui re'sulient de l'assemblage de deux tuyaux cylindriques de diamètres differens , la disposition des nœuds est la même dans chaque partie que dans les cylindres d'un diamètre uniforme. La seule distance des nœuds entre lesquels tombe le point de jonction des deux cylindres est différente ; elle dépend du rapport des longueurs et de celui des diamètres des cylindres composans. Pour les tuyaux coniques , le calcul apprend que les distances du sommet à la première concamération (ventre de vibration), et de toutes ]es concamérations entre elles , sont égales ; les nœuds sont , au contraire , inégalement éloignes , mais d'autant moins que la colonne d'air se divise en un plus grand nombre de parties vibrantes.

Le calcul donne le rapport des sons qui conviendraient à des gaz differens compris dans des tubes de même longueur; mais le résultat est compliqué de l'influence de l'embouchure et du dégagement de chaleur par la compression , dégagement qui paraît varier avec l'espèce des gaz employés , et modifier les résultats de l'expérience directe ; aussi ces derniers ne sont-ils point immédiatement comparables. Si on néglige les effets de ces causes, le rapport des nombres de vibrations se trouve très-simplement exprimé par le rapport inverse de la racine carrée des

densités. Les gaz oxygène, acide carbonique. :?! se prêtent à cette hypothèse ; mais le gaz hydrogène s'en éloigne très-sensiblement , d'après M. Chladni. — Le calcul (i) et l'observation ont été appliqués à l'examen du cas de deux fluides superposés dans un même cylindre : lorsque, dans un cylindre ouvert dans les deux bouts, les longueurs des fluides sont entre elles comme les vitesses du son qui leur correspondent , le son que l'on obtient est du même degré que celui d'un pareil cylindre rempli de l'un des deux fluides , mais d'une longueur double de celle qui existait d'abord. Dans tous les cas, les sons diffèrent beaucoup de ceux qui auraient lieu si les fluides gazeux étaient mêlés.

La loi des vibrations d'un même fluide gazeux n'a encore été saisie que partiellement. Les expériences de Bernouilli , de MM. Chladni et Biot , et plus récemment encore celles de M. Savart , ont seulement fait connaître les circonstances variables de cette recherche et les lois particulières qui s'y rapportent. Les variétés des résultats , pour une même forme de la masse fluide , sont relatives à la longueur combinée avec le degré d'ouverture ou d'occlusion des extrémités, au diamètre, à l'embouchure, à la matière du biseau et à celle des parois du

■ ■>'■ i i——— w-^ r i il i ^

(i) M. Poisson, Annales de phvs, et de chim. , t. VIL

tuyau , enfin à la vitesse du courant qui sert à l'ébranlement sonore.

i° Un tuyau cylindrique ou prismatique d'un petit diamètre, fermé à l'une des extrémités et ébranlé à plein orifice , peut faire entendre une suite de sons exprimés par i, 3, 5, 7,9,.... auxquels correspondent des divisions de la longueur par o , 1, 2, 3, 4 surfaces nodales.

Ces progressions et les valeurs absolues des sons restent les mêmes pour des tuyaux coniques et pyramidaux de même longueur que les premiers (1). M. Cbladni rapporte, au contraire, que de trois tuyaux de même longueur et de forme cylindrique , convergente et divergente, le second rend des sons un peu plus aigus, et le dernier des sons un peu plus graves que le cylindre. — Lorsque les tuyaux cylindriques et prismatiques sont ouverts à leurs deux extrémités , la série des nœuds devient 1 , 2 , 3 , 4 » 5 ,.... et la série correspondante des sons 1, 2, 3, 4» 5,.... en représentant par l'unité le son le plus grave de ces tuyaux ; ou bien ,2, 4» 6, 8, 10,.... en partant du son fondamental du tuyau fermé à une seule extrémité. L'influence de l'ouverture des extrémités des tuyaux de forme conique et pyramidale agit dans le même sens ; mais elle est plus considérable , et ses effets sont d'autant

«■— mmm ■ 11 111 111 11 1 1 11 1 1

(i)M. Biot, loc. cit.

plus sensibles que les diamètres des extrémités sont plus inégaux , la longueur restant la même. M. Savart a trouvé une différence de deux octaves entre les sons correspondans d'un pareil tuyau alternativement ouvert et fermé. — Enfin , le son le plus grave d'un tuyau cylindrique presque fermé dans ses deux extrémités est , au son fondamental d'un même tuyau fermé dans une seule, selon le rapport de i à 2 (i)f

2° Les lois précédentes établissent une proportionnalité entre les longueurs des ondes sonores et les nombres de vibrations; mais, ainsi que je l'ai dit , elles ne sont vraies que pour des tuyaux d'un petit diamètre ; ou mieux , elles ne sont que l'approximation d'une loi plus générale dont l'expression admet sans doute une simplification lorsque le diamètre est au-dessous d'une certaine limite: M. Savart a observé qu'un tuyau de i56 lignes de longueur et 07 lignes de diamètre a pour octave aiguë le son d'un tuyau de même diamètre et d'une longueur de 63 lignes seulement , au lieu de 78 qu'exigerait la loi de proportionnalité. En comparant des tuyaux dont les diamètres avaient i5 , 37, 54 , 72 , 78 , 96 et 125 lignes, il a trouvé que le même son rendu par chacun d'eux exigeait des longueurs correspondantes de 170, i56, 144» J32, 128, 127 et 1 * , . 1

(1) M, F. Savart, Annales de phvs. et de chim., t. XX JV.

5)0 lignes ; par où l'influence des diamètres est évidente (i), mais la relation de ces nombres est difficile à apercevoir. Si l'on compare, au contraire , une suite de tuyaux ayant leurs dimensions proportionnelles, on trouve que les nombres de vibrations observent le rapport inverse des dimensions linéaires homologues (2). Cette loi très- simple a été éprouvée sur des tuyaux sphériques , cylindriques , prismatiques

à base carrée, triangulaire , embouchés de

diverses manières.

3° L'influence de l'embouchure n'est pas la même pour des tuyaux de longueurs différentes: dans une suite d'expériences sur des tuyaux d'orgues dont l'embouchure était xk de la surface de leurs bases, Bernouilli a trouvé cette influence d'autant plus remarquable que les tuyaux étaient plus courts. L'effet de l'embouchure partielle est d'exiger pour un même son une plus grande longueur des tuyaux, que lorsque l'ébranlement a lieu à plein orifice. La différence dont il s'agit est donnée par celle des abscisses et des ordonnées correspondantes d'une hyperbole qui peut se construire sur les résultats des expériences citées de Bernouilli (3). Pour un même tuyau d'orgue,

(1) M. Chladni admet que le diamètre n'a d'influence que sur l'intensité du son.

(2) M. Savait, Annales de phys. et de chim. , t. XXIX.

(3) M. Biot, lue. cit.

l'ouverture de la lumière ayant les valeurs proportionnelles suivantes : 66 ; 36,5 ; 26 ; 20,0 ; i6,5 ; ... . 3,8 ; les sons obtenus étaient dans les

rapports de 1 , 3, 5 , 7, 9 , 1 1 zp» dans des

expériences de M. Biot. — Les tuyaux prismatiques à base carrée ont été l'objet des recherches particulières de M. Savart : un tuyau de cette forme , fermé à une extrémité , étant embouché dans toute la longueur de l'un des côtés de l'autre extrémité , le son passe à un degré plus grave d'une sixte et même d'une septième par le rétrécissement gradué de l'embouchure. Il semble même que, pour une masse d'air cubique , cette différence serait d'une octave si l'ébranlement pouvait se faire par l'un des angles. Les prismes carrés , embouchés dans 1oute la longueur d'un côté des bases , et dont les dimensions conservent de telles proportions que les faces rectangulaires aient la. même superficie , émettent identiquement le même son , tant que la longueur de ces faces n'excède pas six fois leur largeur : au-delà de ce terme , le degré baisse d'autant plus, que la longueur augmente davantage. Entre les sons pris à l'origine de deux séries pareilles , le rapport du degré est inverse de celui de la racine carrée des faces rectangulaires ; mais lorsque la longueur des tuyaux égale au moins douze fois la largeur, le rapport des sons devient sensiblement réciproque à celui de la longueur

seule , comme dans le cas d'ébranlement à plein orifice des tuyaux étroits. Lorsque, le mode d'ébranlement étant le même que celui des tuyaux d'orgues , on amène l'embouchure de l'extrémité du prisme vers le milieu de sa longueur, le degré du son s'accroît d'un intervalle d'autant plus grand , que le tuyau prismatique est plus allongé. — La disposition des surfaces nodales est aussi influencée par les modes d'embouchure : un prisme carré , fermé à ses deux bases et embouché dans toute la longueur d'un côté de celles-ci , présente une surface nodale cylindrique , parallèle à ce côté , et ayant des bases elliptiques , dont les grands axes sont constamment représentés par les diagonales qui aboutissent aux extrémités de l'embouchure et qui sont situées dans les plans perpendiculaires à cette dernière. Le petit axe de ces ellipses n'est que la moitié de la longueur de la seconde diagonale des mêmes faces , dans le cas particulier du cube ; il est beaucoup plus petit encore quand le prisme s'allonge.

4° M. Savart a reconnu l'influence de la matière du biseau sur le degré : lorsque le biseau est membraneux, l'accroissement de sa tension augmente l'acuité des sons.

5° La vitesse du courant d'air a une influence dans le même sens , mais plus notable , principalement dans les tuyaux courts : cette seule

(45) cause peut déjà faire varier le son dans l'étendue d'une quinte, lorsque les trois dimensions sont égales ; mais son action s'étend bien plus loin pour quelques formes particulières , par exemple , pour un cylindre ayant un diamètre plus grand que la hauteur , et dont les bases sont percées d'une ouverture centrale assez étroite. Dans ce cas , les sons possibles comprennent un intervalle de deux octaves. — Lorsqu'un tuyau d'orgue est armé d'une double embouchure , le son ne change pas, quant au degré, mais il acquiert une rondeur et un éclat remarquables (i). — II paraît indifférent que le courant d'air et le biseau aient une direction ou une autre.

6° La matière des parois a une influence bien évidente sur le timbre des sons ; la même cause et les variétés d'épaisseur font varier le degré. Dans une expérience de M. Savart sur deux tuyaux égaux , dont les parois avaient dans l'un douze et dans l'autre deux épaisseurs de papier, la différence des sons était d'une octave ; le son le plus grave était rendu par le tuyau à minces parois. Les ventres de vibration de l'air déterminaient, sur les surfaces de ces tuyaux, des lignes nodales qui leur correspondaient exactement , et qui se dessinaient avec netteté lorsque les sons devenaient plus aigus.

(i) M. Savart, Annales de phys. et de çhim., t, XXXIL

Le mécanisme des inslrumens à vent est fonde sur la connaissance des lois de l'air en vibration. M. Savart a fait une heureuse application de ses recherches à la construction des orgues (i) , et sans doute les perfectionnemens qu'il indique seront accueillis des beaux-arls. — Le mécanisme de la formation de la voix, étudié par Ferrein ,

Dodart, Yicq-d'Azyr, a été expliqué par eux

d'une manière inexacte ou incomplète ; les nou* veaux secours fournis par l'acoustique permettent de fonder une opinion plus vraisemblable (2) : l'air expulsé des poumons traverse le larynx et met en vibration celui que renferment ses ventricules. Le son ainsi produit est renforcé par sa propagation dans le tuyau membraneux et conique qui surmonte le larynx, et que composent l'arrière-bouche et la bouche. L'influence de la vitesse du courant d'air, favorisée par la forme particulière du larynx ; celle de la nature membraneuse des parois , qui sont susceptibles d'une variété infinie dans le degré de leur tension ; l'influence du degré d'ouverture de la glotte et

de la bouche, expliquent, d'une manière

plausible, la facilité du larynx à parcourir un intervalle de sons fort étendu par des nuances insensibles. Chez les oiseaux , la double embou-

(1) M. Savart, Annales de phys. et de chim,, t. XXIX.

(2) M» Savart , Annales de phys. et de chim. , t, XXX,

(47) chure de l'organe de la voix donne à leur chant une intensité qui n'est point en rapport avec le volume de leur corps. L'extrémité supérieure de leur trachée est en même temps susceptible d'un léger rétrécissement , nouvelle cause d'altération dans le degré des sons.