CHapitRe ['.— De l’arithmétique pure ou de la théorie des nombres

et de ses haisons avec la théorie des combinaisons et de l’ordre. Page

CnariTRE IT. — De l'application des nombres à la mesure des grandeurs continues. — Conséquences du choix arbitraire de l’unité.

— Origine des valeurs fractionnaires et incommensurables. . ....

CapirRe III. — De l’emploi des nombres et des grandeurs continues pour la détermination des rapports de situation. — Conséquences du choix arbitraire de l’origine pour les grandeurs à ori-

gine arbitraire. — Origine des valeurs HéSAIVÉS ee dE see

CuapirRe IV. — De l’algèbre et de ses rapports avec la théorie de

Pordre. — Origine des valeurs imaginaires............ L L'ÉSERR

Cuaprrre V. — Considérations générales sur la traduction des problèmes en algèbre. — De la multiplicité des solutions et de l’asso-

ciation ou de la dissociation algébrique des solutions multiples. . .

Cuaapirre VI. — De la traduction en algèbre des problèmes de géométrie. — Comparaison entre la géométrie et l’algèbre, quant à la multiplicité des solutions, à l’association ou à la dissociation des solutions multiples. — Des lieux géométriques et de l'application

de Palgèbre à la géométrie par la méthode des coordonnées. ....

Cuaprirre VII. — De la représentation graphique des liaisons entre les

grandeurs continues. — Notions sur la théorie des fonctions....

CnaptTRE VIIT. — Des courbes géométriques et algébriques. — De la géométrie analytique proprement dite, et de la corrélation fonda-

mentale entre la géométrie.ét l’algèbre................. bte

Cuarrrre IX. — Des caractères génériques des surfaces et des lignes. — Causes de désaccord entre la géométrie et l'algèbre, quant à

létendaides défiition RE M M lue MR ....

Le VIN TABLE DES CHAPITRES,.

Cuaprrre X. — De l’application directe et indirecte de la géométrie analytique aux questions d’analyse déterminée. — Origine du

désaccord entre la géométrie et l’algèbre dans l’application indi-

HÉVIES Le ST UT TA PO STATE ASE

CuaprrRe XI. — De la méthode trigenométrique et de la discussion

des lieux algébriques par les coordonnées polaires. ......... La

Cuaprre XII. — De la multiplication et de la division des ares. — Analogie des fonctions exponentielles et circulaires. —- De la re-

présentation graphique des valeurs imaginaires................

Caaprrre XIII. — Notions sur les principes du calcul infinitésimal. — Des problèmes de quadrature et de cubature. — Origine du désaccord entre la géométrie et l'algèbre dans les problèmes de

ce SEnre.. ss... ao one ele User tes aol ss atfe esse se stelsiotsle oise

CuapirRe XIV.— De la rectification des courbes et de la quadrature des surfaces de révolution. — De la détermination des lieux

des centres de gravité.......... CA EAU ER) Ru JA SERRE

Cuarrrre XV. — Des divers ordres de solutions de continuité. —

De l’origine et des solutions de continuité des fonctions transcen-

ADS RMI MAMII LS de SUEMERIELE ELUETES OR DER EMANIRES Cuaprrre XVI. — Considérations générales sur le système des mathématiques. — Résumé.... ........ TR EEE Redon Min EE

DE

DE L' ARITHMÉTIQUE PURE OU DE LA THÉORIE DES NOMBRES, ET DE SES LIAISONS AVEC LA THÉORIE DES COMBINAISONS RT DE L'ORDRE.

#. Nous acquérons l’idée de rombre dès que nous commençons à nous rendre compte de nos perceptions, à démêler des objets distincts et semblables, à observer le retour des mêmes phénomènes ou de phénomènes analogues. Quand même l’homme, privé de ses sens où de certains sens, n'aurait pas la connaissance des objets extérieurs, si, d’ailleurs, ses facultés

intellectuelles n'étaient pas condamnées à l’inaction,

on conçoit que l'idée de nombre pourrait lui être suggérée par la conscience de ce qui se passe en lui, par l'attention donnée à la reproduction des mêmes affections et des mêmes actes.

En nous formant l’idée abstraite de nombre, nous sentons bien que cette idée n’est pas une fiction arbitraire , une création artificielle de l'esprit, faite pour la commodité de nos recherches, comme le serait l'idée de corps parfaitement rigides ou fluides, ou l'idée d'un genre, d'une classe, dans tel système artificiel de classification. Lorsque nous étudions les propriétés des nombres, nous croyons, et avec fondement, étudier certains rapports généraux entre les choses, certaines lois ou conditions générales des phénomènes : ce qui n'implique pas nécessairement que toutes les propriétés des nombres jouent un rôle dans l'explication des phénomenes , ni à plus forte raison que toutes les circonstances des phénomènes ont leur raison suprême dans les propriétés des nombres, comme certains esprits spéculatifs ont eu du penchant à le croire dès la plus haute antiquité, et lorsque la vraie théorie des nombres était dans l'enfance.

L'esprit ne peut travailler sur les idées de nombres, pas plus que sur toutes les idées abstraites, qu’à l’aide d'images sensibles ou de signes conventionnels. Mais en obéissant à eette loi de notre nature, nous comprenons que l'idée, le rapport ou la vérité intelligible est en soi tout à fait mdépendante de l’image ou du

signe sensible que nous lui donnons pour support : de telle sorte qu'il n'y aurait nulle contradiction à supposer que des intelligences autrement faites atteignissent directement l'idée ou la vérité intelligible, sans

le secours de l'image ou du signe.

2. Des images sensibles, telles que des traits ou des points, ne pourraient servir à fixer l'idée que des nombres les plus simples : bientôt l’image deviendrait confuse, indiscernable; et il y a nécessité de recourir à des signes conventionnels, régulièrement construits d'après une loi systématique, qui permette d'exprimer tous les nombres possibles, de manière que la loi de construction du signe soit adéquate à la loi de génération de l’idée. Tel est l’objet de la rumération dont l'enfant apprend l’ébauche avec les éléments de la langue , et dont l'explication raisonnée doit passer avant toute autre chose dans l’ordre de l'enseignement scientifique. Mais, au fond, cette explication repose déjà sur la connaissance des propriétés fondamentales des nombres, et il conviendra mieux à notre but de considérer ces propriétés directement et indépendamment de la loi des signes dont nous avons fait choix pour représenter les nombres.

5. Un nombre est une collection ou un groupe d'unités décomposable en d’autres groupes, ou susceptible d’être formé de diverses manières par la réu-

nion d'autres groupes. De la les idées de l'addition et de

la soustraction des nombres , idées si simples qu'il suffitde les indiquer : de là ces jugements dont quelquesuns servent de citations proverbiales, et qui consistent à reconnaître l'identité des mêmes nombres obtenus de diverses manières par l'addition ou la soustraction . de nombres différents.

La décomposition du groupe total en groupes partiels peut avoir lieu sans ordre ni régularité apparente ; mais elle deviendra régulière , et même la règle de décomposition sera aussi simple que possible, si chacun des groupes partiels ou composants contient le même nombre d'unités. Soit un groupe a composé de m groupes , de 2 unités chacun : il est clair qu'on peut prendre une unité dans chacun des » groupes pour en former un nouveau groupe'de 77 unités , et répéter n fois cette opération, de manière à transformer le système primitif dans le système de » groupes de m unités chacun. On peut donc indifféremment considérer le nombre &« comme formé par le nombre x répété 7» fois, ou comme formé par le nombre 72 répété n fois. Les nombres 2 et x sont appelés pour cette raison les facteurs du nombre a, et l'on dit que a est le produit des nombres 77 et 7. Ceux-ci peuvent à leur tour admettre des facteurs qui seront aussi facteurs du produit-a. On dit encore que à est un rultiple des nombres 77 ou n, et que ceux-ci sont des sousmulüples, des diviseurs où des parties aliquotes du

nombre «.

De là cette distinction capitale dans la théorie des nombres, entre les nombres décomposables en facteurs , et ceux qui n admettent pas de facteurs proprement dits, ou de facteurs autres que l'unité, et qu’on nomme nombres premiers.

Cette distinction est absolue : mais, si l’on considère deux nombres, on dira qu’ils sont ou qu'ils ne sont pas premiers entre eux, selon qu’ils n'admettent pas de diviseurs communs ou qu'ils en admettent.

Les nombres se rangent en deux catégories et jouissent de propriétés différentes, suivant qu'ils sont pairs ou impairs, c'est-à-dire suivant qu'ils ont ou qu'ils n ont pas pour diviseur 2, le plus simple des nombres après l'unité. En suivant l’analogie, on distinguera de même des nombres de trois classes ou de trois formes, suivant qu'ils sont divisibles par 3, ou bien suivant qu'ils donnent pour reste 1 ou 2, après qu'on en a retranché le plus grand multiple de 3 qu'ils contiennent. En général, quand on prend pour base de classification un certain nombre fondamental », qui porte aussi le nom de rnodule, les autres nombres se distribuent en autant de classes ou de formes qu'il y a d'unités dans »2 : une classe comprenant les nombres divisibles par 2, une autre comprenant les nombres qui donnent l'unité pour reste ou pour résidu, après qu'on en a retranché le plus grand multiple de x qui Sy trouve contenu; une troisième comprenant

les nombres qui donnent 2 pour résidu apres ce re-

tranchement, et ainsi de suite. Il est évident que les multiples d’un même module, ou plus généralement que les nombres qui donnent le même résidu par rapport à ce module, reviennent périodiquement ou à intervalles égaux dans la série ascendante des nombres,

OT D etc

tandis qu'il a été impossible jusqu'ici d'apercevoir, et qu'il n'existe probablement pas une loi régulière qui exprime l’ordre suivant lequel apparaissent dans cette

série les nombres premiers consécutifs 152,900, 1410810, 113 100 16IC:S

ce qui fait l'une des grandes difficultés de la théorie des

nombres.

4. Pour mettre de l'ordre dans tout assemblage d'objets individuels, pour les classer d’après leurs rapports naturels ou d’après certaines vues de notre esprit, l’on est toujours conduit à former d’abord certains groupes d'individus ou d'unités, puis à former avec ces premiers groupes des groupes supérieurs ou de second ordre, avec les groupes de second ordre des groupes de troisième ordre, et ainsi de suite. Supposons, ce qui est le cas le plus simple, que tous les groupes de premier ordre comprennent le même nombre x d'unités; que tous les groupes de second ordre

comprennent le même nombre p de groupes de pre-

mier ordre; que tous les groupes de troisième ordre comprennent le même nombre 4 de groupes de second ordre, et ainsi de suite. Le nombre total des unités du système sera le produit des nombres », p, g, etc. Maintenant, pour que la loi du système atteigne la plus grande simplicité , il faut considérer le cas spécial où les nombres 7, p, q, etc., seraient tous égaux entre eux; de sorte qu'un seul nombre » donnerait l'échelle ou la clef du système. Alors le nombre d'unités comprises dans un groupe de second ordre serait le produit de x par x, ce qu'on nomme la seconde puissance où le carré du nombre n; le nombre d'unités comprises dans un groupe de troisième ordre serait la éroisième puissance ou le cube du nombre 7; en général, le nombre de groupes de l'ordre /*, compris dans un groupe supérieur de m°" ordre, serait une pussance de n, d'un degré marqué par la différence entre les nombres "» et /; et le nombre indiquant ce degré est ce qu’on nomme l'exposant de la puissance.

A la notion de puissance correspond celle de racine. La racine carrée de x est le nombre dont le carré ou la seconde puissance est 7; la racine 72" de n est le nombre qui a pour 77°" puissance le nombre #2. On dit en pareil cas que le nombre »2 est l’ëndice de la racine.

Dans la série ascendante des nombres, on peut

considérer à part les nombres carrés, cubiques, etc.;

et ces nombres jouiront de propriétés caractéristiques, absolues ou relatives à d’autres séries de nombres déjà considérées. Par exemple, la série ascendante des nombres impairs

1, 3, 5, 7, 9, 11, etc.,

engendre la série ascendante des nombres carrés

1040002500 1etLe

en ce sens que chaque nombre ou terme de la seconde. série est la somme du terme de même rang et de ceux qui le précèdent dans la première série : loi simple et qui trouve son application, sa réalisation physique (4) dans,le phénomène de la chute des graves. La raison de cette loi ou sa démonstration sont aisées à trouver : mais, si l'on voulait démontrer cette autre propriété curieuse, et jusqu ici sans application dans l'ordre des phénomènes, à savoir qu'on peut toujours former un nombre quelconque, non carré, en prenant la somme de deux nombres carrés, ou de trois, ou de quatre au plus, il faudrait recourir à des raisonnements beaucoup plus compliqués, et qui ont exercé de grands géomètres. De nos jours, la théorie des propriétés des nombres est devenue une science aussi vaste que difficile, cultivée par quelques esprits spéculatifs avec cet attrait qui naît de la difficulté même.

Un tel corps de doctrine ne dépend en rien du sys-

téme de numération parlée ou écrite. A la rigueur, on

conçoit quil aurait pu se former en l'absence de tout système de numération régulière et sans la connaissance de nos procédés d’arithmétique vulgaire : bien qu’en fait, et conformément d’ailleurs à la direction naturelle de l'esprit humain, une numération systématique, une arithmétique appropriée aux besoins du commerce et de la vie civile aient précédé de beaucoup ces spéculations abstraites sur les nombres, qui bientôt s'éloignent, ou du moins, dans l’état de nos connaissances, semblent s'éloigner de toute application immédiate aux autres sciences spéculatives, et à plus forte raison aux choses qui nous intéressent dans la pratique.

Dans ce genre de recherches, et pour raisonner sur des propriétés qui appartiennent à tous les nombres en général, ou à tous les nombres d'une certaine forme ou catégorie, 1l serait bon d'avoir des signes conventionnels, dépourvus d’une valeur numérique déterminée, et par exemple d’affecter à cette désignation ‘conventionnelle les lettres de l'alphabet, comme nous l'avons fait dans les rapides indications qui précèdent. 11 serait bon aussi d’avoir des signes très-simples, tels que certains hiéroglyphes, pour indiquer brièvement que l’on prend la somme, ou la différence, ou le produit de deux nombres ; que deux nombres sont égaux ; qu un nombre est le carré ou le cube d’un autre, etc. Mais ces notations abrégées , hiéroglyphiques n'au-

raient rien d'essentiel à la science des nombres dont

elles seraient seulement destinées à faciliter l'étude : bien qu'elles pussent contenir le germe d'une autre doctrine, comme nous l’expliquerons en son lieu. Provisoirement, nous emploierons dans l’occasion les

signes de cette espèce

+, —, —, etc.,

que l'usage a consacrés, et que nous pouvons sup-

poser connus de tous nos lecteurs.

ÿ. Notre numération décimale, dans l'exposition de laquelle il serait, à plus forte raison, inutile d'entrer ici, implique évidemment les notions élémentaires que l'on vient de rappeler : celles de puissances, de facteurs, de restes ou de résidus. Les groupes ou unités d'ordres supérieurs sont les puissances successives du nombre 10, base de la numération; le nombre à exprimer est décomposé en multiples de ces puissances successives , auxquelles s'ajoute un reste moindre que 10; et par ce mode de décomposition, on met en évidence les restes qu'on obtiendrait si l’on retranchait du nombre proposé, non-seulement le plus grand multiple de 10, mais le plus grand multiple de toute autre puissance de 10 contenue dans ce nombre.

Sur l'algorithme de la numération décimale sont fondées les quatres règles si connues, qui ont pour objet l'addition, Va soustraction, la multiplication et la divi-

sion des nombres exprimés dans le système décimal. Mais il est clair que la numération, opération préalable à celle même de l'addition, n'est pas autre chose qu'une division dans laquelle figurent comme dividende le nombre à exprimer, et comme diviseurs, le nombre 10 et ses diverses puissances.

On a coutume de dire, dans les éléments, que la multiplication et la division ne sont qu’une addition et une soustraction abrégées, etalors on ne voit plusbien pourquoi la multiplication et la division ne s'abrégent pas à leur tour; pourquoi quatre opérations fondamentales plutôt que deux, ou six, ou huit? Mais c'est qu'au fond ces quatre opérations, la première comme la dernière, impliquent les mêmes idées fondamentales, idées puisées dans la nature des nombres, indépendamment de tout système de notation, et qui ne changeraient pas, dont le nombre ne serait ni réduit ni augmenté, quand on changerait de système de notation, ou quand, sans en changer, on simplifierait ou perfectionnerait les procédés de calcul appropriés à la construction de ce système artificiel.

Il ÿ a une règle spéciale pour trouver la racine d’un nombre donné, et il n’y en a pas d’autre que la multiplication ordinaire pour élever un nombre donné à ses diverses puissances. La symétrie observée pour les quatre règles précédentes se trouve en défaut : ce qui n empêche pas que la théorie des nombres, dégagée

de tout ce qui tient à des artifices de calcul, ne nous

ee

EPS

offre entre les termes de puissance et de racine une correspondance analogue à celle qui subsiste entre les termes de multiple et de diviseur.

On dit encore que toutes les opérations de l’arithmétique se ramènent à quatre ou à cinq opérations fondamentales, en comptant comme cinquième opération celle de l'extraction des racines : mais cela repose toujours sur une confusion d'idées. Prenons pour exemple la règle dont l’objet est de trouver le plus grand diviseur commun à deux nombres : cette règle est un

théorème sur les nombres, qui ne dépend en aucune

façon du système de numération, et qui subsisterait, de

quelque manière que l’on s’y prit pour effectuer les divisions successives indiquées par cette règle, lors même qu on ne saurait les faire que par tâätonnements, et qu'on n'aurait pas inventé la règle de division, appropriée à la numération décimale. Or, il en est de ce théorème comme de tout autre qui porte sur les propriétés absolues des nombres : il ne peut offrir qu'une combinaison des idées primitives immédiatement liées à la notion de nombre.

Dans l'arithmétique ordinaire, telle qu'on l'enseigne et qu'on doit l’enseigner aux commencants, se trouvent continuellement mélangées des règles et des théo-

ries qui n'ont ni la même valeur, ni la même origine :

les unes portant sur les propriétés essentielles et abso-

lues des nombres; les autres se référant à la loi des

signes artificiels auxquels nous avons recours pour

représenter les nombres. Cette confusion qui ne gêne pas l'exposition didactique, doit être signalée dans l'exposition philosophique dont le but, comme l’a parfaitement exprimé Bertrand de Geneve *, «est de bien distinguer, dans les idées que nous nous faisons des choses, ce qui appartient aux choses mêmes, de ce qui n appartient qu à la manière dont nous pouvons

et voulons les envisager. »

6. A côté de l’idée de nombre se placent dans l’entendement les idées non moins générales, non moins abstraites, non moins nécessäires de combinaison et d'ordre; et la théorie des nombres à d'étroites connexions avec celle des combinaisons et de l’ordre. On trouve dans toutes les langues une série des nombres ordinaux, parallèle à la série des nombres purs ou cardinaux. L'emploi des nombres pour indiquer l'ordre est tout aussi primitif, tout aussi fondé dans la nature des choses et dans les lois de la pensée, que l'emploi des nombres pour mesurer les grandeurs continues, sur lequel porteront les remarques du chapitre suivant.

Dès les premiers pas que l’on fait dans la théorie des combinaisons, on en voit la liaison avec les notions fondamentales de la science des nombres. Supposons,

pour prendre l'exemple le plus simple, qu'un chimiste

* Développement nouveau de la partie élémentaire des mathéma-

tiques. Chap. 1, n° 5.

ag

veuille essayer toutes les combinaisons des acides en nombre 77 avec les bases en nombre » : il sera assuré de n’en omettre aucune, si, après avoir distingué par des numéros d'ordre ses acides et ses bases, il combine successivement la base n° 4 avec chacun des acides; puis la base n° 2 avec chacun de ces mêmes acides, et ainsi de suite. Mais par là même on voit que le nombre des combinaisons à faire, ou du moins à essayer, est égal au produit rn. Le résultat ne devrait pas changer, si l’on avait opéré dans un autre ordre, en combinant d'abord l'acide n° 4 avec chacune des bases, puis l’acide n° 2 avec chacune de ces mêmes bases, et ainsi de suite. Donc, d'après la considération des combinaisons, le produit 2m est identique au produit nn, conformément au théorème fondamental démontré au n° 2, par un tour de raisonnement évidemment tiré de la considération de l’ordre. On démontrerait de même indifféremment, par la considération des combinaisons ou par celle de l'ordre, que le produit mnp.. ne Change pas, dans quelque ordre qu'on opère les multiplications successives.

Soient des objets quelconques en nombre », à combiner entre eux, et pour fixer les idées, désignons-les par les lettres

1} (CAOEEURE À

Pour épuiser les combinaisons deux à deux ou les com-

binaisons binaires dont ces objets ou éléments sont

susceptibles, on pourra combiner l'élément a avec chacun des m—1 éléments d,c,... k, l, puis l’élément à avec chacun des m—1 éléments à, c,... k, L, et ainsi de suite : ce qui donnera en tout un nombre de combinaisons exprimé par le produit 72 (m— 1), Mais de cette manière il est évident qu'une même combinaison (celle de « et de à, par exemple) aura été obtenue deux fois, savoir quand on a combiné b avec a, puis quand on a combiné a avec b : donc le nombre des combinaisons binaires distinctes est la moitié du produit #2 (m—1).

Les combinaisons trois à trois ou ternaires seront épuisées, si l’on associe successivernent chaque combinaison binaire (ab) avec chacun des n—2 éléments c,.. k, &. Par là, on obtiendra trois fois la même combinaison (abc), savoir en combinant (ab) avec c, (ac) avec d, et (bc) avec a : donc le nombre des combinaisons ternaires distinctes est le quotient qu’on obtient quand on divise le produit #2 (m—1)(m—2) par le produit des nombres 2 et 3.

Sans avoir besoin de pousser plus loin ce raisonnement, on voit que le nombre des combinaisons distünctes entre 77 éléments, pris z à », est le nombre

qu on obtient au quotient, quand on divise le produit m(m—1)(m—2)... (mn +1) [M]

par le produit 2 Ours

que l’on préfère écrire sous cette forme 152262n0077200 [N]

afin que les facteurs soient en nombre z au dividende comme au diviseur : les facteurs du dividende composant lasuite descendante des nombres, de nm à m— n+1 inclusivement , tandis que les facteurs du diviseur composent la suite ascendante des nombres, de 1 à » inclusivement.

Si la loi arithmétique des nombres [M] et [N] nous était donnée, indépendamment de toute application à la théorie des combinaisons, il serait aisé de prouver par la pure arithmétique que le second des deux nombres divise nécessairement le premier ; mais ce théorème d’arithmétique peut aussi être censé démontré par les raisonnements qui précèdent, et en vertu de la loi de formation des combinaisons, exposée ci-dessus : ce quinous fait comprendre comment, dans des cas plus compliqués , la théorie des combinaisons peut venir au secours de l’arithmétique, et fournir la démonstration la plus naturelle et la plus simple de certaines propriétés des nombres. C'est ainsi que , dans les sciences qui ont pour objet les conceptions abstraites de la raison, comme dans celles qui embrassent le monde sensible, les diverses théories s’enchainent par des liens, tantôt apparents, tantôt cachés, et s'appliquent fréquemment les unes aux autres, avec profit pour le per PÉTICMNSE

ment et l'extension de nos connaissances.

7. Si l'on associait à l’idée pure de combinaison celle de certains rapports d'ordre ou de situation , tellement que la combinaison £a ne düt plus se confondre avec ab, les 77 éléments fourniraient m(m—1) combinaisons binaires, #{m—1)(m—2) combinaisons ternaires, et en général un nombre de combinaisons x à n exprimé par le produit [M]. Il suit de là que le produit [N] exprime le nombre de toutes les permutations possibles entre z éléments. C'est ce qu'il est facile de prouver par un raisonnement direct, qui nous confirmera d’ailleurs dans l'idée que la théorie des permutations et de l’ordre en général n'est au fond que la théorie des combinaisons, traitée d'un autre point de vue.

Supposons, dans un ordre quelconque , "7 places déterminées (désignées , si l'on veut, par les n° 1, 2, 3,.../n), et donnons-nous deux éléments à placer; a et b. On épuisera tous les arrangements possibles, en fixant d'abord l'élément « à la place 1, et en portant successivement l'élément & à chacune des places 2, 3,...m; puis en fixant a à la place 2, pour faire ensuite occuper successivement par chacune des places 1, 3,...m, et ainsi de suite. Par conséquent, le nombre des arrangements, dont le système des deux éléments est susceptible, a pour expression »{77— 1). Si le système comprend un troisième élément c, on prendra un à un chacun des arrangements précédem-

ment formés; tels que celui qui met a à la place 1 et à

à la place 2, pour faire ensuite occuper successivement à l'élément c chacune des 7 —2 places 3, 4,...m. Le nombre des arrangements que comporte le système de trois choses est donc mm )(m—2); et, en général, le produit [M] exprime le nombre des arrangements avec 7 éléments, le nombre des places étant toujours #2. Or, le produit [M] devient le produit [N], quand on prend 72 égal à 2, ou quand le nombre des places devient égal à celui des éléments qu'il s’agit de placer ou d’ordonner.

Concevons maintenant le système de 72 places décomposé en deux systèmes ou groupes partiels À, B; l'un qui comprend » places, l’autre qui en comprend m—n. Le nombre des arrangements distincts que

peuvent présenter 77 éléments est : PE URL

mais si l'on n'a en vue que le partage des éléments entre les deux groupes partiels À, B, il ne faut plus regarder comme distincts les arrangements qui ne diffèrent que par des transpositions d'ordre dans le groupe À, ou par des transpositions d'ordre dans le groupe B; d’où il suit quil faut d'abord diviser le produit précédent

par le produit 1.2.3....(m—n),

ce qui donne pour quotient un nombre [M], et diviser derechef le nombre [M] par le produit [N] : en sorte

qu'on retombe ainsi, en se laissant guider par la seule idée de l’ordre, sur le résultat auquel avait conduit la seule idée de combinaison.

La même question d'ordre peut se présenter d’une autre maniere. Si l’on a z lettres À et n—n lettres B, le quotient de la division de [M] par [N] exprimera en combien de manières distinctes on peut les placer les unes à la suite des autres : car, lorsque l’on considère toutes ces lettres comme individuellement distinctes, le nombre des permutations est 1.2.3....m; et dansle cas contraire, il faut regarder comme identiques les arrangements qui ne diffèrent que par des transpositions d'ordre dans le groupe des lettres À et dans celui des lettres B.

8. Les liaisons entre la théorie des nombres et celle de l’ordre deviennent surtout remarquables lorsque l'on considère en particulier l'ordre périodique. Soit, pour fixer les idées, la suite périodique

abcde abcde abcde abc. [1]

que nous supposerons indéfiniment prolongée, et dont la période comprend cinq lettres destinées à figurer des objets ou éléments quelconques : si l’on prend de deux en deux les lettres de cette série, en omettant les lettres intermédiaires, on formera une autre suite périodique |

acebd acebd acebd ace. [2]

dont la période comprend les mêmes éléments, en même nombre, mais disposés dans un autre ordre; et de même, en prenant de trois en trois, puis de quatre en quatre les éléments de la série primitive, on

formera ces deux nouvelles séries

adbec adbec adbec adb.….. [3] aedcb aedcb aedcb aed.…. [4]

qui ne se distinguent non plus des précédentes que par l'ordre des éléments. Il est évident qu'on peut indifféremment partir de l’une quelconque de ces quatre séries pour reproduire les trois autres d’après le même procédé.

On peut observer encore que rien n'empêche de concevoir les quatre séries comme indéfiniment prolongées à gauche aussi bien qu'à droite, en arrière comme en avant; et que même ce prolongement indéfini de la série dans les deux sens est plus conforme à ce que la nature nous offre habituellement dans la succession des phénomènes soumis à la loi de périodicité. Or, cela conçu, on remarquera que la série [4] n’est pas autre chose que la série [1], lue à rebours ou en sens inverse ; et de même, que la série [3] se

confond avec la série [2] retournée ou renversée.

En général, considérons une suite périodique

abc...kl abc...kl abc.

DES NOMBRES. 21 dont la période comprenne »2 lettres ou éléments, et supposons qu'on prenne ces éléments de x en », à partir de a : nous disons que, si 7 est premier avec 7n, on passera par tous les éléments avant de retomber sur l'élément a, et qu'on formera ainsi une autre série dont la période comprendra les mêmes éléments en nombre 77, mais disposés dans un autre ordre. En effet, admettons pour un moment qu'après avoir placé ml termes dans la nouvelle série (77! étant moindre que 7x), et avoir par conséquent laissé derrière soi m'n termes dans la série primitive, on retombe sur le terme a : le nombre #n'n devrait être multiple de m, ce qu'on ne saurait admettre, puisque d'une part »' est moindre que 77, et que d'autre part 2 est premier avec n. Réciproquement, si l'on passe par tous les termes de la période avant de retomber sur celui d'où l'on est parti, 1l faut que Z soit premier avec 77.

Il revient au même de multiplier d'abord par x le uombre 72 et de multiplier ensuite par 7! le produit obtenu, ou de multiplier tout d'un coup le nombre 7? par le produit #7". De même on peut indifféremment former d'abord avec une série périodique de m éléments une seconde série en prenant les éléments de x en =, puis avec celle-ci une troisième série en prenant les éléments de »! en #/, ou bien tirer immédiatement cette troisième série de la série primitive en prenant les éléments de nn! en nr. Beaucoup de

théorèmes d'arithmétique peuvent être élégamment