CHAPITRE I. — DES NOMBRES

démontrés à la faveur de rapprochements de ce genre, entre les propriétés des nombres et les propriétés de l'ordre périodique *.

* Voyez dans le tome X du Journal de M.Liouville les Réflexions sur les principes fondamentaux de la théorie des nombres, par

M. Poinsot, chap. 111.

DE L'APPLICATION DES NOMBRES A LA MESURE DES GRAN- DEURS CONTINUES. — CONSÉQUENCES DU CHOIX ARBITRAIRE DE L'UNITÉ. — ORIGINE DES VALEURS FRACTIONNAIRES ET INCOMMENSURABLES.

9. Tous les phénomènes sensibles nous suggèrent l’idée de grandeur continue, c'est-à-dire l'idée d’un tout homogène, susceptible d’être divisé, au moins par la pensée, en tel nombre qu'on voudra de parties parfaitement similaires ou identiques : ce nombre pouvant croître de plus en plus sans que rien en limite l'accroissement indéfini.

Nous disons que les phénomènes sensibles nous suggérent l’idée de la continuité et non qu'ils nous la donnent, puisque l'expérience sensible ne peut opérer qu'une division limitée. C'est par une vue de la raison que l'idée de la continuité, et par suite l'idée de la grandeur continue, sont saisies dans leur rigueur absolue. Ainsi nous concevons nécessairement que la distance d'un corps mobile à un corps en repos, ou celle de deux corps mobiles, ne peuvent varier qu'en passant par tous les états intermédiaires de grandeur, en nombre illimité ou infini; etilen est de même du

L 2e. ; F » a À temps qui s écoule pendant le passage des corps d'un

lieu à un autre. En général, lorsqu'une grandeur physique varie avec le temps, ou en raison seulement de la variation des distances entre des corps ou des particules matérielles, ou par l'effet de l’écoulement du temps combiné avec la variation des distances , il répugne qu'elle passe d'un état à un autre sans passer dans l'intervalle par tous les états intermédiaires.

À la notion de grandeur se rattache immédiatement celle de mesure : une grandeur est censée connue et déterminée lorsqu'on a assigné le nombre de fois qu'elle contient une certaine grandeur de même espèce, prise pour terme de comparaison ou pour write. Toutes les grandeurs de même espèce, dont celle-ci est une partie aliquote, se trouvent alors représentées par des nombres; et comme on peut diviser et subdiviser suivant une loi quelconque l'unité en autant de parties aliquotes que l’on veut, susceptibles d’être prises à leur tour pour unités dérivées ou secondaires, il est clair qu'après qu'on a choisi arbitrairement l'unité principale, et fixé arbitrairement la loi de ses divisions et subdivisions successives, une grandeur continue quelconque comporte une expression numérique aussi approchée qu'on le veut, puisqu'elle tombe nécessairement entre deux grandeurs susceptibles d’une expression numérique exacte, et dont la différence peut être rendue aussi petite qu’on le veut.

Dans la pratique , il y a nécessairement une limite

aux subdivisions successives et à l'exactitude que comporte l'expression numérique des grandeurs continues, à cause de l'imperfection de nos sens et de nos instruments ; et par la même raison le choix de l’unité n'est arbitraire qu'avec de certaines restrictions; il serait déraisonnable de prendre pour unité une grandeur imappréciable, ou dont on ne peut répondre dans l'opération de la mesure ; mais ces considérations sont étrangères au sujet qui nous occupe ici.

Dans cette application des nombres à la mesure des grandeurs continues, le terme d'unité prend / ® . 3 ° évidemment une acception autre que celle qu’il avait en

e » + , ° , ° arithmetique pure : c'est un inconvénient sans doute, mais un inconvénient moindre que celui de recourir

à un autre terme que l'usage n'aurait pas sanctionné.

A0. Lorsque, par suite d'un choix convenable d'unité, plusieurs grandeurs de même espèce se trouvent exprimées exactement par des nombres, on peut en prendre la somme ou la différence, répéter une de ces grandeurs autant de fois qu'il y a d'unités dans une autre grandeur de même espèce ou même d'espèce différente, en un mot effectuer sur les grandeurs ainsi exprimées, qui prennent alors le nom de quantités, les trois premières opérations de l’arithmétique comme on le ferait sur des nombres purs ; mais la quatrième

opération, ou la division, donne lieu à de nouvelles

remarques.

CC 9 Diviser le nombre »2 par le nombre », c'est cher-

cher combien de fois » contient », dans le cas où 7» se

trouve être un multiple de »; sinon, et plus générale-

ment, c’est chercher en même temps combien de fois nest contenu dans le plus grand multiple de 7 qu'on puisse extraire de »2, et le reste ou résidu qu'on obtient après cette extraction. L'opération n'a pas d'autre sens tant quil ne s'agit que de nombres purs. Maintenant, si le nombre 72 mesure une grandeur continue qu'il faille diviser en un nombre de parts égales exprimé par », il est clair que le quotient g, donné par l'opération arithmétique connue sous le nom de division, mesurera chacune de ces parts s'il n'y a pas de reste ; et que dans le cas contraire il faudra encore partager en » parties égales le reste r, moindre que », pour Joindre une de ces parties à la grandeur déjà mesurée par le nombre 7, et compléter ainsi la part cherchée. Or, ce nouveau partage sera effectué si l’on divise chacune des unités du reste r en n parties égales et qu on en prenne r; et même, puisque 7 est moindre que », il suffira de partager une des unités der en n

parties égales, et d'en prendre r. La fraction d'unité e . 7 e r ÿainsi obtenue est désignée par la notation =: le dé-

nominaieur n exprimant en combien de parties égales l'unité est divisée ou censée divisée, et le zuméra-

teur r combien l’on prend de ces parties.

Il résulte de cette définition que l'expression ou la

. . m # “ valeur fractionnaire — est également propre à mesurer

la grandeur obtenue par la division de la grandeur m en x parties égales, soit que le nombre 7» surpasse » ou se trouve moindre que z. La barre horizontale placée entre les nombres »2 et z indique donc en général la division de » par n: division impossible arithmétiquement tant que 72 n'est pas un multiple de z, mais qui est toujours possible dans le sens qui s attache au partage des grandeurs continues, et qui deviendra possible, même arithmétiquement, par un changement de l'unité arbitraire, à la condition de

ième

prendre pour unité nouvelle la #°" partie de l'unité primitive, ou un sous-multiple quelconque de cette n°” partie, ou même (quand 72 et n ne sont pas pre-

ième

miers entre eux) des multiples de cette 7° partie,

convenablement choisis.

41. Mesurer une grandeur, c'est la rapporter à une autre grandeur de même espèce prise pour unité ; sa mesure, c'est son rapport avec cette grandeur : réciproquement, le rapport d'une grandeur A à une autre grandeur B de même espèce, c’est le nombre ou l’expression numérique qui donnerait la mesure de À, si B était prise pour unité. Par cette définition, on ôte au mot de rapport (ratio, 1dyos), l'indétermination qu'il a dans le langage ordinaire et même dans la langue philosophique : on lui donne une acception

technique, simple et rigoureusement déterminée.

D’après cela, si les grandeurs A et B, rapportées à une troisième grandeur C prise pour unité, sont respectivement mesurées par les nombres 7» et », et si m est un multiple de », le quotient 4 de la division de » par n sera le rapport de À à B. Quand 7» ne se

trouve pas être un multiple de », la valeur fraction-

e mm e \ naire -— est encore l'expression du rapport de À à B,

ième

puisque la » partie de B est contenue 72 fois dans À :

en sorte que, pour former À avec B, il faudrait prendre

ième

la partie de B et la répéter m fois. À ce nouveau oint de vue. la division. qu’elle soit ou non possible

arithmétiquement, est une opération qui a pour but

‘d’assigner le rapport de deux grandeurs.

Le rapport de deux grandeurs À et B ne saurait changer avec la troisième grandeur C, dont on fait choix arbitrairement pour l'unité de mesure. Si les grandeurs À et B, rapportées à cette troisième grandeur C, se trouvent exprimées par des valeurs ou des nombres fractionnaires, on remplacera les nombres fractionnaires par des nombres entiers, en changeant convenablement l’unité de mesure, et l’on retombera

sur le cas envisagé d’abord.

Deux grandeurs À et B sont dites commensurables, lorsqu'elles ont une commune mesure, ou lorsqu'on peut assigner une grandeur de même espèce qui soit une partie aliquote de l’une et de l’autre : dans le cas

contraire , les grandeurs sont dites #2commensurables.

Une grandeur commensurable avec celle qui sert d'unité de mesure est ce qu'on nomme une grandeur rationnelle, soit qu'elle ait pour expression numérique un nombre entier ou une valeur fractionnaire : celle quine comporte point d'expressionnumérique de l’une ou de l’autre espèce, parce qu'elle est incommensurable avec l'unité, est qualifiée d’érrationnelle.

A priort, il serait raisonnable d'admettre que deux grandeurs quelconques de même espèce ne sont pas nécessairement commensurables, et même qu'il est infiniment peu probable que deux grandeurs de même espèce, prises au hasard (c’est-à-dire déterminées chacune par des causes dont quelques-unes ne dépendent en rien de celles qui influent sur la détermina-" tion de l’autre), soient rigoureusement commensurables. Ainsi, ilest, « priori, infiniment peu probable que le rnètre ou la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre, et la longueur du pendule simple qui bat les secondes de temps solaire moyen à la latitude de Paris, et à la hauteur de cette ville audessus du niveau de la mer, soient des grandeurs rigoureusement commensurables. Il est clair que l'expérience ne peut donner la confirmation de cette vue de l'esprit, puisque toute mesure expérimentale n'est jamais qu'approchée ; mais la théorie fournit la preuve directe de l’incommensurabilité d’une foule de grandeurs, comme cela va être expliqué tout à

l'heure.

30 CHAPITRE il.

12. Des grandeurs exprimées ou mesurées par des valeurs fractionnaires sont manifestement susceptibles d’être ajoutées les unes aux autres ou retranchées les unes des autres : elles peuvent être prises un certain nombre de fois, c'est-à-dire être multipliées par des nombres entiers : mais on ne voit pas tout d’abord ce que pourrait signifier la multiplication d'une grandeur par une fraction, ni quel sens donner à l’opération qui consiste à diviser une grandeur en un certain nombre de parts égales, quand ce nombre se trouve remplacé par une fraction. Il y a là une induction, une extension analogique trés-remarquable, et sur laquelle il faut insister plus qu'on ne le fait d’ordinaire, parce que, si elle est une fois bien comprise, elle sert de fil conducteur pour d’autres inductions, d’autres extensions qui semblent d’abord plus abstraites , et que l'esprit a toujours de la peine à saisir quand il n y est pas amené graduellement.

Des grandeurs de même espèce ou d'espèces différentes peuvent être liées entre elles, de manière que, si l'une vient à changer, l’autre change nécessairement, soit qu'elles augmentent et diminuent ensemble, soit que l'une augmente quand l’autre diminue, ou réciproquement. Or, ce qu'on peut imaginer de plus simple quand des grandeurs sont ainsi liées entre elles, c'est qu'elles augmentent ou diminuent proportonnellement, en sorte que, si l’une devient deux

fois, trois fois, quatre fois plus grande, l’autre de-

vienne aussi double, triple, quadruple, et ainsi de suite. Telle est, dans l’ordre des phénomènes naturels, la liaison entre l'espace décrit par un corps qui n éprouve plus, une fois mis en mouvement, l’action d'aucune force n1 d'aucune résistance, et le temps pendant lequel il se meut. Telle est encore, pour passer aux faits les plus vulgaires dans la vie pratique, la liaison entre la quantité d’une denrée qui se vend à tant le mètre, le litre, le kilogramme, et le prix de la quantité vendue.

De même qu'on obtiendra l’espace décrit pendant 2,3, 4 unités de temps, en multipliant par 2, 3, 4, le nombre qui mesure l'espace décrit pendant l'unité de temps, on obtiendra l’espace décrit pendant la moitié, le tiers, le quart d’une unité de temps en divisant ce nombre par 2, 3, 4. On obtiendrait l'espace décrit pendant © d'unité de temps en divisant ce nombre par 3, puis en doublant le résultat, et ainsi de suite. La liaison dont il s’agit conduira donc selon les cas , tantôt à une multiplication arithmétique, tantôt à une division arithmétique, tantôt, et plus généralement, à une combinaison de ces deux opérations de calcul. Cela dépendra des valeurs particulières des grandeurs qu'on aura à comparer; et même, ces grandeurs ne variant pas, il suffirait de changer l'unité de temps qui est arbitraire , pour substituer à une opération arithmétique l'opération inverse.

Cependant la nature d’une telle liaison est indé-

ein CHAPITRE II.

pendante, non-seulement des valeurs particulières attribuées aux grandeurs que l’on compare, mais encore des unités dont on a fait choix pour chaque espèce de grandeurs. Si donc nous voulons conserver dans le signe ou dans l'expression de l'idée le degré d’abstraction ou de généralité qui se trouve dans l’idée même, il faudra désigner par le même terme le lien mathématique entre le nombre 2 qui mesure l’espace décrit dans l'unité de temps, le nombre £ qui mesure le temps écoulé durant le mouvement, et le nombre / qui mesure l'espace décrit pendant ce temps : les trois nombres L, £, / pouvant être indifféremment entiers ou fractionnaires. On dira en conséquence dans tous les cas que / est le produit de À et de £, ou qu'on obtient / en multipliant 2 par t; et alors on considérera la division de L par 2,3, 4, etc.,

commela multiplication de 2 par les fractions {, #, 1, etc.

45. Est-ce là une pure convention, une arbitraire définition de mots, ou bien une définition d'idée, la juste expression d'un rapport que nous percevons entre les choses, mais que nous n’y avons pas mis? Nous sommes heureux de trouver dès le début un exemple si simple, qui caractérise avec autant de netteté tout un ordre d'idées sur lesquelles dans la suite doivent porter nos réflexions. Il est clair que cette question ne se tranchera point par une démonstration ma-

thématique ; il est clair que la science du calcul res-

tera la même, de quelque facon qu’on y réponde. On peut la regarder comme futile, indifférente, ou même n'y pas trouver de sens, et n'en être pas moins un savant arithméticien : ce sera seulement la preuve qu'on n’a pas cette tournure d'esprit qui fait saisir le sens des questions philosophiques, qui fait attacher de l'importance à la discussion critique de l’origine et de la valeur représentative des idées fondamentales dans les sciences (3).

Pour notre part, nous n hésiterons point à regarder cette notion de la multiplication par les fractions, introduite dans l'arithmétique la plus élémentaire, comme une notion nécessaire, tenant à la nature même des choses, et non comme une définition conventionnelle qui n’aurait d'autre raison que le besoin de donner au discours plus de brièveté.

Admettons pour un moment qu'il y ait une science dans laquelle on traite des liens qui existent entre les grandeurs, indépendamment des valeurs particulières dont elles sont susceptibles, et des unités arbitraires qui en déterminent l'expression numérique , et que cette science s'appelle algèbre : il faudra dire alors, pour la parfaite justesse de l'expression, que, dans l'exemple précédent, / est égal au produit algébrique de 2 et de t, ou que / est donné au moyen de la multiplication algebrique de k par t, multiplication algébrique qui pourra conduire selon les cas, et d’après le choix de l'unité arbitraire, tantôt à une multiplica-

34 CHAPITRE Il.

tion arithmétique, tantôt à une division arithmétique, tantôt à une combinaison de ces deux opérations.

Au lieu de se proposer de déterminer la grandeur / au moyen des grandeurs À et £, on pourrait se proposer de déterminer la grandeur # au moyen des grandeurs / et , ou bien encore de déterminer la grandeur À au moyen des grandeurs / et £ : ce qui nous conduirait à faire sur la division des remarques analoeues à celles qui viennent d'être faites à propos de la multiplication. De pareilles analogies sont saisies tout

de suite, et il serait inutile d'y insister.

44. Le lien mathématique entre des grandeurs n'est pas toujours aussi simple que nous l'avons supposé d'abord. Ainsi , pour un corps qui tombe dans le vide sous l’action de la pesanteur, la théorie démontre, et l'expérience confirme, que les espaces décrits croissent proportionnellement aux carrés des nombres qui mesurent les temps de chute : de manière, par exemple, que l’espace décrit en deux secondes est quadruple de l'espace décrit dans la première seconde, l’espace décrit en trois secondes égal à neuf fois ce même espace, et ainsi de suite. Inversement, les nombres qui mesurent les temps de chute sont proportionnels aux racines carrées des nombres qui mesurent les espaces décrits. Cette relation ne dépend nullement du choix des unités arbitraires d'espace et de temps, et doit

subsister pour des valeurs correspondantes quelcon-

ques de ces deux grandeurs, quelle qu’en soit l’expres-

sion numérique.

Supposons qu'en vertu de cette relation on se propose de déterminer le temps £ qu'il faudra à un corps pesant pour décrire un espace / égal à 7 fois l’espace 2 décrit dans la première seconde de sa chute. Ce temps sera compris entre 2 secondes et 3 secondes, puisque le nombre 7 tombe entre 4 et 9 qui sont respectivement les carrés des nombres 2 et 3. Afin d'approcher davantage de la mesure de la grandeur £, concevons que l’on change d'unité de temps, et qu'on prenne

pour unité nouvelle le dixième de Na : on trou-

) vera que le temps t tombe entre Sa iehe

car, d’après la loi, l'espace g' décrit un le premier

et — 2 de seconde ;

dixième de seconde est la 100° partie de l’espace g décrit dans la première seconde et la 700° partie de l’espace /; d’ailleurs le nombre 700 tombe entre 676 et 129 qui sont respectivement les carrés des nombres 26 et 27; donc le temps de chute tombe entre 26 et 27 dixièmes de seconde. En poursuivant ce raisonnement, on approcherait d'aussi près qu’on voudrait de la mesure de la grandeur #, sans jamais pouvoir l'obtenir exactement : puisqu'il faudrait pour cela qu’en multipliant le nombre 7 qui n’est pas un carré, par un nombre tel que 100, 10 000, etc., compris dans la série des nombres carrés, on obtint pour produit un

nombre compris lui-même dans la série des carrés; et

c’est ce qui répugne aux propriétés fondamentales des nombres. En conséquence, le temps Z dont nous cherchions l’expression numérique est une grandeur incommensurable avec l'unité de temps que nous avons choisie (41). Pour qu’on püût l’exprimer exactement en nombre entier ou fractionnaire, il faudrait changer l'unité de temps et en prendre une autre qui serait nécessairement incommensurable avec l'unité

primitive.

45. En arithmétique pure, l'opération de l’extraction de la racine carrée consiste en général à trouver la racine du plus grand carré contenu dans un nombre proposé, et le reste qu'on obtient après que ce plus grand carré a été retranché du nombre qui le contenait. L'opération ne peut pas avoir d'autre sens tant que l’on considère les nombres en eux-mêmes; mais, du moment qu'on les conçoit appliqués à la mesure des grandeurs continues, après un choix préalable d’unités arbitraires, l'opération prend un autre sens : elle consiste à évaluer en fractions de l’unité choisie une grandeur assujettie à croître proportionnellement aux racines carrées des nombres qui mesurent une autre grandeur, quelle que soit l’unité choisie et si petite qu'on la suppose. D'après ce qu’on vient de voir, cette évaluation en fractions de l'unité choisie n’est pas possible exactement, quand le nombre dont il

s’agit d'extraire la racine n'est pas un carré parfait,

mais on peut en approcher d'aussi près qu’on veut; et en ce sens l'opération est toujours possible, elle tend toujours à un résultat déterminé. D'ailleurs ce qu'on vient de dire à propos des racines carrées s’applique aux racines d'un ordre ou d'un degré quelconque.

Pour désigner d’une manière générale le nombre qui est la racine d’un nombre 77, il sera commode d'avoir un signe conventionnel, et le signe convenu est #7. Quand on aura attribué à 2 une valeur particulière, et que l'opération arithmétique dont le signe V est l'indice pourra s'effectuer sur cette valeur particulière, ou quand 72 sera un carré parfait, on effectuera l'opération, et l’on ne sera pas obligé de conserver ce signe qui n avait été introduit que pour faciliter des raisonnements généraux. Mais, si 72 n'est pas un carré parfait, que ce soit par exemple 7, il faudra conserver le signe ÿ et écrire V7 si l’on veut avoir une juste expression de la grandeur V2 dans ce cas particulier, un signe qui la définisse rigoureusement, el

non pas seulement des valeurs approchées, telles que

C'est ainsi que, pour avoir une expression exacte de la grandeur qui résulte de la division de la grandeur 2

en x parues égales, laquelle en général se désigne

nm il A A , . LA \ par —, | faut, même après qu'on a attribué à 7»? et à

des valeurs numériques particulières, conserver Îa barre horizontale qui est le signe de la division , si la division est impossible arithmétiquement, ou si le nombre 72 n'est pas un multiple de ».

On voit par là comment des signes qui n'étaient ou

ne pa cars 0 CO , e o pouvaient n'être originairement que l'indication d'une opération à effectuer sur des nombres, où d’un lien mathématique entre des grandeurs, indépendant de leurs valeurs particulières, viennent s'incorporer à l'expression même des grandeurs déterminées et iso- Ê 8

lées, comme une particule du discours qui deviendrait

l’affixe d'un nom.

Si la grandeur fractionnaire mo Si la grandeur irra-

tionnelle y» doivent entrer dans de nouvelles combinaisons du calcul, il est encore plus à propos d’en conserver dans le cours du calcul l'expression simple et rigoureuse : de maniere à garder pour la fin l’opétion qui consiste à tirer de cette expression rigoureuse une évaluation numérique, approchée, et dont on se trouvera dispensé, si la même grandeur est successivement soumise à des opérations inverses dont les signes

s’entre-détruisent.

46. Ainsi l’on est conduit à inventer un système de signes généraux, qui n étaient que commodes lorsqu'il s agissait de spéculations sur les nombres purs, et qui deviennent nécessaires quand le but est d’étudier les

propriétés des grandeurs continues et les liaisons que

ces grandeurs ont entre elles : non point des propriétés ou des liaisons quelconques, mais celles qui ont leur origine ou leur raison dans l'arithmétique, et qu’on reconnaîtra à ce caractère, qu elles ne peuvent être primitivement conçues et définies, comme aussi directement démontrées, qu'à la faveur de l'hypothèse de la commensurabilité des grandeurs; bien que les résultats obtenus s'étendent ensuite aux grandeurs queiconques, même incommensurables, en vertu d’un raisonnement indirect, fondé sur ce que l'unité ou la commune mesure est arbitraire et susceptible de décroître au-dessous de toute limite.

On peut envisager avec plus de généralité encore, comme nous l’expliquerons par la suite, la théorie des grandeurs et des liens qui les unissent ; mais, en se tenant dans les termes de la définition précédente, la théorie des grandeurs est précisément ce que Newton a appelé l'arithmétique universelle, et ce que les vieux auteurs ont souvent désigné par le nom de Logistique : nom bien choisi (4 À), et dont nous regrettons que l’usage se soit perdu. Il est clair que la théorie dont il s’agit ne dépend point du système artificiel de numération, des procédés de calcul fondés sur ce système; et c'est pour cela que Newton la qualifie d'universelle. Elle emprunte sans doute à la théorie des nombres ou à l’arithmétique pure les notions fondamentales de facteurs et de produits, de puissances

et de racines, mais pour leur faire immédiatement

subir une extension exigée par la nature des grandeurs continues, et qui donne lieu à des développements tout différents. Il ne peut plus être question des propriétés des nombres'en tant que pairs ou impairs, premiers ou composés, carrés Où non carrés, en un mot de toutes celles qui varient brusquement dans le passage d’un nombre à ceux qui l’avoisinent : ces propriétés incompatibles avec la loi de continuité restant l'objet propre de la théorie des nombres considérés en eux-mêmes et indépendamment de toute application à la mesure des grandeurs continues ou à l'ex-

pression des rapports de ces grandeurs.

47. Entre ces branches issues d’une même souche il peut y avoir et il y a en effet des rapprochements nombreux. Pour en donner une idée, supposons qu'on range par ordre de grandeur toutes les fractions irréductibles, dont le dénominateur ne surpasse pas 6, de cette maniere :

RE qu Æ 6? 59 47 37 5

on remarquera 1° que les fractions à égales distances du terme moyen + ont le même dénominateur et ont pour somme l'unité; 2° que les dénominateurs de deux fractions consécutives sont toujours premiers entre eux ; 3° que la différence de deux fractions consécutives est toujours une fraction ayant l'unité pour

numérateur. Or, ces propriétés sont générales et sub-

sistent, quel que soit le nombre, autre que 6, qu’on prenne pour limite des dénominateurs des fractions irréductibles. D'un côté, ces propriétés supposent l'idée de fraction et par conséquent celle de lapplication des nombres à la mesure des grandeurs continues : d'autre part, elles sont exclusives de la loi de continuité dans le passage d’une fraction à l’autre et ont leur raison dans les propriétés des nombres en tant qu agrégats d'unités qui ne se fractionnent point. La même remarque est applicable à la théorie des

fractions continues et à beaucoup d’autres.

18. Dans l'usage ordinaire, les matières de la logistique se rattachent à l’arithmétique ou à l'algèbre, suivant qu on se sert, pour fixer l'imagination et faciliter le raisonnement, de nombres ou de lettres; suivant qu'on emploie avec plus ou moins de sobriété les signes des opérations fondamentales ; suivant qu'on se borne, avec les anciens, à l'usage des proportions et des signes de proportionnalité, ou qu'on fait avec les modernes un usage habituel des équations et du signe d'égalité : mais évidemment une classification basée sur de pareils caractères est purement arbitraire et sans valeur philosophique. La logistique, ainsi qu'on l’a déjà indiqué, conduit naturellement et en quelque sorte forcément à l'institution de signes tels que ceux dont on se sert en algèbre : de sorte qu'elle con-

tient l’algebre en germe. Nous tâcherons d'expliquer

bientôt comment ce germe, en se développant, fait apparaître l'algèbre proprement dite, qui n'est pas seulement un art, une langue ou un instrument à l'usage de la théorie des nombres et de la logistique, mais une science ayant son objet propre : et c'est ce qui nous fera peut-être pardonner d’avoir eu recours provisoirement à un mot vieilli, pour désigner un corps de doctrine qui subsiste indépendamment de l'organisation de l'algèbre, et qui avait déjà pris une notable extension bien avant l'apparition de l’algebre proprement dite.

DE L'EMPLOI DES NOMBRES ET DES GRANDEURS CONTINUES POUR LA DÉTERMINATION DES RAPPORTS DE SITUATION. — CONSÉQUENCES DU CHOIX ARBITRAIRE DE L'ORIGINE POUR LES GRANDEURS A ORIGINE ARBITRAIRE. — ORIGINE DES VALEURS NÉGATIVES.

19. De même que les nombres peuvent être considérés, d’abord dans leur nature propre, puis dans l'application qu'on en fait à la mesure ou à la détermination des grandeurs, ainsi les grandeurs peuvent être étudiées, d'abord en elles-mêmes ou dans les propriétés qui tiennent à leurs caractères généraux et essentiels, ensuite dans l'emploi qu'on en fait, et qu on est nécessairement conduit à en faire, pour la détermination des rapports de situation.

Cela se comprendra sans peine sur l'exemple le plus simple. Le temps ou la durée est une grandeur continue. Si l'on veut mesurer ou exprimer en nombres la durée d’un phénomène, il faudra faire choix d'une unité arbitraire; et, moyennant cette convention, tous les rapports entre des grandeurs de cette espèce se trouveront convertis en rapports entre des

nombres. Si: maintenant on veut fixer l'époque a la-

L4 CHAPITRE Il.

quelle un phénomène instantané a eu lieu, celle à laquelle un phénomène d’une durée appréciable a commencé ou fini, on choisira arbitrairement un point de départ ou une origine, et l'on mesurera le temps écoulé entre l'instant pris pour origine et celui dont on veut fixer l’époque. On pourra faire la même chose pour une multitude d’autres instants, en ayant soin de partir toujours du même point ou de la même origine; ce qui donnera une suite de grandeurs desünées à fixer l’ordre des événements, l’ordre de l’appariuon ou de la disparition des phénomènes dans la série des temps, leur situation dans le temps, en un mot leur chronologie. Les situations dans le temps (soit absolues, soit relatives) restant les mêmes, les grandeurs qu'on emploie pour les définir changeraient arbitrairement avec le choix arbitraire de l’origine : de sorte que les nombres qui servent à exprimer ces mêmes grandeurs seraient susceptibles de changer arbitrairement , tant à cause du choix arbitraire de

l'unité que par suite du choix arbitraire de l'origine.

20. Les événements dont il s’agit d'établir la chro- nologie peuvent être tous postérieurs, ou tous antérieurs, ou les uns postérieurs , les autres antérieurs à l'instant pris pour origine. Il faudra distinguer par une abréviation, par un signe quelconque , les nombres chronologiques ou les dates des événements, suivant

qu'elles se rapportent à des événements postérieurs ou

antérieurs à l'ère, c'est-à-dire à l’origine chronologique. Supposons que, dans la fixation de tous les événements, on commette une erreur de même sens ; que par exemple l'on perçoive tous les phénomènes trop tôt ou qu'on les percoive tous trop tard : cette erreur de même sens fera croître les nombres qui se rapportent à des événements antérieurs à l’origine et décroître ceux qui se rapportent à des événements postérieurs, ou inversement. Supposons que l'ère soit sujette à se déplacer, selon les usages des peuples ou les systèmes des chronologistes : le même déplacement d’ère ou d'origine fera croître ou décroître les dates d’un nombre constant, suivant qu'il s'agira d'événements antérieurs ou postérieurs à l’une et à l’autre origine. En un mot, les grandeurs que les dates mesurent marchent évidemment en sens contraires, pour les événements situés en deçà et pour les événements situés au-delà de l'origine.

Que l’on veuille, au moyen d’un tableau chronologique, assigner le temps écoulé entre deux événements, on retranchera de la date de l'événement le plus nouveau la date de l'événement le plus ancien, s'il s agit de deux événements postérieurs à l'origme; on retranchera au contraire de la date de l'événement le plus ancien la date de l'événement le plus nouveau, dans le cas de deux événements antérieurs à l’origine ; enfin l'on ajoutera la date de l'événement le plus an-

cien à la date de l'événement le plus nouveau, si

AG CHAPITRE II. | celui-ci est postérieur à l’origine et si l’autre la précède.

Ces règles, quoique très-simples, ne peuvent-elles pas se simplifier encore, ou se résumer dans une règle unique qui les comprendrait toutes? Oui, sans doute, et pour cela il suffit d’une modification dans le langage ou dans la notation, comme celle que nous avons vue s'introduire à propos de la multiplication

par les nombres fractionnaires (42 et 15).