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on obtiendra pour résultante une équation algébrique en x, }', délivrée aussi de radicaux et de dénominateurs. On obtiendrait sous la même forme l'équation entre x et y”, y" désignant la seconde dérivée de y;

et ainsi de suite. On conclut de là qu'une courbe al-

sébrique ne peut pas plus avoir de points saillants que

de points d'arrêt ou de rupture; et en général que les solutions de continuité d'ordre quelconque, subies par une fonction algébrique, résultent toujours du passage de l’une de ses fonctions dérivées et des déri- , / e ° . .

vées subséquentes par des valeurs infinies, et jamais de ce que les fonctions dérivées, à partir d’un certain ordre, passent brusquement d’une valeur finie à une autre, ou sinterrompent brusquement dans leur cours. C’est là ce qu'il faut entendre par la continuité de l’algébre et des expressions algébriques.

Inversement, si l'on a une courbe dont l'ordonnée y soit représentée dans une portion de son cours, jus- G à > \ ? 2 qu'au point correspondant à l'abscisse x,, par la fonc- . , . \ L: . .

tion algébrique f(x), et à partir de ce point par une autre fonction algébrique F(x) (soit que les deux fonctions différent absolument dans leur composition, soit qu'elles ne différent que par les signes adhérents aux mêmes radicaux), la courbe doit éprouver une solution de continuité au point où les deux fonctions se

raccordent. En d'autres termes, la suite d’égalités NÉS ES CRIME SAC AM MERE NICE

ne peut pas se prolonger jusqu'à l'infini, à moins que les dérivées des deux fonctions, à partir d'un certain ordre, ne deviennent simultanément infinies. : en sorte qu'il y aura une certaine dérivée de y, telle que y, qui éprouvera une solution de continuité du premier

ordre, pour x =4%,, soit en devenant infinie, soit en

passant brusquement de la valeur finie fÜ(x,), à la valeur pareïllement finie F0(x,); et d’une manière ou d’une autre, la courbe dont y est l’ordonnée, subira

une solution de continuité du (2 +1)" ordre *.

427. Rien ne s'oppose à ce que des fonctions transcendantes soient interrompues dans leur cours, ou passent brûsquement d'une valeur finie à une autre. Considérons, par exemple, la développante de la courbe MPN (Jig. 47), géométriquement définie par la condition que la sous-tangente pt soit constante et égale à OP pour chaque point de la courbe. Cette courbe a l'axe des abscisses pour asymptote, dans le sens des abscisses négatives. Soit »2 le point de la courbe MPN où vient s'appliquer le point de la tansente mobile #'#, par lequel est décrite la développante vu : pendant que la tangente mobile se déplace en roulant sur la courbe dans le sens »#M, elle tend indéfiniment vers la position X'X, sans jamais l’attemdre. Donc il y a un point un, situé sur OX, dont le point décrivant s'approche d’un mouvement de plus en plus ralenti, sans'jamais l’atteindre, et où

s'arrête par conséquent le tracé de la courbe m1.

* Ceci revient encore à dire que la fonction algébrique F(x)—f(x) ne peut s’évanouir, ainsi que toutes ses dérivées successives jusqu’à l'infini, pour une certaine valeur de x, à moins d’être identiquement nulle. Voir notre Traité élémentaire de la Théorie des fonctions et du calcul infinitésimal, T. I, n° 134.

Dans ce cas, comme dans celui de la spirale hyperbolique (102), et en général toutes les fois qu'il s’agit de courbes définies au moyen d'un mouvement continu , le point décrivant n'atteint jamais le point d'arrêt, pour lequel en conséquence M. Lacroix a proposé la dénomination très-convenable de point asymptole.

L'équation transcendante

y=arc tang Se æ dont le sens géométrique est expliqué par ce qui a été dit au n° 122, appartient à une courbe qui éprouve aussi une interruption dans son cours : car, selon que x converge vers zéro en passant par des valeurs positives ou négatives, il vient à la limite y=£T, oubien y——1{7r.

Par la même raison, l'origine est un point saillant

de la courbe transcendante définie par l’équation J=xarc tang ! ; æ

car, en appliquant les règles de la différentiation, on en tire | ÿ'—=arctan - ae qi 8x 14 7° ° ce qui donne encore, pour z—0, VA) [OUR RS). ME TET:

suivant que æ converge vers zéro en passant par des valeurs positives ou par des valeurs négatives.

428. Le principe de la correspondance entre la géométrie et l’algèbre, dans la géométrie analytique proprement dite, c’est qu'il faut délivrer de radicaux l'équation entre les coordonnées rectangulaires de la courbe, ou conserver les doubles signes adhérents à chaque radical pair : sans quoi l’on introduirait des solutions de continuité qui ne tiendraient qu’au choix arbitraire des axes, et que ne peut point admettre une définition géométrique , indépendante de l’artifice des coordonnées et du choix des axes (70). Mais ce principe n'est plus applicable en général aux courbes transcendantes. Par exemple la cycloïde (PJ. I, fig. 15) définie au n° 63 nous donnera, si l’on appelle r le rayon du cercle générateur, w l'angle variable 7nct, x l'abscisse Op—O1—1p, et y l'ordonnée pn=—ct—ci :

&—= 7 (ù—Sin o), Ÿ— r(1 — cos w), + 5 T—1 . 27y — d'où cosw——?, nn

le radical devant être pris positivement ou négativement, suivant que la valeur de l'arc donne à sino une valeur positive ou négative (76). L'équation entre x et y est donc

fase ENTSIES FC x=—=Trarc cos (=) or"; [a] . A ?

mais , à chaque valeur de x ne correspond que l’une des valeurs en nombre infini, dont est susceptible

l'expression T — r arc cos (—) <

et, en outre, les deux signes du radical ne doivent pas être employés simultanément. Il faut prendre le signe supérieur quand le point (x, y) appartient à l'arc OQ, et le signe inférieur quand le point appartient à l'arc QR, en opérant la permutation de signes de la même manière, chaque fois que l'on passe par le sommet ou par le pied d’un arceau. De là l'explication de quelques-unes des singularités qui se sont déjà présentées (121), quand on a appliqué à la cycloide la formule pour la rectification des courbes planes. Si l'on employait simultanément les deux signes du radical dans l'équation [a], cette équation représenterait le système de deux cycloïdes inversement disposées (fig. 16), que leur génération géométrique ne lie point l'une à l’autre à la manière des deux branches d’une hyperbole, pour lesquelles l’association algébrique résultant de l'ambiguïté des signes radicaux concourt avec l'association géométrique résultant de ce que les deux branches sont simultanément données par l'intersection d'un plan et d’une

surface conique à directrice circulaire.

499. Les courbes transcendantes dont il vient d’être question se trouvent définies par des conditions géométriques, en sorte que les fonctions transcendantes représentées par les ordonnées de ces courbes doivent être censées tirer leur origine de la géométrie.

11 faut maintenant considérer les définitions transcen-

dantes qui se rattachent à la théorie abstraite des grandeurs numériques, sans mélange nécessaire de conceptions géométriques. Nous rapporterons ces définitions à trois chefs principaux : l'intercalation, le développement en séries d’un nombre infini de termes et l'intégration.

Les logarithmes nous fournissent l'exemple le plus élémentaire des définitions de fonctions transcendantes par intercalation. Si l’on établit une correspondance de rangs entre les termes des deux progressions, l’une par différences, l’autre par quotients, x

He: ML AE A fB] de manière que le terme x de la’ première soit l’exposant ou l'indice de la puissance à laquelle le nombre constant a se trouve élevé dans le terme correspondant de la seconde, chaque terme x est dit le logarithme de son correspondant a°. En vertu de la

correspondance établie, la grandeur

FES [él est une fonction de la variable x, fonction que l’on nomme exponentielle (104) ; inversement x peut être considéré comme une fonction de y, et cette fonction. inverse

est la fonction logarithmique.

Rien n'empêche d’intercaler un nombre quelconque ñn de moyens différentiels entre deux termes quelconques de la progression par différences, et le même nombre 7 de moyens proportionnels entre deux termes correspondants de la progression par quotienits : les mêmes relations continueront de subsister entre chaque nouveau terme de la première progression et le terme correspondant de la seconde. L’exposant x

deviendra une fraction ?, et l'équation [0] exprimera q

que, pour obtenir le nombre y, il faut élever le nombre a à la puissance p, et extraire du nombre ainsi obtenu la racine dont l'indice est 7. L'idée de cette intercalation que l’on peut pousser jusqu à ce que la différence entre deux termes consécutifs de l’une et de l’autre progression tombe au-dessous de toute grandeur donnée , est l’idée en vertu de laquelle les deux grandeurs x et y, quelle que soit celle que l’on considere comme variable indépendante ou comme fonction, peuvent être censées assujelties dans leurs variations à la loi de continuité. C'est ainsi que des nombres, tels que l’exposant x dans l'équation [0], employés primitivement dans la langue de l'algèbre, non comme mesures de grandeurs, mais comme numéros d'ordre ou comme indices d'opérations, peuvent être assimilés à des grandeurs et même à des grandeurs continues. L'idée d’une telle assimilation équivaut toujours à celle

d'intercaler entre les termes d’une série dont la loi est

donnée, des termes en nombre infini soumis à la même loi.

Il y a une infinité de systèmes de logarithmes, parce qu'on peut attribuer une infinité de valeurs au nombre a qui figure dans l'équation [2], et qu’on nomme la base du système de logarithmes. Les tables de logarithmes, calculées dans un but d'utilité pratique, ont pour base le nombre 10, base de notre numération décimale; mais, dans les mathématiques spéculatives, le signe de la fonction logarithmique désigne toujours, comme au n° 12%, et pour une cause qui sera indiquée plus loin, des logarithmes calculés dans un système dont la base n’est ni le nombre 10, ni même un nombre entier ou fractionnaire, mais une grandeur dont on ne peut donner qu'une évaluation numérique approchée, et à laquelle, par conséquent, il est à propos de conserver une expression littérale. On a affecté à cet usage la lettre e. Les logarithmes dont la base est e s’appelaient autrefois logarithmes naturels, et cette dénomination était bonne en ce qu'elle indiquait une base dont le choix tient à la nature de la fonction et non point à la commodité de certaines applications artificielles. Mais maintenant l'usage a prévalu de désigner ces logarithmes par l’épithète de népériens, du nom de Neper qui a découvert les lo-

garithmes.