CHAP. XIV.— DES LIEUX DES CENTRES DE GRAVITÉ

d’après la figure, cette dernière fraction plus grande que l'unité. Pour COUT . :

on a

4 (ar), n=0:

ce qui donne au lieu résultant de l'élimination de cos ® entre les équations [d], l'allure indiquée sur la Jig. 44. On a tracé en ligne ponctuée toute la partie étrangère à la définition géométrique.

On peut remarquer l’analogie de cette définition avec celle du lieu géométrique considéré au n° 88, puisque rien n'empêche de modifier celle-ci, en regardant le point y de la jig. 23 ( PI. II) comme le centre de gravité des points 72 et z où la sécante Omn rencontre le cercle. Inversement, on pourrait rendre indépendante de la considération des centres de gravité et de toute construction à trois dimensions la définition géométrique du lieu qui vient de nous occuper, en définissant le point 14 ( fig. 42) par la propriété d’être le milieu de la flèche de l'arc dont »#n est la corde. Par tous ces rapprochements, on voit de mieux en mieux ce quil y a d’accidentel dans les circonstances d’après lesquelles les définitions géométriques comportent ou ne comportent pas des modifications qui puissent les faire cadrer, quant à l'étendue, avec les équations par lesquelles les lieux se trouvent

algébriquement exprimés.

DES DIVERS ORDRES DE SOLUTIONS DE CONTINUITÉ. — DE L'ORIGINE ET DES SOLUTIONS DE CONTINUITÉ DES FONC- TIONS TRANSCENDANTES.

425. Nous avons indiqué au chapitre VII, autant que le permettait la rapidité de notre marche , comment, de l’idée de fonction prise dans toute sa généralité, naît une théorie qui a pour objet des propriétés communes à toutes les fonctions, pourvu qu’elles soient continues, et qui ne suppose point que ces fonctions comportent une définition mathématique quelconque. C'est ici le lieu de distinguer des solutions de continuité de divers ordres : car il y a des théorèmes qui tombent ou qui ne tombent pas en défaut pour certaines valeurs singulières, selon l’ordre des solutions de continuité que les fonctions éprouvent pour ces valeurs singulières.

Si la courbe dont la fonction f(x) est l'ordonnée, se trouve, pour une certaine valeur de x, interrompue dans son cours, soit que la fonction n'ait plus de valeur possible pour des abscisses plus grandes que Op (fig. A5), soit que l’ordonnée passe brus-

quement de la valeur pm à la valeur pra! (auquel cas

OA EN ES PURE CT ON EC PO PS Ke" 1

le point 77 est qualifié de point d’arrét ou de rupture), nous dirons que la fonction f(x) éprouve, pour æx—O0p, une solution de continuité du premier ordre. Il en sera de même, si l’ordonnée de la courbe passe par une valeur infinie, comme cela arrive, pour x—0, à l'hyperbole équilatère ( /ig. 7) dont l'équation est Æ?

Dans l’un ou l’autre cas, en effet, on ne peut plus, eñ prenant des valeurs de x, l’une un peu plus grande, l’autre un peu plus petite que celle à laquelle correspond la solution de continuité, et en resserrant de plus en plus l'intervalle, faire tomber la différence des valeurs correspondantes de la fonction au-dessous de toute grandeur donnée. Quand une pareille solution de continuité affecte la fonction f(x), elle affecte aussi, en général, pour la même valeur de x, la dérivée f(x) et toutes les dérivées des ordres supérieurs (412).

Maintenant, si cette solution de continuité affecte, non plus la fonction f(x), mais la dérivée f(x), et par suite les dérivées des ordres supérieurs, nous dirons que la fonction /{x) éprouve une solution de continuité du second ordre. En ce cas la tangente de la courbe MN (/g. 46) passant brusquement au point #72, de la direction »t à la direction m#!, la courbe a au point 7? ce que dans les arts graphiques

on appelle un Jarret, ce qu'on a proposé aussi d’ap-

peler un pornt saillant. Lorsque la solution de continuité du premier ordre affecte la fonction f"(x), et par suite les dérivées supérieures, de manière que f(x) n'éprouve qu’une solution de continuité du second ordre, on dira que f(x) éprouve une solution

de continuité du troisième ordre, et ainsi de suite.

426. On a déjà remarqué (70) qu’une courbe algébrique ne s’interrompt jamais brusquement dans son cours; d'où 1l résulte qu'une fonction algébrique ne peut éprouver de solutions de continuité du premier ordre, autrement qu'en acquérant une valeur infinie pour certaines valeurs de la variable dont elle dépend. Or, la dérivée d'une fonction algébrique est toujours une autre fonction algébrique. Si l’on désigne par y la fonction dérivée de y, et qu'on élimine y entre l'équation algébrique

F(x, JE 0 ;

délivrée de radicaux et de dénominateurs , et sa dérivée immédiate