LD 1E

tandis que la seconde branche a pour asymptotes l’axe des y dans le sens des y positifs, et l'axe des x dans le sens des x négatifs. En effet, tant que x est positif, la

fonction

va en décroissant indéfiniment pour des valeurs de x de plus en plus petites, et finalement s’évanouit avec x, tandis qu'elle tend à devenir égale à l’unité pour des valeurs de x de plus en plus grandes. Au contraire, lorsque x passe par des valeurs négatives, la même fonction croit au delà de toutes limites pour des valeurs numériques de x de plus en plus petites, au lieu qu'elle tend encore à devenir égale à l'unité pour des valeurs numériques de x de plus en plus grandes.

DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 329 La courbe LATE ps LM 1+e*

n’est pas dans le cas de la précédente, car la fonction y s'évanouit pour æ — 0, soit qu on fasse traverser à x une série de valeurs positives ou une série de valeurs

négatives. En passant aux fonctions dérivées, on a

re Ra NE Ÿ Si maintenant on pose x—0, on trouve y'—0 ou J'=1, suivant qu’on fait passer x par des valeurs positives ou par des valeurs négatives pour arriver à la limite zéro. L'origine des coordonnées est donc un point saillant de la courbe : la branche dont les abscisses sont positives venant toucher l’axe des x en ce point, tandis que la tangente à l’autre branche au

même point est inclinée de 45° sur cet axe.

151. On appelle séries convergentes celles qui satisfont à la condition que la somme de leurs termes converge de plus en plus vers une certaine valeur limite, à mesure que l’on prend un plus grand nombre

de termes : cette limite se nomme aussi la somme de

la série. Pour qu'une série d’un nombre infini de

termes dont la loi est donnée, et dans la composition desquels entre la variable x, soit censée déterminer

une fonction de x, il faut évidemment que cette série

converge vers une valeur limite, ou qu'elle ait une somme pour chaque valeur de x que l’on considère : soit que cette somme puisse s'exprimer en fonction de æ sous forme finie, c'est-à-dire au moyen d'un nombre fini de termes, à l’aide des signes algébriques ou des signes de fonctions transcendantes déjà définies indépendamment des séries, telles que les sinus et les logarithmes; soit qu’on ne puisse en calculer numériquement la valeur, pour chaque valeur numérique de x, que d'une manière approchée à l’aide de la série même; auquel cas la fonction exprimée par la série constitue une fonction transcendante d’une espèce nouvelle.

Une série peut n'être pas convergente dès ses premiers termes : il suffit qu’elle finisse par converger (quelque éloigné que soit dans la série le terme où la convergence commence) pour qu'on doive la considérer comme représentant une fonction déterminée qui en est la somme.

À proprement parler, on ne devrait appeler divergentes que les séries pour lesquelles les sommes qu'on obtient en prenant un nombre de termes de plus en plus grand, vont en divergeant, en ce sens que la différence d'une somme à la suivante, au lieu de tendre de plus en plus vers zéro, prend une valeur numérique de plus en plus grande. Telle est la série

AH Ha La etc.

pour les valeurs de x numériquement plus grandes que l'unité. Mais on a trouvé plus commode d'appeler divergente toute série qui n'est pas convergente et qui n’a pas de somme. Ainsi l’on dira encore que la série ci-dessus est divergente quand on assigne à x la valeur —1, auquel cas les sommes consécutives prennent alternativement les valeurs 1 et 0.

Une série dont tous les termes ont le même signe reste convergente ou divergente, dans quelque ordre que ces termes se succèdent; et si elle est convergente, la valeur limite vers laquelle la somme de ces termes converge reste aussi toujours la même. Au contraire, une série dont les termes se détruisent en partie par l'opposition de leurs signes, peut être convergente ou divergente selon l’ordre de succession des termes; et quand elle reste convergente malgré le changement d'ordre, lasomme peut varier avec l’ordre des termes. Nous avons vu (28) que l’idée fondamentale de l’algébre, ce qui établit le passage de l’arithmétique à l'algèbre proprement dite, c'est de faire abstraction de tout ce qui empêécherait de regarder comme parfaitement symétriques les opérations indiquées par les signes + et —., et les combinaisons de ces signes dans le calcul : en sorte que l’ordre de succession des termes d’un polynome soit réputé parfaitement indifférent, nonobstant le mélange des termes positifs et des termes négatifs. À cet égard déjà, les fonctions

transcendantes, définies par les sommes de séries con-

vergentes d’un nombre infini de termes, différent donc essentiellement des fonctions algébriques.

= De même que, dans le cours d’un calcul algébrique, on opère souvent sur des quantités imaginaires, pour arriver plus brièvement à des relations entre des quantités réelles, après que les signes d'imaginarité se sont détruits les uns les autres (30), de même les analystes n’ont fait, pendant longtemps, aucune difficulté d'opérer sur des séries divergentes, de manière à arriver finalement à des séries convergentes ou à des relations entre des quantités exprimées sous forme finie : mais par la suite trop d'exemples ont montré qu'on n'était pas autorisé à regarder comme rigoureux ce mode de procéder, fondé seulement sur l’analogie et sur un sentiment vague de la généralité de l’algébre , lequel peut induire en erreur ici, précisément à cause de la distinction déjà indiquée entre l'algèbre proprement dite et cette branche de l’arithmétique transcendante qui a pour objet les séries formées d’un

nombre infini de termes (109, note).

432. Une autre conséquence de cette distinction, ou un autre fait qui concourt à l’établir, c’est l’existence de solutions de continuité dans les fonctions définies au moyen de séries convergentes d'un nombre infini de termes. Pour en avoir un exemple, prenons l'équation du second degré en y

en vertu de laquelle y est une fonction algébrique de x, que nous mettrons sous la forme .

= (115) el

en ne relenant que Xe des deux racines pour la-

quelle le radical est affecté du signe —, ou la plus petite des deux racines positives lorsque a et x désienent des nombres positifs. La formule de Newton[27], étendue aux exposants fractionnaires , conduit à des séries d’un nombre infini de termes, et l’on a dans le

cas présent .

| 4x RU RES TRE MINE ATT ( nn we 2, (a Lx 12, 24° (a+x) nee (ARS HET) 2.4.6 (a+xÿ 2.4.6.8 (ax)

7relcr, d’où = ttes tete On peut prendre «a —1, et alors le développement

en série donne a [a]

tandis que, la quantité sous le signe radical dans l’é-

quation [c] devenant un carré parfait

la fonction y, définie par cette équation ou par la série [d], a pour valeur