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suivant que la valeur numérique de x tombe au-des-
ou bien
sous ou au-dessus de l’unité. La série reste convergente pour toutes les valeurs positives de x; car, lorsqu'on avance de plus en plus dans la série, le rapport d'un terme à celui qui le précède converge
vers la limite 4x
toujours numériquement inférieure à l'unité, quand x reste positif, et l'on sait que cette condition assure la convergence de la série. En vertu du même principe, la série est divergente pour les valeurs négatives de x qui tombent, abstraction faite du signe, entre les limites | AND URAN SaRrnn).
et convergente pour celles qui tombent en dehors de ces limites.
En conséquence, le lieu de l'équation [d | se compose de trois portions de lignes droites (Jig. 49) : l’une PM inclinée de 45° sur l'axe OX, terminée aux points M, P qui ont respectivement pour abscisses 1 et —(3—V2); les deux autres MN, QR parallèles a l’axe des abscisses, menées à une distance de cet axe égale à l'unité, et indéfiniment prolongées, la première dans le sens des abscisses positives, la seconde dans le sens des abscisses négatives : le cours
de celle-ci commençant au point Q qui a pour abscisse —(3-— V2). Les points P et Q sont des points de rupture et répondent à une solution de continuité du premier ordre; M est un point saillant qui répond à une solution de continuité du second ordre.
Il est aisé de voir que le développement en série dont il vient d’être question équivaut au calcul par approximations successives, indiqué au n° 56, et offre les mêmes solutions de continuité, sans préjudice de celles qui tiennent au défaut de convergence de la série. Les lecteurs versés dans l'analyse y reconnaîtront un cas particulier de la série dite de Lagrange, appliquée au calcul de la plus petite des racines d’une équation algébrique. Réciproquement , toute méthode pour calculer numériquement, par des approximations successives, les racines d’une équation algébrique en y; dontl’un des coefficients x serait censé passer successivement par plusieurs états de grandeur, équivaut à un développement en série; constitue comme le développement en série une définition transcendante de y en tant que fonction de x; et peut, à titre de définition transcendante, offrir des solutions de continuité par le passage d'une branche à l’autre, sur la courbe algébrique
qui aurait æ pour abscisse et y pour ordonnée.
433. Par conséquent, de même qu'il y a des définitions géométriques qui cadrent précisément, quant à l'étendue, avec des définitions algébriques, et d’au-
tres qui ne cadrent pas; ainsi les mêmes fonctions peuvent comporter à la fois une définition algébrique et une ou plusieurs définitions transcendantes; et ces diverses définitions peuvent cadrer ou ne pas cadrer entre elles quant à l'extension. En d’autres termes, la même définition transcendante peut convenir entre de certaines limites à une certaine fonction algébrique, entre d’autres limites à une autre fonction algébrique, ou bien convenir suivant les limites à diverses fonctions transcendantes autrement définies. Ces convenances et ces disconvenances sont tout à fait analogues aux convenances et aux disconvenances entre les définitions géométriques et algébriques, dont la dis-
cussion a fait le principal objet de ce livre. 45/4. Les trois fonctions transcendantes
COST, Sinx, €”
(dont les deux premieres tirent leur définition élémentaire de la géométrie, tandis que nous venons de définir la troisième, en partant de l’idée d’une intercalation toujours possible entre les termes de deux progressions qui se correspondent) peuvent être aussi
définies directement au moyen des séries; car on a
cosz— 1 — ue 1 NUE SIN Z = + — ms TT etc., [e]
; An ist tete
DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. So
et au lieu de tirer des propriétés des fonctions cos x, sinx, e” ces développements en séries, par des procédés que l’on trouve dans tous les traités élémentaires, on peut très-bien partir des séries, comme des définitions de trois fonctions distinctes, et prouver, par la forme des séries, les propriétés dont jouissent les fonctions ainsi définies, par exemple la périodicité des deux premières. Ces trois séries sont convergentes pour toutes les valeurs finies de x; et de plus les définitions transcendantes tirées des séries cadrent justement, pour toutes les vâleurs de x, avec les précédentes définitions des fonctions cosæ, sinx, e” : ce qui n'est pas une suite nécessaire du maintien de la convergence, d’après ce qu'on a vu plus haut.
Les trois équations Le] donnent
cos x - ÿ—1.sinx —e"", A
relation qui cadre avec la formule de Moivre (104), et qui peut en fournir au besoin la démonstration directe. Une telle relation n’a pas de sens, tant qu’on se tient à la définition ordinaire de la fonction exponentielle : car on ne sait ce que c'est que d'élever le nombre e à une puissance d'un degré marqué par un exposant imaginaire , et l'on ne conçoit pas mieux l'intercalation de valeurs imaginaires entre les termes des progressions [B] du n° 429 ; mais la relation acquiert un sens précis lorsque l’on donne pour défini-
tion de la foncuon symboliquement désignée par e”
d’être la somme de la série formant le second membre de la troisième équation [e|. Rién n'empêche en effet d'attribuer à la variable x une valeur imaginaire &/—1 dans chacun des monomes algébriques dont cette série se compose : la somme des termes réels converge vers une valeur numérique a; la somme des termes imaginaires converge vers une valeur 4 ÿ—1; et les nombres a, à ne sont autre chose, en vertu des deux premières équations [e], que les fractions cosa, Sin «.
Ainsi les deux définitions transcendantes de la fonction e*, déjà données jusqu'ici, quoique cadrant pour toutes les valeurs réelles de la variable +, ont ceci d'essentiellement différent, que l'une s'étend et que l’autre ne s'étend pas aux valeurs imaginaires de la variable. Il en est de même pour les fonctions cosx, sinx; et dès lors toute définition transcendante par des séries d’un nombre infini de termes, dans la composition de chacun desquels n'entrent que des fonctions algébriques de la variable, ou des fonctions circulaires ou exponentielles , ou leurs inverses, est susceptible de s'étendre aux valeurs imaginaires de la variable ; lors même que ces fonctions admettraient d’autres définitions transcendantes, aux termes desquelles l'extension aux valeurs imaginaires n'offre aucun sens.
D'après cela, nous pouvons compléter la discus-
sion du lieu donné par les équations [c] du n° 124; et
d'abord, si nous changeons de variable indépendante,
en posant cos®—u, ces équations prendront la
forme :
An, r? uV1—1 OR T0 ArC COS Y er on. («I 1 — 1 —— . Jr "arc cos a ;
Or, l'équation | f | donne
LE = . log(cosx + V—1 . sin æ);
ul \ ? ni d'où l’on tire, en remplaçant x par arc cosu,
arc COS = log(u y —1),
ce qui transforme les équations [4] dans les suivantes :
PANNE] NET tous 2 PONT
à a log(u+ V1)” [ua] ER a Eu mu log(uLyu—1)
Sous cette forme elles conviennent aux valeurs de w numériquement >> 1 : tandis que sous la première forme (la seule conciliable avec le sens géométrique du problème qui nous a conduits à ces équations) elles conviennent aux valeurs de 4 numériquement inférieures à l'unité.
On ne peut guère trouver d'exemple plus frappant de l’intime union des fonctions exponentielles et circulaires que dans ce problème, où la même ligne,
coupant sous un angle fini aux points £, { le cercle
primitivement donné (is. 42 et 43), est représentée par le système des équations [4] pour la portion située hors du cercle, et par le système des équations [w] pour la portion incluse dans le cercle, la seule qui corresponde (et dans une partie seulement de son étendue ) à la question géométrique proposée. IL faut d’ailleurs remarquer que les équations [4] ont plus de généralité que les équations [c] du n° 424 dont elles dérivent, à cause de l'ambiguïté du signe radical, par la même raison que l'équation [a] du n° 128 a plus de généralité que la définition géométrique de la cycloïide.
455. Il est contre la nature de la fonction logx de pouvoir se développer, à la manière de son inverse e”, dans une série procédant suivant les puissances posi-
tives et entières de x; mais on a cette autre formule
Laurel x!
log(+x) = He — 7 etc. [9] qui ne conduit à une série convergente que pour les
valeurs de x comprises entre —1 et +1. On en tire
etre ( mé R JF oBUI-Hu)—log(1-Es :)
u LORS 0 A fs Ad ÉD —u—>—ÿ (—)+4 des) AE rer
Au rebours de ce que nous avons vu tout à l'heure, cette nouvelle série est divergente pour toutes les va-
leurs réelles de #, en sorte que la définition d'une
fonction par cette série ne peut pas s'appliquer aux
DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 941 valeurs réelles de la variable ; mais, si l’on attribue à & la valeur imaginaire eY—1, il vient
logu—1y —1, U" — À en ms — 2V —1 .sin rx :
d’où, après la suppression du facteur commun 2V—1,
 AY : À : L f = des 8 =
Lxsinx— sin 2r+fsin3r—7%sin4rtetc.
Cette dernière série est convergente quel que soit x;
mais elle n’a pour somme x, que quand la valeur de x tombe entre les limites —{7et{r. Le lieu de l'équation
y=sinx—#sin 2x —++tsin3z—fsmA4r+ etc.
est un système de portions de droites parallèles ( /ig. 50)
