Ainsi en possession d’un mode de représen

RÉSUMÉ. 394 tation graphique, approprié à des grandeurs et à des fonctions continues quelconques, nous pouvons le concevoir appliqué aux fonctions déterminées par des équations algébriques : ce qui nous donnera des lignes qu'on peut appeler algébriques, en réservant l'épithète de géométriques aux lignes dont la définition résulte de conditions géométriques, comme seraient celles de passer par un point donné et de couper sous un angle constant toutes les droites passant par un autre point donné. En fait, une multitude de lignes qui tirent leur origine de la. géométrie, ou qu'on peut définir par la pure géométrie, ne sont pas des lignes algébriques. Réciproquement, il nous a paru convenable de ne réputer géométriques, parmi les lignes algébriques, que celles qui peuvent être individuellement définies par la pure géométrie : bien quelles jouissent toutes de certains caracteres généraux que l’on peut énoncer géométriquement, et en considération desquels des auteurs justement accrédités les qualifient toutes de géométriques. Mais, à quelque opinion que l'on s'arrête sur ce point de classification , il y a incontestablement des lignes qui sont à la fois géométriques et algébriques, et parmi ces lignes celles dont l’idée sert de point de dé-

part à toutes les spéculations du géomètre : la ligne

droite et le cercle. Les relations arithmétiques qui

constituent les théorèmes de Thalès et de Pythagore,

étant exprimées en algèbre, fournissent immédiate-

RU 392 CHAPITRE XVI. | > ment les équations de la ligne droite et du cercle; et l'extension que l’algèbre donne aux énoncés arithmétiques, par le jeu des signes, cadre précisément avec les notions géométriques de la ligne droite et du cercle. L’équation algébrique de la ligne droite convient à la droite indéfiniment prolongée de part et d’autre d'un * point ou d’une origine arbitraire, prise sur la droite, comme le requiert la notion de la ligne droite; et l'équation algébrique du cercle convient, comme le requiert la notion du cercle, aux quatre quadrans dans lesquels le divisent deux axes rectangulaires, menés par le centre du cercle suivant des directions arbitraires.

457. Or, les théorèmes de Thalès et de Pythagore sont les fondements d’une multitude d’autres qui peuvent s’en déduire par le calcul, sans synthèse nouvelle. Pareillement, les équations de la ligne droite et du cercle conduiront, si l'on veut, par l’enchainement des déductions analytiques, sans autre syn-. thèse ou construction nouvelle que celle qui consiste à généraliser dans l'espace la conception des coordonnées rectangulaires, aux équations du plan, de la sphère, du cône, du cylindre, et des lignes qui sont données au moyen de l'intersection de ces surfaces les unes par les autres, notamment aux équations des lignes connues sous le nom de sections

coniques. Il en résulte que la concordance primitive,

signalée tout à l'heure, devra subsister, par la seule force de l'analyse, dans toute cette branche des mathématiques que l’on appelle proprement géométrie analytique, et qui a pour objet les affections des lignes et des surfaces que l’on peut ainsi définir géométriquement et algébriquement, en les rapportant à des coordonnées rectangulaires que lient entre elles des équations algébriques. En conséquence, les branches de courbes, les nappes de surfaces, associées par la définition géométrique, le seront par l'équation algébrique; et lorsqu'on résoudra par des intersections de lieux géométriques les problèmes d'analyse déterminée, le nombre des racines associées algébriquement dans l'équation finale, cadrera exactement avec le nombre des solutions que comporte le problème géométrique, si l'énoncé est convenable.

Quand on applique l'algèbre à des questions de géométrie, de la série de celles dont nous parlons, soit qu'il s'agisse de la discussion des propriétés des lieux géométriques, ou de résoudre des problèmes d'analyse déterminée, on n emploie pas toujours la méthode des coordonnées rectangulaires; on prend souvent d’autres coordonnées, d'autres inconnues, qui sont ou qui paraissent être plus immédiatement appropriées à l’espèce de la question; mais les coordonnées ou les inconnues choisies peuvent toujours être considérées comme des fonctions des coordonnées qu'on pren-

drait pour variables où pour inconnues, si l'on em-

ployait dans tous les cas, d’une manière directe et uniforme, la méthode des coordonnées rectangulaires. En tenant compte de cette remarque, on trouve l'explication systématique et régulière de toutes les exceptions ou anomalies apparentes ; on voit qu'elles sont des conséquences des principes mêmes de l’algebre; et que les discordances accidentelles, dans ce mode d'application à la géométrie, mode que nous qualifions d’indirect, sont une suite nécessaire de la concordance fondamentale dans le mode d'application que nous qualifions de direct, et où l’on procède uniformément par l'emploi des coordonnées rectangulaires. Entrer dans plus de détails à cet égard, ce serait reproduire les développements qui ont fait

l'objet de nos précédents chapitres.

458. Si maintenant nous sortons de la série des propositions géométriques considérées jusqu ici, et qui toutes peuvent être considérées comme des corollaires algébriques des théorèmes de Thalès et de Pythagore, pour entrer dans des applications d'un autre ordre, qui requièrent des synthèses nouvelles, telles que celles qui ont pour objet les quadratures, les cubatures , les rectifications , il faudra voir, dans chaque ordre d'applications, pour chacune de ces synthèses que nous qualifions de primitives ou d’irréductibles, s’il en résulte entre la géométrie et l’algebre une con-

cordance ou une discordance fondamentale , sauf à

suivre dans les développements par l'analyse, comme nous l'avons fait pour la série précédente, les conséquences algébriques de l’accord ou du désaccord fondamental. En fait, nous avons constaté de telles discordances fondamentales . et nous en avons suivi les conséquences dans certaines applications particulières :

ce qui a complété la revue que nous nous étions pro-

posé de faire.

Remarquons en outre que les problèmes dont nous venons de parler sont essentiellement du ressort du calcul intégral; et que, s'ils conduisent en certains cas a des calculs algébriques , ce nest qu'accidentellement : parce qu'il n arrive qu'accidentellement qu’une intégrale puisse s'obtenir algébriquement, c’est-à-dire qu'une fonction dont on a la définition transcendante par une intégrale, comporte en même temps une définition algébrique. Et encore, lorsque cette circonstance se présente, il arrive souvent que les deux définitions, algébrique et transcendante, ne cadrent pas dans toute leur étendue; que la définition transcendante qui convient à une fonction algébrique entre des limites déterminées, convient au dela de ces limites à d’autres fonctions algébriques. Les mêmes fonctions peuvent être définies par des intégrales de diverses formes, ou comporter des définitions transcendantes d’une autre sorte, comme celles qui résultent des développements en séries convergentes d’un nombre in-

fini de termes. Ces diverses définitions transcendantes

des mêmes fonctions ont pour caractère commun d'impliquer, chacune à sa manière, la considération des limites ou de l'infini; mais en général on ne peut pas leur attribuer la même étendue : les unes admettent des restrictions ou subissent des solutions de continuité que les autres n’admettent ou ne subissent pas; et dés lors il est tout simple que des définitions transcendantes ne cadrent pas dans toute leur étendue avec les mêmes définitions géométriques; ou que, les unes et les autres coïncidant dans toute leur étendue, elles ne coincident que dans une portion de leur étendue

avec certaines définitions algébriques.

459. Enfin il est intéressant de remarquer que ces problèmes de géométrie, qui ressortissent du calcul intégral, c'est-à-dire de l’une des branches de la logistique transcendante, appartiennent à la géométrie dimensive, üont l'objet direct est la mesure des grandeurs géométriques , longueurs, aires, volumes, etc. : tandis que cette autre partie de la géométrie, qui est dans une corrélation remarquable avec l'algebre, à laquelle convient par excellence le nom de géométrie analytique, quand on la traite par l'algèbre à la faveur du système des coordonnées rectangulaires, rentre dans la géométrie descriptive, ou dans cette partie de la doctrine géométrique qui a pour objet la situation et la forme, la génération des lignes et des

surfaces par des mouvements continus, la recherche

FF : «158 SRMNES cl

des affections des lignes et des surfaces ainsi engendrées, et où l’on n'emploie qu'auxiliairement, pour une telle recherche, la considération des grandeurs et des mesures , suivant ce que nous avons indiqué dès le commencement du chapitre II de cet ouvrage. Or, un contraste de même nature existe entre la logistique transcendante, où l'on n'est jamais autorisé à perdre de vue la nature arithmétique des quantités, où toutes les questions portent sur des valeurs numériques , où toutes les vérifications ne peuvent se faire qu'avec des nombres (440); et l'algèbre proprement dite qui porte sur des relations d'ordre, de combinaison et de forme, sur des résultats indépendants des valeurs numériques, et qu'en général on pourrait vérifier sans avoir besoin d'attribuer aux symboles des valeurs numériques particulières.

Ainsi, non-seulement les concordances et les discordances peuvent se rattacher à des chefs généraux, se classer et s'enchaîner logiquement, mais au fond la distinction même des chefs de concordance et de discordance se rattache à une corrélation fondamentale dont nous pouvons entrevoir la raison philosophique, tenant à ce que les nombres et l'étendue figurée manifestent à leur manière les mêmes idées fondamentales dont le type est dans la théorie générale de l’ordre; ce qui nous met sur la voie du sens voilé, mais pro-

fond, de ce mot de Pascal : « La nature s'imite..…….

les nombres imitent l'espace, qui sont de nature si différente *. » |

460. Quelle que soit d’ailleurs la valeur qu'on veuille accorder à ces dernières remarques, nous croyons que la théorie dont nous venons d'offrir le résumé succinct, et qui n'avait pas encore été donnée (quoique, dans la multitude d’écrits que le sujet a fait naître, on doive s’attendre à trouver des traces d'idées qui s’y rapportent), fournit une explication régulière et systématique de toutes les particularités d'accord et de désaccord entre la géométrie et l'algèbre. Par là nous nous imaginons avoir contribué, dans la mesure de nos forces, à satisfaire ce besoin de l'esprit qui le pousse à s'enquérir de la raison des choses, à tâcher de mettre de l’ordre dans les choses qui se présentent avec un désordre apparent. Mais en avouant cette prétention, beaucoup trop ambitieuse peut-être, nous nous garderons de comparer notre travail à celui qui a pour objet l'extension de la science positive, par la découverte de théorèmes démontrables et démontrés. Nous avons au contraire assez insisté pour faire sentir en

quoi diffèrent le perfectionnement philosophique de la

*T.I, p. 202, de l'édition des Pensées, d’après les manuscrits autographes, donnée en 1844 par M. Prosper Faugère. Ce fragment est du nombre de ceux qu’avaient écartés tous les précédents

éditeurs.