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dans certaines propriétés des nombres. Tous ces liens peuvent être partiellement et successivement indiqués ; les systématiser synoptiquement ou les exprimer dans

une classification, paraît chose impossible.

449. Il n’est guère plus aisé de donner du système une définition proprement dite, uniquement tirée de la nature de l’objet, qu'il ne l’est de définir et de classer les diverses parties du système. Les mathématiques pures ont pour objet les idées de nombre, de grandeur, d'ordre et de combinaison, de chances, d'étendue, de situation , de figure, de ligne, de surface, d’inclinaison, et même les idées de temps et de forces, quoique, pour celles-ci, on ne puisse pousser bien loin la construction scientifique, sans recourir à des données de l'expérience. Toutes ces idées s’enchaïnent et se combinent de diverses manières, et donnent lieu à des rapprochements, souvent très-inattendus, comme lorsqu'on voit figurer dans l'évaluation des chances de la reproduction d’un événement, le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre. Mais ces idées ont-elles un caractère commun qui rende raison de leur association en un tout, et dont l'idée soit l'idée . même des mathématiques prises dans leur ensemble ? On n’a pas eu de peine à apercevoir que les lignes, les surfaces , les angles, les forces, etc. sont des grandeurs mesurables, et l’on en a tiré cette définition

vulgaire, d’après laquelle les mathématiques sont les

sciences qui traitent de la mesure ou des rapports des orandeurs; mais, avec un peu plus d'attention, on remarque qu'une foule de théorèmes sur les nombres (la plupart de ceux qui composent la théorie des nombres proprement dite) peuvent être conçus indépendamment de la propriété qu'ont les nombres de servir à la mesure des grandeurs; qu'une multitude de théorèmes de géométrie (ceux qui composent la géométrie descriptive proprement dite, par opposition à la géométrie dimensive) seraient parfaitement intelligibles , quand même on ne considérerait pas les lignes, les angles, etc., comme des grandeurs mesurables ; que dans l'algèbre, enfin, les symboles algébriques peuvent souvent dépouiller toute valeur représentative de quantités réelles ou de grandeurs, sans que les formules cessent d'avoir une signification. De là une conception philosophique clairement exprimée par Descartes, que Leibnitz n'a point négligée, et qu’en dernier lieu M. Poinsot a reproduite avec des développements très-dignes de fixer l'attention des géomètres, conception d’après laquelle les spéculations mathématiques auraient pour caractère commun et essentiel de se rattacher à deux idées ou catégories fondamentales : l’idée d’orpre, sous laquelle on peut ranger comme autant de variétés ou de modifications spécifiques, les idées de situation, de configuration, de forme et de combinaison; et l’idée de eranDEuR, qui

implique celles de quantité, de proportion et de me-

sure *. Au lieu donc de cette unité systématique qu'il est dans la nature de l'esprit humain de rechercher, et que la définition vulgaire des mathématiques semble promettre, nous tombons sur un cas de dualité (77), à moins que nous ne nous élevions à des abstractions plus hautes et à des systèmes plus hardis, en considérant avec Leibnitz l’espace comme l'ordre des phénomènes simultanés, le temps comme l'ordre des phénomènes successifs : auquel cas toute spéculation mathématique se rattacherait médiatement ou immédiatement à l’idée d'ordre, et l’unité systématique se-

rait rétablie.

* « Atqui videmus neminem fere esse, si prima tantum scho- « Jarum limina tetigerit, qui non facile distinguat ex lis quæ occur- « runt, quidnam ad mathesim pertineat, et quid ad alias disciphi- « nas. Quod attentius consideranti tandem innotuit , illa omnia « tantum, in quibus orpo vel mENsuRA examinatur, ad mathesim « referri, nec interesse utrum in numeris, vel figuris, vel astris, « vel sonis, aliove quovis objecto talis mensura quærenda sit; ac «proinde generalem quamdam esse debere scientiam, quæ id omne « explicet, quod circa oRDINEM et MENSURAM nulli speciali materiæ « addicta quæri potest, eamdemque, non adscititio vocabulo, sed « jam inveterato atque usu recepto, mathesim universalem nomi- « nari, Quoniam in hac continetur illud omne, propter quod aliæ « scientiæ et mathematicæ partes appellantur. » (Descartes, Regulæ ad directionem ingenii, reg. 1v.)

« Quoi qu’il en soit, vous voyez que les mathématiques nous offrent par tous ces deux objets de spéculation : d’un côté, la gran-

deur ou la quantité, c’est-à-dire la proportion ou la mesure des

#0 & 4 Me Q

450. Mais nous ne nous proposons pas de faire de telles excursions dans la région des abstractions de la métaphysique, et si loin du terrain des sciences positives. En nous tenant à la distinction posée par Descartes, nous devons fixer l'attention sur un fait trèsdigne de remarque, à savoir que, pour les applications aux phénomènes de la nature, les spéculations mathématiques dont l'importance est sans comparaison la plus grande, sont certainement celles qui portent sur la proportion ou la mesure des grandeurs : de sorte que la plupart des autres spéculations de mathématiques pures (et notamment celles qui ont pour objet ces propriétés des nombres dont nous avons tant

grandeurs ; de l’autre, le zombre, l’ordre et la situation des choses, sans aucune idée de mesure ou de quantité. De sorte que les mathématiques, considérées de la manière la plus générale, pourraient être définies la science qui a pour objet le NOMBRE, l’ORDRE et la mesure. » (Pomsor, Réflexions sur les principes fondamentaux de la théorie des nombres, p. 5.)

Ces deux passages, pris dans leur ensemble, tendent à établir la même division bifide, quoique M. Poïnsot ait placé en dernier lieu

une troisième catégorie, celle du nombre, à côté des catégories de

l’ordre et de la mesure, et que Descartes ait dit au contraire avec précision qu'on peut indifféremment faire aux nombres ou à l’etendue figurée l'application des deux catégories fondamentales. C’est à tort qu’on a cru trouver le germe de cette distinction catégorique dans Aristote (Métaph., liv. XI, chap. m1), ainsi que le prouve la lecture attentive du texte, qu’il nous paraît utile de

transcrire 101.

parlé) sont avec raison, à ce point de vue, réputées de pure curiosité, et ne cessent de paraître telles que lorsque, pouvant faire avancer la théorie de la mesure des grandeurs, elles sont ou promettent d’être médiatement utiles à l'interprétation des phénomènes naturels.

Aussi, tandis que les philosophes, depuis Pythagore jusqu'à Kepler, avaient cherché vainement dans des idées d'ordre et d'harmonie, mystérieusement rattachées aux propriétés des nombres purs, l'explication des grands phénomènes cosmiques (4), la vraie physique à été fondée le jour où Galilée, rejetant des spéculations depuis si longtemps stériles, a conçu l'idée, non-seulement d'interroger la nature par l'expérience, comme Bacon le proposait de son côté, mais de préciser la forme générale à donner aux expériences, en leur assignant pour objet immédiat la mesure de tout ce qui peut être mesurable dans les phénomènes naturels. Et pareille révolution a été faite en chimie un siècle et demi plus tard, lorsque Lavoisier s'est avisé de soumettre à la balance, c’est-à-dire à la mesure, des phénomènes dans lesquels on ne songeait généralement à étudier que ce par quoi ils se rattachent aux idées de combinaison et de forme. C’ést cette même direction que l’on poursuit dans l'étude de phénomènes bien plus compliqués encore, quand on tâche de mesurer par la statistique tout ce qu'ils

peuvent offrir de mesurable.

Il faut reconnaître en même temps que dans les mathématiques, considérées comme un corps de doctrine abstraite, indépendamment de toute application aux lois des phénomènes physiques, les parties dont l'organisation logique a recu le plus de perfection , celles qui ont été soumises aux méthodes les plus générales et les plus uniformes, et qui finalement ont donné lieu à la construction d'une langue, réputée la plus parfaite de toutes, sont précisément celles qui concernent la grandeur ou la quantité ; d'où il est résulté : 4° qu'on a imaginé, autant qu on l’a pu, des méthodes pour ramener artificiellement à des problèmes sur les grandeurs ou les quantités, des problèmes qui portent directement sur l’ordre, la situation ou la forme, et notamment les problèmes de géométrie descriptive à des problèmes de géométrie dimensive ; 2° qu’à défaut de telles méthodes, les questions à résoudre ont exigé un surcroît de sagacité pour trouver la solution, ou pour démontrer simplement ce qui comportait en effet une démonstration simple, et ce qui n’avait été ob-

tenu d’abord qu à l’aide de considérations détournées.

A51. Là est le fondement réel de la distinction entre la synthèse et l'analyse, telle que les géomètres l’entendent et doivent l'entendre, dans l’état présent de la doctrine. Nous ne reproduirons pas ici toutes les théories des logiciens sur la nature et sur le contraste

de ces deux opérations de l'esprit, ni tout ce qu'ont

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES. E YLT à

dit à leur tour les géomètres, pour accommoder à leur science les théories générales des logiciens *. Nous adopterons tout d’abord la distinction que Kant a faite entre les jugements analytiques et synthétiques : distinction lumineuse et simple, si on la dégage des formes scolastiques dans lesquelles s’est trop complu ce grand logicien.

En effet, quand nous étudions un objet, nous pouvons partir de certaines propriétés de l'objet, exprimées par des définitions; puis, sans avoir besoin de fixer davantage notre attention sur l’objet, en.ayant soin seulement de ne point enfreindre les règles de la logique, arriver à des conclusions ou à des jugements que Kant qualifie d’analytiques , qui éclaircissent et développent la connaissance de l’objet plutôt qu'ils ne l'étendent, à proprement parler : car on était censé nous donner implicitement, avec les notions exprimees par les définitions d'où nous sommes partis, toutes les conséquences que la logique est capable d'en tirer. Ou bien, au contraire, nous pouvons avoir besoin de laisser notre attention fixée sur l'objet

même, pour trouver, soit par expérience, soit par

. * Consultez notamment la Logique de Port-Royal, les ouvrages de Condillac et de Kant, l’article 4ralyse par d’Alembert et Condorcet dans le Dictionnaire de Mathématiques de l'Encyclopédie, les réflexions mises par Lacroix en tête de la première édition de ses Éléments de Géométrie, les écrits de Carnot, de M. Poinsot et de M. Chasles.

Méhéhs

quelque considération ou construction que la nature de l’objet nous suggère, une propriété de cet objet qui n’était pas implicitement contenue dans les termes de la définition, qui ne pouvait pas en être tirée par la force de la logique seule. Les jugements par lesquels nous affirmons l'existence de telles propriétés dans l'objet, sont ceux que Kant qualifie de synthétiques, et qui véritablement étendent la connaissance que nous avons de l’objet. La synthèse est empirique, S'il nous faut recourir à l'expérience pour obtenir cet accroissement de connaissance : dans le cas contraire, la synthèse est dite a priori; et cette dernière synthèse est celle que l’on pratique en mathématiques pures.

Par exemple, je veux prouver que deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un côté égal et deux angles adjacents égaux chacun à chacun; et pour cela, j'imagine de placer les deux triangles l’un sur l’autre de manière que les côtés et les angles égaux coincident : après quoi il suffit de se reporter à la notion ou à la définition du triangle, pour reconnaitre que ceci en traine la coïncidence des autres parties. Cette synthèse | ou construction idéale était nécessaire pour rendre manifeste la proposition énoncée; elle fait l'essence et la force probante de la démonstration.

Je veux prouver que deux lignes droites À, B, situées d’une manière quelconque dans l’espace, sont

coupées par trois plans parallèles en parties propor-

tionnelles; et pour cela j'imagine ou je construis idéalement une troisième droite C, joignant un point de la droite À à un point de la droite B. On a déjà prouvé que les droites A'et C qui se coupent, sont coupées par les trois plans parallèles en parties proportionnelles ; la même proposition est valable pour les droites C et B; et par l'intermédiaire de la droite C construite auxiliairement, la proposition se trouve ainsi étendue aux droites A et B situées dans l’espace d’une manière quelconque. Peu importe que la construcüon soit indiquée ou non par une figure; l'essentiel est qu elle se fasse par la pensée ; et pour cette synthèse idéale , il faut la contemplation de l’objet même; il ne suffit pas de se laisser aller aux déductions de la logique.

De pareilles synthèses ont lieu dans la théorie des nombres comme dans celle de l'étendue figurée. Ainsi, au n° 4, pour prouver que le produit de » parn est identique au produit de x par », nous avons imaginé diverses manières de grouper les unités du produit; et la conception de ces groupements divers, qu'ils soient ou non rendus sensibles par des images, est une véritable synthèse ou construction idéale, donne lieu à un jugement synthétique, dans le sens qui vient d'être expliqué.

Que si je veux généraliser cette proposition en prouvant qu on peut, dans le produit »#npq....., 1n-

tervertir d'une manière quelconque l’ordre des multi-

plications, je le ferai à l’aide d’un raisonnement qui sans doute s'appuie encore sur une construction ou une synthèse : mais cette synthèse n'est plus fournie par la contemplation des nombres et de leurs propriétés ; car le même raisonnement serait valable pour des différentiations successives, comme il l’est pour des multiplications successives; et en général il sera valable toutes les fois que le résultat indiqué par la caractéristique 722 équivaudra au résultat indiqué par la caractéristique 2 : de sorte que la généralisation dont il s’agit pour le moment tient à la théorie de

l'ordre plutôt qu'à la théorie des nombres.

452. Or, si l'on a appelé procédé synthétique celui qui consiste à tirer successivement, de la contemplation de la nature spéciale de l’objet, les constructions propres à manifester les vérités qu'on a en vue d'établir, il conviendra d'appeler par opposition procédé analytique celui qui consiste à définir l’objet une fois pour toutes, et à tirer ensuite de cette définition toutes les propriétés de l'objet, en appliquant des règles fournies par une théorie plus générale : par exemple, s'il s’agit d'un objet géométrique, en appliquant des règles qui conviennent, non-seulement aux grandeurs géométriques, mais à des grandeurs quelconques.

C'est en ce sens que les géomètres ont été amenés

à faire usage des térmes d’analyse et de synthèse; et

cet usage qui doit pouvoir s'expliquer comme tous les faits du langage, s'explique et se justifie à certains égards, si eu effet nous avons bien saisi, d’après Kant”, le caractère important par lequel contrasient

les deux procédés généraux que l'esprit peut suivre

* Après que nous avons tâché de faire ressortir le mérite de l’idée de ce philosophe, il doit nous être permis de critiquer l'usage qu'il en a fait pour opposer les mathématiques , toujours fondées suivant lui sur une synthèse a priori, aux spéculations métaphysiques qui ne consisteraient qu’en jugements analytiques. I a méconnu, d’une part, que l’induction fournit au jugement, en | fait de spéculations philosophiques , la base que lui fournit l'expérience ou la synthèse empirique , en fait de spéculations sur les lois du monde sensible; d’autre part, que les mathématiques n’ont pas moins besoin de l'analyse que de la synthèse, dans l’acception même qu’il donne à ces termes. Le caractère distinctif du corollaire, c’est d’être implicitement donné avec la proposition ou les propositions dont il résulte, et d'en pouvoir être tiré analytiquement, sans synthèse nouvelle ; mais la tâche de mettre en relief certains corollaires n’en est pas moins importante. Les résultats d’un calcul sont implicitement contenus dans les données du calcul, ce qui ne détruit pas le mérite du calcul. L'organisation des méthodes, en mathématiques comme dans les autres sciences , a pour but d'économiser le travail

du jugement synthétique ; et c’est en mathématiques qu’on a les | plus beaux exemples de telles méthodes.

Leibnitz qui ne le cédait assurément pas à Kant comme philosophe, et qui de plus était un grand géomètre, a voulu distinguer les mathématiques de la métaphysique , en ce que, suivant lui, les mathématiques seraient fondées sur le principe d’identité, et la mé-

taphysique sur le principe de la raison suffisante. Nous contestons

* de Le EPS EN? L'INFINI TETE RS, a LR + LR A OP ENS OO NT ET | D TAANTS rs ” 4 & f < ‘ à y]

dans la recherche de vérités inaperçues ou dans la démonstration de vérités acquises. Les géomètres entendent par analyse, dans l’acception du terme la plus large et la plus usitée, l’algebre et toutes les branches du calcul des grandeurs, à l’aide de signes généraux qui ont fait disparaitre toute trace de ce qu'il y avait de spécial et de particulier dans la nature de ces grandeurs : de manière qu'on ne retient même le plus souvent, parmi les propriétés des nombres, que celles qui peuvent s'étendre à des valeurs quelconques, entières ou fractionnaires, rationnelles ou incommensurables. Les règles du calcul une fois assises sur un petit nombre de propriétés fondamentales des grandeurs , le calcul devient une langue , un instrument logique qui fonctionne pour ainsi dire de lui-même, sans que l'attention ait besoin d’être fixée sur autre

encore cette distinction. Si, pour prouver la règle du parallélogramme des forces, on s'appuie sur cet axiome, que la résultante de deux forces égales est dirigée suivant la bissectrice de l’angle des forces , parce qu’il n’y aurait pas de raison pour qu’elle inclinât plus vers une composante que vers l’autre, on n’aura pas plus empiété sur le domaine de la métaphysique, que lorsqu'on s’appuie en géométrie sur cet axiome, que la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre. Nous persistons à penser que le caractère distinctif des mathématiques doit se tirer de ce qu’elles ont pour objet des vérités que la raison saisit sans le secours de l’expérience , et qui néanmoins comportent toujours la confirmation de

l'expérience."

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chose que sur le maintien constant des règles du calcul. On devra appeler en conséquence, et l’on appelle effectivement géométrie analytique une méthode pour résoudre les problèmes de géométrie ou certaines classes de problèmes de géométrie; pour démontrer certaines séries de propositions géométriques, en exprimant d’abord, à l’aide d’une synthèse préliminaire, les propriétés caractéristiques de l’objet que l’on considère : de façon que toutes les autres propriétés puissent s'en déduire par les seules forces du calcul, et qu'on puisse ensuite faire abstraction de l’objet considéré, pour s'appliquer entièrement à résoudre les difficultés de calcul, s’il s'en présente. On appellera mécanique analytique une méthode pour traduire d’un seul coup en analyse les conditions d'équilibre ou de mouvement, tenant à la nature spéciale des grandeurs qui figurent en mécanique : de manière qu'après cette traduction préliminaire on n'ait plus qu'à appliquer les règles générales du calcul; et ainsi de suite. L'avantage de la méthode analytique ainsi définie consiste principalement dans la généralité et la régularité de ses procédés : tandis que les procédés synthétiques qui ne nous font jamais perdre de vue l'objet spécial de nos recherches , permettent de saisir le caractère le plus immédiatement applicable à la manifestation de la propriété qu'on a en vue, et ont souvent sur les procédés analytiques l'avantage de la sim-

plicité et de la briéveté.

453. On peut ranger les questions de géométrie en autant de séries ou sous autant de chefs distincts, qu'il faut de constructions ou de synthèses distinctes pour fournir au calcul les matériaux de com- binaisons ultérieures. Ainsi, après que les théorèmes de Thales et de Pythagore ont été établis à l’aide d’une synthèse convenable, il y a une foule de théorèmes, parmi ceux mêmes qu'on a coutume de démontrer synthétiquement dans tous les traités de géométrie, qui peuvent s'en déduire par le calcul, et qui, en ce sens, n'en sont que de simples corollaires : mais, si l’on veut passer à la mesure des aires, il faudra absolument une construction ou une synthèse nouvelle, qui deviendra Ja souche d’une multitude d’autres corollaires analytiques, et de laquelle, si on lui a donné la oénéralité convenable, on pourra, par l'analyse, tirer des théorèmes qu'on est dans l'usage de démontrer synthétiquement, par exemple ceux qui donnent l'aire du triangle, du trapèze, du cercle, etc. (11/4). En indiquant une telle classification des théories géomé- triques, on ne peut avoir pour but de remplacer par des applications de formules abstraites, des constructions très-simples et parfaitement appropriées aux besoins de l’enseignement élémentaire : mais on a en vue de rendre raison de certaines connexions entre les faits géométriques que le calcul rattache à la même synthèse, parmi celles que l’on peut appeler primitives

et irréductibles.

45/4. Nous nous trouvons ainsi ramenés à ce qui a fait l'objet principal de cet ouvrage, à l'explication des concordances et des discordances que l'algèbre et la géométrie présentent, quand on applique l'algèbre aux questions de géométrie. Il ne sera pas inutile, en terminant, de résumer brièvement la théorie que nous en avons donnée.

Les opérations fondamentales de l'arithmétique trouvent leur application en géométrie; et, par une réciprocité nécessaire, elles peuvent être représentées par des constructions géométriques. On construit une quatrième proportionnelle, on extrait une racine carrée avec la règle et le compas, tout comme on pourrait extraire une racine carrée avec un pendule et une horloge, en comptant le nombre de vibrations que le pendule exécute dans un temps donné, et pour une longueur donnée du pendule. Mais on ne peut songer à recourir à des expériences de physique pour démontrer des propriétés d’arithmétique abstraite, qui dépassent en certitude et en rigueur tout ce que l'expérience est capable de donner : tandis que les constructions idéales de la géométrie s'adaptent trèsbien à la manifestation de certaines propriétés des grandeurs abstraites, et peuvent seules donner une image sensible de la loi de continuité dans la variation des grandeurs (59). Aussi n’a-t-on jamais considéré l'arithmétique et la géométrie comme deux sciences dont l’une serait subordonnée à l’autre : mais, tandis

que les Grecs, dans leur prédilection pour la géométrie, s'attachaient à la rendre aussi indépendante que possible de l'arithmétique, l'alliance des spéculations sur les nombres et sur les figures est le trait saillant de la doctrine mathématique des Hindous et des Arabes, recueillie au moyen àge par les Occidentaux ; et dans les temps modernes on n’a plus cessé de considérer la théorie de l'étendue et celle qui a pour objet les nombres et les grandeurs abstraites comme deux sciences qui se correspondent dans leurs développements, en se prétant un appui mutuel et nécessaire *, Cependant l'algèbre n’est pas seulement une arithmétique généralisée ; et les rapports, reconnus de tout

temps, entre la géométrie et l’arithmétique, ne suffi-

* On ne peut trouver cette pensée mieux exprimée que dans un passage de l'introduction au traité de l’Abacus, écrit par Léonard de Pise (Fibonacci) au commencement du xrn° siècle, et qui a donné, plus nettement que tout autre, le signal de la rénovation des mathématiques dans l'Occident, par limportation des doc-

trines d'origine hindo-arabe :

« Et quia arismetica (sic) et geometriæ sgientia sunt connexæ et

« suffragatoriæ sibi ad invicem , non potest de numero plena tradi « doctrina nisi intersecantur geometrica quædam vel ad geome- « triam spectantia... »

Ce passage fait partie des fragments de lA4bacus, publiés par M. Libri, dan$ son Æéstoire des Sciences mathématiques en Italie, Tom. II, pag. 288.

Remarquons en passant cette orthographe arismetica, qui semble

montrer que la prononciation grecque, dans les mots d’origine

raient pas pour rendre raison d’une correspondance qui s’établirait entre les faits algébriques et les faits géométriques. Il existe une théorie des équations algébriques , parfaitement indépendante de la nature des questions de géométrie, de physique, etc., auxquelles on les applique ou qui y conduisent; et la théorie dont il s’agit est la partie principale du corps de doctrine, de la branche particulière des mathématiques, que l’on appelle algèbre. Par la nature propre de l’algebre, les équations d’un degré supérieur au premier admettent nécessairement plusieurs racines asSociées, parmi lesquelles, selon la nature du problème qui a conduit à l'équation, il peut s'en trouver qui ne conviennent pas du tout au problème, ou qui n'y conviennent qu'au moyen de certaines modifications dans l'énoncé. On peut facilement faire voir que, pour des questions de physique parfaitement analogues, les solutions analogues sont tantôt associées , tantôt dissociées par l'algèbre, d'après des circonstances qui influent sur la composition algébrique de l'équation, sans influër essentiellement sur la nature de la question de

grecque, était familière à cette époque aux chrétiens latins. On écrivait de même algorismus pour algorithmus, d'où nous avons fait algorithme ; mais ce mot que l’Académie n’a point accueilli dans la dernière édition de son Dictionnaire, quoiqu’on l’emploie * fréquemment, paraît être d’origine arabe : il désignait spécialement au moyen âge les règles de calcul fondées sur la valeur de

position des chiffres.

physique, sur le nombre des réponses qu'on y peut faire et sur le sens de ces réponses.

Quant aux questions de géométrie, on en trouve aussi qui semblent parfaitement analogues, et pour lesquelles les solutions analogues sont tantôt associées, tantôt dissociées par l'algèbre; ce que nous exprimons en disant que, dans ce cas, il y a désaccord entre la géométrie et l’algébre : mais, d’un autre côté, l'attention se fixe bientôt, et se concentre (pour ainsi dire) exclusivement sur des questions où, par contre, l’accord le plus parfait et le mieux soutenu parait régner entre la géométrie et l'algèbre, l’une associant ou dissociant ce que l’autre associe ou dissocie. IL y a lieu de rechercher à quoi tient, dans les cas les plus fréquents, cette correspondance entre l'algèbre et la géométrie; comment on peut au contraire rendre raison de la discordance dans les cas réputés exceptionnels ; comment enfin l’on peut introduire l'ordre et la classification dans des faits qui se présentent d’abord avec confusion et irrégularité. En un mot, il y a lieu de se proposer de construire une théorie de la correspon-

dance de l’algebre et de la géométrie.

455. Pour cela il faut remonter à des abstractions d’un ordre plus élevé, à une théorie qui domine en quelque sorte par sa généralité l’algèbre aussi bien que la géométrie. Cette théorie qui n’a pas moins

d'importance que de généralité, est celle des fonc-

üons; car, par cela seul que l'on conçoit un lien de dépendance entre deux grandeurs susceptibles de varier avec continuité, l'une des grandeurs variables peut être dite fonction de l’autre, lors même que le lien qui les unit ne serait pas de nature à s'exprimer par une équation algébrique ou par une définition géométrique : et les fonctions continues quelconques sont susceptibles de se classer d’après certains caractères généraux, jouissent en conséquence de certaines propriétés générales, et sont l'objet d’une théorie qu on peut sans doute appliquer aux fonctions d'origine algébrique ou géométrique, mais dont la conception ne suppose pas nécessairement la connaissance préalable de l'algèbre et de la géométrie. Toutefois, si l’on veut représenter par un signe sensible le lien de dépendance entre deux grandeurs variables, il faut recourir à un procédé graphique, toujours en vertu de ce principe, que dans l’espace seul peuvent exister des images sensibles de la continuité. C’est ici qu'intervient avec toute sa généralité l'idée originairement conçue par Descartes dans le but spécial d’appliquer l’algebre à l'étude des propriétés des lignes que la géométrie considère. En effet, si l'on convient de représenter par les deux coordonnées rectangulaires d’un point mobile sur un plan, les deux grandeurs simultanément variables suivant une loi quelconque , le tracé de la ligne décrite par le point

donnera l'image sensible de la loi suivant laquelle

390 CHAPITRE XVI. ap

les deux grandeurs varient simultanément. Ce mode de représentation est conventionnel, sans doute, mais non arbitraire; et c'est ici le point capital à remarquer, le nœud de la théorie : car on ne comprendrait pas qu'une convention arbitraire eût établi entre la géométrie ordinaire et l'algèbre, entre la géométrie supérieure et la théorie des fonctions (8/4) une correspondance qui fait si naturellement suite à celle que l'on a reconnu exister, indépendamment de toute convention, entre la théorie des nombres et celle de l'étendue figurée. On pourrait convenir d’autres systèmes de coordonnées, et l’on en emploie effectivement d’autres avec avantage, quand le but est d'appliquer le calcul à l'étude de certains objets déjà définis géométriquement ; mais lorsqu'on veut, à l'inverse, représenter dans l’espace les affections des grandeurs quelconques , il faut, pour que la représentation soit juste, pour qu'elle n'introduise pas des limitations, des restrictions, des particularités étrangeres à l'idée de ces grandeurs; pour qu'elle donne la juste mesure de l’indétermination des valeurs; il faut, disons-nous, employer nécessairement le système de représentation par des coordonnées parallèles à des axes fixes, ayant une origine commune; et la construction la plus simple, comme la plus naturelle, consiste à prendre ces axes perpendiculaires entre eux.