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l'opposition qui existe entre les termes positif et negatf, ou entre les opérations d'addition et de soustraction arithmétiques dont les caractères + et — sont les signes, correspondant d’ailleurs parfaitement à l'opposition qui existe entre les sens des dates ou des grandeurs chronologiques, selon qu'elles se rapportent à des événements antérieurs ou postérieurs à l'origine, puisque les unes croissent et les autres décroissent de la même quantité, en vertu du même déplacement dans la série des temps.

Cette premiere règle, une fois établie, s’appliquera

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sans difficulté aux événements qui précèdent K. Leurs

dates qui étaient, quand on tient compte du signe, | | —1, —h, —g, etc., deviendront Ki, k—h, k—g, etc. ;

et attendu que le nombre # est plus petit que les nombres z, L, l, etc., on pourra mettre les expressions

précédentes sous la forme he ki), k—k(h—), k—k—(g—h), etc., ou sous la forme plus simple

—(i— À), —(h—Rh), —(g—#), etc.

De cette manière, les dates des événements qui précedent l’une et l’autre origine restent négatives malgré le déplacement d'origine : comme les dates des événements postérieurs aux deux origines restent positives malgré le déplacement. En vertu du déplacement, les dates restées négatives sont numériquement diminuées du nombre # : comme les dates restées positives sont numériquement augmentées du nombre k. L’analogie, la symétrie sont parfaitement conservées.

Supposons, à l'inverse, que l’origine soit transportée de O en R : les dates des événements... T, S, postérieurs à la nouvelle comme à l’ancienne origine, de-

viendront

BIO ONE) l—#F, Je

et resteront positives. Celle de R deviendra 7r—r ou

zéro. Celles des événements Q, P deviendront

g— D T9) pp —(r —p), ou bien enfin

De 7 Ur-p); et elles se trouveront négatives comme l'analogie l'exige. La date de l'événement O se réduira à —r;

enfin celles des événements N, M, L, etc., se change-

ront en —N—T, —M—r, —l—r, etc.:

expressions qu'on peut encore mettre sous la forme

—(n+r), —(m+r), —(l47r), etc.; afin de mieux montrer comment les dates toujours négatives prennent des valeurs numériques de plus en plus grandes pour des événements de plus en plus antérieurs à celui qui fixe l’origine, l'ère, ou le zéro chronologique.

Donc en résumé, et moyennant la distinction des dates en positives et en négatives, suivant qu elles se rapportent à des événements postérieurs ou antérieurs à l'origine, la règle pour passer d’une origine à l’autre consiste à Joindre avec le signe + à toutes les dates relatives à l’ancienne origine le nombre qui fixait la date de la nouvelle origine, si cette date est négative, et à joindre avec le signe — ce même nombre à

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toutes les anciennes dates , si la date de la nouvelle

origine est positive.

# PA On pourra formuler la règle plus généralement encore et effacer toute trace d’hypothese particulière, en disant que la règle consiste à retrancher de toutes les dates prises dans l’ancien système, la date positive ou négative de la nouvelle origine, prise dans ce même système : le retranchement d’une valeur négative étant réputé équivalent à l'addition de cette valeur prise positivement, en vertu de la même analogie, par suite du même besoin d'uniformité et de symétrie, qui nous a déjà fait considérer l'addition d’une valeur négative comme équivalant à la soustraction de cette valeur prise positivement.

D'ailleurs, si l’on y prend garde, on verra que cette équivalence ressort de l'identité établie plus haut entre

les expressions

—(r—q) etg—r ou —T7 +3;

puisque, d'une part, on retranchera une valeur formée par l'addition de deux parties, en retranchant successivement ou en prenant successivement en moins les deux parties dont elle est la somme; et que, d’autre part, dans le système où nous sommes entrés, l’expression 7 —7 peut être considérée comme celle d’une somme dont l’une des parties est la valeur positive 7,

et l’autre partie la valeur négative —4.

L'identité dont il s’agit peut encore être rendue sensible à l’aide d’une image très-simple : car, si l'on représente par la ligne droite indéfinie AZ (P1. I, fig. 4)le cours du temps ou de toute autre grandeur analogue, l'accroissement de cette grandeur ayant lieu dans le sens AZ et le décroissement dans le sens ZA , il reviendra au même, pour la détermination du point R, de porter d’abord, à partir de l'origme O, dans le sens AZ, la grandeur OQ—3, puis de QenR, dans le sens ZA , la grandeur QR=—7, ou de porter tout d'un coup de © en R dans le même sens ZA, la grandeur OR me-

surée par l'excès du nombre 7 sur le nombre g.

L'identité qui vient d'être remarquée, ou des identités analogues contiennent virtuellement la fameuse regle des signes déjà énoncée par Diophante en tête de son Traité des nombres *, et lorsque l'algèbre proprement dite n'était pas encore éclose : règle qui ne suppose pas en effet la connaissance de l’algébre, mais seulement la considération des grandeurs susceptibles de croître et de décroître symétriquement de part et d'autre d’une origine arbitraire, d'où nait une parfaite symétrie entre les opérations d’addition et de soustraction appliquées à ces grandeurs; tandis que cette symétrie ne subsiste pas pour les nombres purs, puis-

que, si l'on peut toujours ajouter à un nombre donné

Lu \ Li LD ss LT Le … .! \ - = > \ . A Aetdes nt hetdiv molamhactacdetoæ motet Umupéiv’ hetdic de ent

el

rap out Aetbiv. Diop. , lib. I, def. 9.

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D2 CHAPITRE Hi.

un nombre quelconque, on n’en peut pas retrancher, dans le sens arithmétique du mot, un nombre qui le surpasse. La nature de cet ouvrage, le degré d'instruction des lecteurs auxquels il s'adresse nous dispensent

d'entrer sur ce sujet dans plus de détails didactiques.

93. Mais en revanche, il faut insister encore sur les considérations philosophiques qui s y rattachent. Doiton regarder toute cette théorie des valeurs négatives comme une pure convention ? Dire qu'on ajoute la valeur négative —3, au lieu de dire qu'on retranche la valeur 3, n'est-ce pas recourir à un artifice de langage, commode peut-être pour les applications scientifiques, mais d’ailleurs arbitraire, comme lorsqu'on dit que l’on multiplie par la fraction +, au lieu de dire simplement qu'on divise par 3? Nous répondrons qu'il en est précisément de l'une de ces locutions comme de l’autre ; que toutes deux sont amenées nécessairement par le besoin d'exprimer les vraies relations des grandeurs, et d'effacer au contraire ce qu'il y avait primitivement d'arbitraire et de conventionnel, par suite ce qu'il y avait primitivement de trop particulier dans notre manière de les concevoir et de les exprimer. L'origine ou le zéro est arbitraire, pour certaines sortes de grandeurs, continues ou discontinues, comme l'unité est arbitraire pour toute sorte de grandeurs continues. Il est essentiel de pouvoir exprimer, indé-

pendamment du choix arbitraire du zéro ou de l'unité,

des relations générales entre les grandeurs, lesquelles en effet ne dépendent point de ce choix arbitraire : sans quoi l'expression ne serait qu'imparfaitement adaptée à l'idée qu'elle doit rendre. Il faut que tout ce qui dépend du choix du zéro ou de l'unité affecte l'expression des valeurs particulières, nécessairement subordonnées à ce double choix ; et c’est à quoi satisfait la notation des quantités négatives, de la même manière qu'y satisfait celle des quantités fractionpaires.

Si tout ce que l’on peut dire au sujet des quantités fractionnaires s'applique, mutatis mutandis, aux quantités négatives, d’où vient que l’abstraction dont les premières sont l’objet est aisément conçue ou acceptée, tandis qu'une abstraction analogue, pour les autres, amène des embarras et des controverses ? On s'explique cette circonstance, quand on songe que l’idée de l’unité de mesure est élémentaire, familière à tout le monde, indispensable pour les besoins vulgaires de la vie, tandis que l'idée d’une origine ou d'un zéro arbitraire, applicable seulement à certaines sortes de grandeurs, est restée dans le ressort de l'éducation scientifique; de façon que les notations qui l’expriment conservent toujours un appareil de science, un cachet d'étrangeté que n'ont pas les expressions fractionnaires. D'ailleurs il faut reconnaître que l’idée d’une origine ou d’un zéro arbitraire est

en effet plus abstraite, plus loin des premières notions

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sensibles que l’idée d’une unité arbitraire ; tandis que (par un contraste singulier ) les notions toutes nues d’addition et de soustraction, dont les signes doivent servir à distinguer les situations de part et d'autre de l’origine arbitraire, passent naturellement avant celles de multiplication et de division, comme étant plus élémentaires et plus immédiatement suggérées par les

impressions sensibles.

24. En raison de ce que la notation des fractions est nécessairement enseignée en arithmétique, tandis qu'on n’acquiert d'ordinaire qu'avec les premières notions d’algèbre la connaissance des signes + et —, on donne les noms d’additions et de soustractions algébriques aux additions et aux soustractions dans lesquelles entrent des quantités tant négatives que posiüves, et l’on dit que l'addition algébrique d'une quantité négative telle que —3, équivaut à une soustraction arithmétique, ou inversement ; tandis qu'on ne qualifie pas de multiplication et de division algébriques la multiplication et la division par une fraction telle que +, bien qu'elles conduisent à une division et à une multiplication arithmétiques (13). Cependant l'épithète d’algébrique devrait, pour la juste corrélation des termes , être employée dans les deux cas ou ne pas l'être du tout. Elle devrait l’être dans les deux cas, si l'on entend par algébre la théorie des relations

entre les grandeurs, quand il s'agit de relations indé-

pendantes de leurs valeurs numériques particulières et des conventions arbitraires sur le zéro et sur l'unité, qui fixent ces valeurs numériques. Elle ne devrait être employée ni dans un cas ni dans l’autre, si l'on entend par opérations algébriques celles qui s'effectuent sur des symboles généraux tels que des lettres, et par opérations arithmétiques celles qui commencent après qu'on a attribué aux lettres ou aux symboles généraux des valeurs particulières. Dans cette dernière acception, qui est la plus usitée, il y a quatre opérations ou règles algébriques correspondant aux quatre opérations ou régles élémentaires de l’arithmétique ; de sorte que, selon l’usage ordinaire, les termes d'addition et de soustraction algébriques ont une ambiguïté qui n'existe pas pour les termes de multiplication et de division algébriques. C’est encore dans cette dernière acception qu'on oppose la résolution algébrique des équations à la résolution rumérique ou arithmétique, où pourtant l’on tient compte des signes qui affectent les valeurs numériques particulières. Au reste quelques incohérences de langage ne nuisent guère à l'avancement de la science, et il serait peu utile à cet égard de les réformer; mais il convient de les signaler parce qu'elles peuvent nuire à la juste perception des

Lens logiques et de la philosophie de la science.