La disunction des quantités positives et néga

tives est encore amenée naturellement lorsqu'il s'agit

de combiner des grandeurs qui ont entre elles de telles relations de symétrie, que la soustraction de l’une équivaut à l'addition de l’autre et mversement : en sorte qu’elles peuvent être évaluées numériquement à l'aide de la même unité, quoique d’ailleurs ni l’une ni l’autre n'aient, à proprement parler, un zéro ou une origine arbitraire. Ainsi, dans la théorie des deux fluides électriques, l'addition d’une certaine quantité de fluide résineux équivalant parfaitement à la soustraction d’une quantité de fluide vitré, capable de neutraliser la première, si la quantité de fluide vitré est exprimée par le nombre a, la quantité correspondante de fluide résineux sera convenablement exprimée par —4, de même que les températures sont censées affectées des signes + ou — suivant qu'elles tombent au-dessus ou au-dessous du zéro de l’échelle thermométrique; bien que le zéro électrique, correspondant à l'état d'un corps qui ne donne aucun signe d'électricité vitrée ou résineuse, ne soit pas un Zéro fixé arbitrairement, conventionnellement, comme celui de l’écheile thermométrique.

Ainsi ( pour citer encore un exemple malheureusement devenu trivial), dans le bilan d’un négociant, les créances et les dettes, les valeurs actives et les valeurs passives, mesurables au moyen de la même unité monétaire, seront convenablement distinguées par les signes —- et —, à cause de la propriété qu’elles ont

de se compenser, et parce que l'extinction d’une dette

DES RAPPORTS DE SITUATION. sl

ou d'une valeur passive équivaut à l'acquisition d’une créance ou d'une valeur active de même chiffre, et réciproquement; quoique le zéro ou l’origine tant de l'actif que du passif ne soit pas fixé par une convention arbitraire.

Remarquons ici, en passant, comment l'ordre de développement des idées mathématiques dans l’entendement correspond à l'ordre de développement des institutions sociales : l’un, pour ainsi dire, gouvernant secrètement l’autre. Par l'institution de la monnaie, qui est le commencement du commerce proprement dit, les choses les plus dissemblables dans leurs caractères physiques sont devenues comparables au point de vue de leur valeur d'échange; elles ont pu acquérir une unité ou une mesure commune; la valeur commerciale a été constituée comme grandeur ou quantité arithmétique. Il est devenu indifférent (dans les limites d'application des conceptions abstraites aux choses réelles) qu'un négociant eût à sa disposition des espèces dans ses coffres ou des denrées dans ses magasins. Ensuite est venu le développement du crédit à la faveur duquel il est permis (dans des limites analogues) de considérer le mouvement d'accroissement ou de décroissement du capital du négociant comme pouvant également s’opérer en decà et au delà du point où l'actif et le passif se balancent : de sorte que, tant que le crédit du négociant n'est

point ébranlé, le capital dans ses phases diverses peut

passer du positif au négatif et réciproquement, les opérations restant les mêmes que si l'on avait déplacé arbitrairement l'origine en ajoutant à l'actif du négociant ou en en retranchant une valeur arbitraire. En d’autres termes, le capital du négociant, constitué d'abord comme quantité arithmétique, est devenu par ce progrès nouveau des institutions commerciales une quantité algébrique : l’épithète étant prise dans l’acception indiquée plus haut, pour désigner les quantités dont l'origine est arbitraire, ou plus généralement encore celles à l'égard desquelles la soustraction et l'addition deviennent des opérations symétriques, l’une pouvant être prolongée indéfiniment aussi bien que l’autre.

DE L' ALGÈBRE ET DE SES RAPPORTS AVEC LA THÉORIE DE L'ORDRE. — ORIGINE DES VALEURS IMAGINAIRES.

26. On peut donner des définitions de l’arithmétique, de la géométrie, de la statique, qui seront justes et claires pour tout le monde, même pour ceux qui n'ont pas fait une étude de ces sciences, en disant, par exemple, que l’une a pour objet les propriétés des nombres, l’autre les propriétés de l'étendue, la troisième enfin les conditions d'équilibre des forces. Que ces définitions ou d'autres semblables, placées en tête d'un traité didactique, soient d'une grande utilité, c'est une autre question qu'il appartient aux logiciens d'examiner; mais toujours est-il, et ceci mérite attention, que les termes que nous venons de citer sont du nombre de ceux qu'un lexicographe n éprouve nul embarras à définir, et dont un auteur didactique peut, sil le juge convenable, placer la définition ## limine, sans aucun inconvénient.

Il n'en est pas de même de l’algèbre. Les définitions qu on en donne sont obscures, peu intelligibles pour ceux à qui l'algèbre n’est pas familière, et elles varient considérablement, selon les vues systématiques de

ceux qui les ont imaginées.

Je consulte la dernière édition du Drctionnaire de l'Académie, et j'y lis que l'algèbre est « cette partie des mathématiques, qui, considérant les grandeurs d’une même nature sous la seule acception abstraite de leur inégalité, les exprime par des caractères communs à toutes leurs valeurs particulières, et développe ainsi leurs relations de quantité les plus générales. »

D’Alembert, dans l'Encyclopédie, définit l’algébre « la science du calcul des grandeurs considérées généralement ; » et tout aussitôt il ajoute que l'algèbre « est proprement la méthode de calculer les quantités indéterminées. » Nous n'avons pas besoin de faire remarquer que toutes ces définitions seraient incompréhensibles pour quiconque ne connaîtrait pas l'algèbre ; et que, pour ceux qui la connaissent, elles ne fixent point avec précision ce qui est et ce qui n'est pas du domaine de l'algèbre, dans le cadre général des mathématiques.

Suivant l'auteur d'un Dictionnaire plus récent *, « l'algèbre est la science des nombres considérés en général ou la science des lois des nombres; » d’où il résulterait, par exemple, que cette proposition : un nombre ne peut être décomposé que d’une seule ma-

nière en facteurs premiers, est un théorème d’algèbre;

M. de Montferrier, Dictionnaire des Sciences mathematiques

pures et appliquées, au mot ALGÈBRE.

DE L'ALGÈBRE. 61 et ce qui réduirait l’arithmétique à n'être qu'une science de faits, comme ceux dont on s'instruit en apprenant la table de Pythagore ou en consultant une table de logarithmes.

Enfin, pour ne pas abuser des citations, suivant M. Poinsot , l’algebre est la science de l’ordre : idée fine et profonde, mais qui a besoin de commentaire, et que l’auteur lui-même, dans un de ses derniers écrits, a lucidement commentée. « Si vous considérez l'algèbre, dit-il*, vous y voyez deux parties trèsdistinctes. Et d’abord l'algèbre ordinaire, qu'on peut trés-bien nommer l'arithmétique universelle. Cette algebre, en effet, n'est autre chose qu'une arithmétique généralisée, c’est-à-dire étendue des nombres particuliers à des nombres quelconques, et, par conséquent, des opérations actuelles qu'on exécutait à des opérations qu'on ne fait plus qu'indiquer par des signes; de manière que, dans cette première spéculation de l'esprit, on songe moins à obtenir le ré-

sultat de ces opérations successives qu'à en tracer

le tableau , et à découvrir ainsi des formules géné-

rales pour la solution de tous les problèmes du même genre.

« Mais 1l y a une algébre supérieure, qui repose

tout entière sur la théorie de l’ordre et des combinai-

* Réflexions sur les principes fondamentaux de la Théorie des

nombres, page 4.

sons, qui s'occupe de la nature et de la composition des formules considérées en elles-mêmes, comme de purs symboles, et sans aucune idée de valeur ou de quantité. C’est à cette partie qu’on doit rapporter la théorie profonde des équations, celle des expressions imaginaires, et tout l’art des transformations algébriques ; et c'est même cette seule partie élevée de la science qui mérite, à proprement parler, le nom d'algèbre. »

Nous n'avons à ajouter à ces indications lumineuses que quelques développements plus spécialement ap-

propriés au but de notre ouvrage.

27. Supposons qu'on veuille démontrer ce théorème d’arithmétique, qu'un nombre qui en divise deux autres divise le reste de la division du plus grand par le plus petit : on pourra faciliter le raisonnement, en mieux faire ressortir la généralité, en représentant les nombres par des lettres, en employant les signes ordinaires des opérations d’arithmétique, et en exprimant par un signe l'égalité qui doit exister entre le dividende d'une part, et d'autre part la somme de deux nombres, dont l'un est le produit du diviseur par le quotient, l’autre est le reste de la division. Mais l'emploi de ces notations commodes ne fera pas qu'on soit sorti de la pure arithmétique et de l’étude des propriétés des nombres.

On pourra faciliter, à l'aide des mêmes symboles, la

DE L'ALGÈBRE. 63 découverte où la démonstration d’une règle pour déterminer deux quantités ou deux grandeurs dont la somme et la différence sont connues : par là, on aura établi une relation qui subsiste, non-seulement entre des nombres, mais aussi entre des grandeurs continues quelconques, et qui appartient à la logistique (46) comme à l’arithmétique proprement dite. 1l n y aura pas encore là l’étoffe d’une science nouvelle : l'esprit n'aura pas encore saisi un ordre nouveau d'abstractions et de rapports, qui lui offre un champ nouveau de découvertes.

Mais, une fois la langue de l'algèbre créée , organisée en tant qu'instrument, pour les besoins des applications à la théorie des nombres ou à celle des grandeurs quelconques, on voit apparaître ces rapports qui font de l'algèbre un objet direct de spéculaons, qui la constituent à l’état de science ou de théorie spéciale. Ainsi, des règles qu'on a dù établir pour effectuer autant que possible sur des polynomes algébriques les opérations connues en arithmétique sous les noms de multiplication et de division, découle cette conséquence, que, si l’on a trois polynomes A, B, C, entiers par rapport aux lettres a, ®, c, etc., c'est-à-dire où ces lettres n’entrent pas en dénominateurs, et si le polynome A est facteur de B et de C, il sera pareillement facteur du reste qu'on obtient en effectuant la division algébrique du polynome B par le

polynome C, après avoir ordonné lun et l'autre par

rapport aux puissances de l’une des lettres a, d, c, etc.

Soit, par exemple,

A ab +c À | B— ab e+abe +bè—(ab+c)(& + bc), C—=ab+ ac Hal +bé—(ab+c)(a +be) :

on aura pour le reste de la division algébrique de B

par C, ordonné par rapport à la letire a,

abc +abe+bé+be = (ab +c) bc+ bc).

Or, on peut remarquer que ceci est un fait de combinaison, indépendant de cette circonstance, que les lettres a, b, c, dans le calcul algébrique, sont censées représenter des nombres entiers ou fractionnaires, et indépendant aussi du sens arithmétique attaché aux mots de multiplication et de division. Nous citons ici à dessein un fait algébrique des plus simples, et parfaitement analogue à la propriété des nombres entiers rappelée un peu plus haut : mais on conçoit aisément le passage à des faits plus compliqués et assez variés pour devenir l’objet d'un corps spécial de doctrine.

On démontre en arithmétique que le carré d’un nombre formé de dizaines et d'unités se compose de trois parties : 1° du carré des dizaines , 2° de deux fois le produit des dizaines par les unités; 3° du carré des unités. Ce théorème sert de fondement à la règle arithmétique de l'extraction des racines carrées, et l’on en

démontre d'analogues pour les puissances supé-

Qu

rieures. À l’aide des signes de l'algèbre on fait aisément rentrer toutes ces règles particulières dans la

formule générale, dite du binome de Newton,

(a+ b) "= a" + A — DEL

mim—1)(m—2) ap ” UT

où figurent comme coefficients des produits PE Pre PC OT CN Ban ee ELU

les nombres qui expriment (6 et 7) combien on peut former de combinaisons entre 2 éléments, en les prenant un à un, deux à deux, trois à trois, etc. Nonseulement on obtient ainsi une formule générale, applicable à toutes les valeurs de l’exposant 72; mais, ce qui a plus d'importance encore, on met par là en évidence la raison de cette formule générale dont la loi ne dépend que de deux caractères de la multiplication, savoir : 1° que l’on multiplie À par B en multipliant successivement chaque partie de À par chaque partie de B, c’est-à-dire en combinant successivement, par voie de multiplication, chaque partie ou élément de À avec chaque partie ou élément de B; 2° que le produit de À par B est le même que celui de B par A ; ou que la combinaison de À et de B, par voie de multiplication , ne change pas, dans quelque ordre que l'on combine les éléments À et B. Il en résulte que toute combinaison ou opération offrant ces caractères géné-

raux, conduira à une formule soumise à la même loi,

parce qu'en effet la loi ne dépend point de la nature spéciale de l'opération, ou de l’idée accessoire de muluplication qui vient s'associer, dans les éléments d'arithmétique ou d’algebre, à l'idée fondamentale de combiuaison. Cet exemple, si élémentaire et si connu, suffit pour faire entendre en quel sens l'algèbre est la science de l’ordre, ou plutôt procède de la science de l’ordre : si bien que l'élégance des formules algébriques consiste à mettre, par suite d'un choix heureux de notations, la loi des combinaisons et de l’ordre dans la plus grande évidence.

Pour parler en toute rigueur, l'algèbre n’est proprement, ni la théorie de l'ordre, ni celle des grandeurs ; mais elle procède à la fois de l’une et de l’autre : n’empruntant à la théorie de l'ordre ou des combinaisons (ce qui est la même chose, comme nous l’avons montré ailleurs) que des règles compatibles avec le mécanisme du calcul des grandeurs, mais qui ne laissent pas que d'être applicables après qu'on a détourné les signes des opérations du calcul et ceux des grandeurs de leur acception primitive, pour n'y plus voir que des symboles assujettis à se combiner suivant certaines lois.

C'est ainsi qu'il faut concevoir comment l’organisation de l'algèbre en tant que langue, a pu et dû amener l'algèbre à l’état de science propre; comment, à l’occasion de notations arbitraires et conventionnelles, a dû se manifester un ordre de vérités abs-

traites qui n'a rien de conventionnel ni d'arbitraire,

qui est en connexion avec tout le système immuable des vérités mathématiques, et qui subsiste, aussi bien . que les autres parties de ce grand système, indépendamment de la connaissance toujours imparfaite que nous en avons, des movens qui nous ont servi pour en acquérir la connaissance, et des applications que nous en savons faire.

D'ailleurs on comprend bien que l'emploi de l'alsebre comme langue ou instrument, l'étude de l’algebre comme science ou corps de vérités abstraites, ne peuvent se succéder brusquement, pas plus dans le développement historique que dans l'exposition didactique de l’algèbre. Et voilà pourquoi il est contre la nature des choses de pouvoir donner de l'algèbre une définition tranchée, comme celles qui sont propres à caractériser d'autres parties du système des vérités mathématiques. Car il est contre la nature des choses que nous puissions définir, c'est-à-dire caractériser par des signes discontinus, tels que les termes du langage, des objets de la pensée qui se modifient et se transforment sans discontinuité, ou par grada-

tions insensibles.

28. La proposition et le verbe font l'essence et la vertu d'une langue : l'équation fait aussi l'essence et la vertu de la langue algébrique, à ce point qu’on a souvent défini l'algèbre, l’art de résoudre les pro-

blèmes par des équations. Lorsque l’on considère

l'algèbre comme corps de doctrine, indépendamment de ses applications, la partie la plus importante de ce corps de doctrine est sans contredit celle où l’on traite de la composition et de la résolution des équations, du nombre et des propriétés de leurs racines, du nombre et des propriétés des racines des équations dérivées d'une équation primitive d’après certaines lois, en un mot la théorie générale des équations algébriques. Or, l’on reconnait sans difficulté qu’il faut, pour la régularité et la perfection de ce corps de doctrine, 4° que les grandeurs représentées par les lettres ou les symboles algébriques soient susceptibles de croitre et de décroître avec continuité ; 2° que les signes - et — soient traités comme les signes de deux opérations ou combinaisons parfaitement symétriques (22) : de sorte que rien ne gêne ni n'arrête brusquement le mouvement continu de décroissement , pas plus que le mouvement continu d’accroissement des grandeurs. En d’autres termes, il faut que les quantités représentées par les symboles algébriques, et affectées des signes d'opérations algébriques, rentrent non-seulement dans la catégorie des grandeurs continues ou à unité arbitraire, mais dans la classe des grandeurs continues à origine arbitraire ; il faut qu'elles puissent acquérir des valeurs fractionnaires. incommensurables et négatives. Autrement, tous les théorèmes généraux disparaîtraient ; l'énoncé de cha-

que règle serait embarrassé d’une multitude de res-

DE L ALGÈBRE. 69 trictions ; les formules perdraient leur généralité et leur symétrie ; il ne serait plus de l'essence de l'algèbre de rattacher la théorie des grandeurs à celle de l’ordre ; les conditions de l’existence de l'algèbre, en tant que science et objet propre d’études, viendraient à défaillir ; la découverte de l’algebre ne consisterait plus que

dans l'invention de quelques signes abbréviatifs.

29. De la considération des valeurs négatives, l'alsebre nous mène à celle des valeurs inaginaires. Puisque la valeur négative — a, aussi bien que la valeur positive — a, donnent par l'élévation au carré la valeur positive &, on ne peut pas assigner une valeur, positive ou négative, dont le carré ait la valeur néga-

tive— à. En conséquence, les expressions de la forme

np PESTE Mu AE sont dites énaginatres ; et par opposition l'on nomme valeurs réelles les valeurs, tant négatives que positives, réductibles à la forme a, à désignant un nombre entier ou fractionnaire, ou même incommensurable.

La distinction des valeurs réelles en positives et négatives n'est pas nécessairement due à l'algèbre : elle a son fondement, comme nous nous sommes attaché à le faire voir, dans la nature des grandeurs à origine ginaires n a pu être fournie que par l'algèbre. Les valeurs ima

arbitraire; mais la notion des valeurs ima

gl-

naires n'ont de sens que parce qu'elles peuvent être

soumises aux opérations du calcul algébrique, aussi bien et de la même manière que les valeurs réelles, positives ou négatives; mais ces opérations, tout en gardant les caractères qu’elles possédaient en tant que combinaisons abstraites (27), n'ont plus la significaton qui leur appartient, en tant qu'opérations sur des grandeurs. Elles ne tendent plus à mesurer, à augmenter ou à diminuer des grandeurs : car la valeur ou l’expression imaginaire n’est point une grandeur ; une valeur imaginaire ne peut pas être dite plus grande ou plus petite qu’une autre; il y a une indétermination dans la série des états intermédiaires que la valeur imaginaire doit traverser pour passer d’un état à un autre, mdétermination qui n’a pas lieu pour les quantités réelles; et cependant on peut dire qu'une valeur imaginaire est la somme, ou la différence, ou le produit de deux autres, parce que les combinaisons algébriques qui servent à trouver la somme, la différence ou le produit de deux quantités réelles, s'adaptent sans modification ni définition nouvelle aux valeurs imaginaires. La considération des valeurs imaginaires est donc essentielle à l'algèbre, en tant que celle-ci procède de la théorie abstraite des combinaisons et de l’ordre. Si l’on ne tenait point compte des valeurs imaginaires, la théorie des équations et, en général, toutes les théories algébriques perdraient leur régularité, leur symétrie, leur généralité, comme nous

avons déja remarqué qu'elles perdraient tous ces attri-

buts, si l'on ne tenait pas compte des valeurs frac-‘ tionnaires, incommensurables où négatives. On ne peut pas trouver d'autre démonstration générale pour légitimer l'admission des valeurs imaginaires dans l'algèbre ; et d'un autre côté, ne voir dans l'admission des valeurs imaginaires que le résultat d'une convenüon, ce serait regarder l'algèbre même comme une science de* convention : ce qui, sans doute, n'empécherait pas la science algébrique de se développer et de s'enrichir de découvertes nouvelles ; mais ce qui serait en fausser l’idée philosophique, faute de faire le discernement convenable, entre ce qui tient essentiellement à la nature intelligible des objets de nos études , et ce qui tient seulement à notre maniére de

les concevoir et de les représenter (8 et 45).

30. Quand on applique l'algèbre à des questions pour lesquelles les solutions négatives n'auraient aucun sens , il suffit que le calcul final mène à des valeurs positives; on peut, dans le cours des calculs intermédiaires, tomber sur des relations entre des valeurs négatives, relations qui n'auraient aucun sens, traduites en langage ordinaire, et appliquées aux grandeurs concrètes de l'espèce de celles que l’on considére, mais qui sont susceptibles de conduire plus brièvement au résuitat final : de telle sorte que le degré d'abstraction de l'algèbre en tant que théorie, en

nécessitant l'admission des valeurs négatives, est une

des causes de la supériorité de l'algèbre en tant qu'instrument logique. Par une raison semblable , quand on applique l'algèbre à des questions sur les grandeurs à origine arbitraire , qui peuvent admettre des solutions négatives tout aussi bien que des solutions positives, mais pour lesquelles les valeurs imaginaires n'auraient aucun sens, il suffit en général, et sauf les exceptions dont on va tout à l'heure parler, que le résultat final des caleuls soit de conduire à des valeurs réelles, ou d'établir des relations entre de véritables grandeurs. Rien n’empéche alors que dans le cours des calculs intermédiaires 6n soit conduit à comparer entre elles des expressions imaginaires, auxquelles continuent de s'appliquer les règles de combinaison et de syntaxe qui constituent le mécanisme du calcul : de manière que, souvent, les symboles d'imaginarité se détruisant finalement les uns les autres, on se trouve avoir donné à l’aide de ces symboles la démonstration de propriétés inhérentes aux nombres ou aux grandeurs, et cela plus simplement qu'on n'aurait pu le faire sans l'emploi transitoire de ces symboles auxiliaires. Pour cette raison encore, le degré de généralité de l'algèbre, en tant que système de relations abstraites, constitue, comme beaucoup d'auteurs l'ont justement remarqué *, sa puissance en tant qu instrument logique, et

la supériorité habituelle de l'analyse algébrique sur

* Voy. surtout Carnot, Géométrie de position, p. 9 et suiv.

DF L'ALGÈBRE. vis

l'analyse qu'on ferait à l'aide des signes ordinaires du discours et du raisonnement , en ne perdant jamais de

vue la nature concrète des questions.

91. Afin d'en donner un exemple extrêmement simple , sans sortir de la théorie des nombres purs, supposons qu on applique la formule de Newton (27) au développement de la puissance entière et positive d'une expression binome , formée d’une partie réelle

et d’une partie imaginaire : on aura (a+bÿ—1)"—=A+8BY 1, [1]

les lettres À , B désignant des polynomes réels, entiers

par rapport aux lettres a et #. On aura de même (a—bf{—1)" —=A—BV 1; [2] d'où l’on conclut, en multipliant membre à membre,

CET DE équation où n'entre, plus le signe d'imaginarité. Maintenant, si a et à désignent des nombres entiers, 1l résulte de la composition des polynomes A, B que leurs valeurs seront aussi des nombres entiers; et par conséquent le caleul qui précède établit ce théorème sur les nombres : « que la puissance quelconque d’un nombre formé par la somme de deux carrés est elleméme un nombre formé par la somme de deux carrés. » Par exemple, 13 étant la somme des nombres

carrés 4 et 9, son cube 2197 est égal à la somme des

nombres 2116 et 81 , qui sont respectivement les carrés des nombres 46 et 9. Cette propriété intéressante des nombres, que l’on aurait sans doute pu tirer de l'arithmétique pure, se trouve ainsi algébriquement démontrée, à la faveur de l'emploi transitoire des expressions imaginaires.

Ce qui rend légitime cet emploi transitoire, c'est que le système des équations [1] et [2] n’exprime autre chose qu’un fait de combinaison ou de calcul purement algébrique, savoir : que lorsquon multiple mn fois de suite le binome a +0 VA par lui-même, et aussi zx fois de suite le binome a—by—1 par luimême, en appliquant toutes les règles de la multiplication algébrique, les résultats obtenus des deux parts ne différent que par le signe du coefficient numérique de ÿ—1 ; et ce fait ne tient point aux propriétés des grandeurs, ni au sens arithmétique que présente l'opération de calcul appelée multiplication algébrique, lorsqu'on l'effectue sur des nombres ou sur des grandeurs réelles. De même, le passage du système des équations [1] et [2] à l'équation [3] ne repose point sur le principe que, si l’on a quatre grandeurs égales deux à deux, le produit des deux premières est égal au produit des deux autres, principe qui n'aurait de sens qu'appliqué à des grandeurs ou à des valeurs réelles : il est fondé sur cet autre principe que le produit algébrique de 2m fac-

teurs dont 72 sont égaux à 40 \—-1 et 77 à a—b\— 1,

DE L ALGÈBRE. 75 ne change pas, soit qu'on multiplie d’abord le fac-

teur a+ EVA par le facteur a—bV—41 et qu'on

PT . ° à Q ièm . ?

élève ensuite le produit à la puissance #°", soit qu'on

élève séparément chacun de ces facteurs à la puissance #°" et qu'on multiplie ensuite l’une par l’autre les deux puissances obtenues. Or, ceci est une conséquence de l’une des propriétés caractéristiques de la multiplication, à savoir que le produit est une combinaison dans laquelle tous les facteurs entrent symétriquement (27); et pour que cette propriété subsiste, il n'est pas nécessaire qu'on attache un sens arithmétique à la combinaison, ni par conséquent que chacun des facteurs du produit représente un

nombre ou une quantité réelle.

92. Au contraire, toutes les fois que la démonstration d'une formule implique ou semble impliquer la considération d’attributs propres aux grandeurs, et notamment la propriété qu'ont les grandeurs continues de ne pouvoir passer d’un état à un autre, sans traverser une série déterminée de valeurs intermédiaires (du genre de celles que les géomètres nomment sértes linéaires, parce qu’on en peut imaginer tous les termes rangés sur une ligne), on a besoin de justifier, par de nouveaux raisonnements, le passage du réel à l'imaginaire, ou l'attribution de valeurs imaginaires aux lettres qui entrent dans les combinaisons

du calcul : lors même qu'en définitive la formule à

laquelle on arrive serait délivrée d’imaginaires. En pareil cas, le passage du réel à l'imaginaire n'est qu'un procédé d’induction , fondé , comme on dit, sur la généralité de l'algèbre, pour découvrir des relations que lon juge nécessaire de prouver ensuite à l'aide de raisonnements directs. Nous croyons avoir expliqué ce qu'il faut entendre par cette généralité de l'algèbre. S'il y a un autre sens dans lequel la même expression doive être prise, il faut reconnaitre que ce sens n'a point été jusqu'ici défini de manière à offrir une idée

nette à l'esprit.

39. L'emploi des symboles imaginaires a encore cet autre avantage, de permettre d'exprimer avec les signes de l'algèbre, et par la somme algébrique d’un nombre fini de termes, des grandeurs réelles qui ne pourraient s'exprimer exactement, ou (ce qui revient au même) qui n'auraient pour expression exacte que Ja somme algébrique d’une suite de termes en nombre infini, si l'on voulait éviter les signes d’imaginarité. C'est ce qu'on a remarqué depuis longtemps pour l'expression des racines d’une équation du troisième degré, tombant dans le cas trréductible ; et les progrès de l'analyse mathématique ont multiplié les exemples de cas analogues. Des radicaux imaginaires conjugués, c'est-à-dire qui ne diffèrent que par le signe, entrent alors dans l'expression sous forme finie, et l'opposition

LE 2 É À 0 e se . . 4 ’ e des signes — et, fait que les imaginaires se détrui-

DE L'ALCÈBRE. ur sent dans le développement en séries d’un nombre infini de termes. C’est toujours en dépouillant les opérauons algébriques des idées purement arithmétiques qui y adhéraiïent primitivement, pour les convertir en combinaisons abstraites, que on rend susceptibles de s exprimer algébriquement sous forme finie, des grandeurs dont la détermination numérique exige effectivement une succession d'opérations arithmétiques en

nombre illimité.

5/1. Nous avons eu occasion de remarquer (7) que les expressions fractionnaires , naturellement amenées par le besoin de mesurer les grandeurs continues, jouissent de propriétés dont l'étude se rattache à celle des propriétés des nombres en tant qu'agrégats d’unités, ou à ce qu on appelle proprement la théorie des nombres. De même, si l’on convient d'attribuer aux lettres a et à dans l'expression «+4 V—1 des valeurs entières, et si l’on assujettit les nombres à et b à être rangés sous telles ou telles formes (3), on créera des formes numériques imaginaires, dont les propriétés auront de l’analogie avec celles des formes numériques réelles, dans la composition desquelles le signe d'imaginarité n'entre pas. Il suffit ici d'indiquer ces connexions de la théorie des nombres avec l'algèbre pro-

prement dite.

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LA TRADUCTION DES PRO- BLÈMES EN ALGÈBRE. — DE LA MULTIPLICITÉ DES SOLU- TIONS, ET DE L'ASSOCIATION OU DE LA DISSOCIATION ALGÉBRIQUE DES SOLUTIONS MULTIPLES.

35. L'algebre est une langue sans doute, mais une langue dont nous ne sommes pas maîtres, comme nous pourrions l'être d'une langue d'origine conventionnelle, parce que l'algèbre est aussi une science ayant sa constitution propre, son objet dans des idées, dans des rapports que l'esprit humain ne crée pas arbitrairement et de toutes pièces. Il en résulte que, lorsque nous voulons appliquer l'algèbre à la solution de problèmes sur des grandeurs, l'algèbre ne peut pas toujours traduire toutes les conditions du problème, répondre directement et uniquement à la question posée, dans le sens où nous la posions et de la manière que nous l’entendions. Cette remarque préliminaire doit également trouver son application , soit qu'il s'agisse de grandeurs physiques et concrètes, dans le propre sens du mot; soit quil s'agisse de grandeurs abstraites qui tombent sous la vue de l'esprit, et dont les rap-

ports sont l'objet des spéculations de la raison pure,

comme le temps, les grandeurs géométriques, les chances ou les probabilités mathématiques. Ce qui concerne l'application de l'algèbre à la géométrie est l'objet principal de cet essai, et sera traité avec beaucoup de développements dans les chapitres suivants : mais auparavant (pour mieux distinguer ce qui dépend de raisons générales d'avec ce qui tient à des faits particuliers ), 1l convient de rattacher nos remarques à des exemples pris en dehors de la géométrie pure, et d’abord à des exemples pris dans un ordre de spéculations tout aussi abstraites que celles de la géométrie peuvent l'être.

Imaginons donc cinq urnes renfermant des boules blanches et des boules noires, de manière que le l'apport x du nombre des boules blanches au nombre total des boules soit le même pour chaque urne : si l’on désigne par # la probabilité mathématique de l’événement, qui consiste à extraire simultanément des cinq urnes une boule de même couleur, c'est-à-dire le rapport entre le nombre des combinaisons propres à amener cet événement et le nombre total des combinaisons possibles, on aura, entre les fractions x et #, par les règles les plus élémentaires de la théorie des

combinaisons, l'équation

LH x) —#, [al

qui fera connaître sans difficulté la valeur de #, si celle

de x est connue. Supposons maintenant que celle de x

soit au contraire inconnue, et que l'on connaisse (n'importe comment) la valeur de la fraction #, d'où il faudra conclure celle de la fraction x, en résolvant l'équation [a]. Cette équation se trouve être du quatrième degré, après le développement du premier membre, et la forme de l'équation nous montre que, si elle admet la racine +, elle en admetira une autre égale à 1— x, puisque l'on peut changer dans cette équation x en 1—x, sans qu elle en soit altérée. D'ailleurs, cette circonstance de forme tient essentiellement à la nature du problème, puisque la connaissance du nombre # ne nous fait pas connaître séparément la probabilité d'amener à la fois cinq boules blanches, ou celle d'amener à la fois cinq boules noires : de sorte que, si le nombre donné # convient au cas où il y a un certain rapport « entre le nombre des boules blanches et le nombre total des boules, il faut bien qu'il convienne aussi au cas où & se changerait en 1—4 par l'échange des couleurs. Cela posé, et en continuant de désigner par a l'une des racines qui conviennent à la question, c'est-à-dire un nombre compris entre 0 et 1 , l’équa-

tion [a] deviendra (12) = di (10),

et pourra se mettre sous la forme

Lex +ai—a)] [ax +1 (t —a)| —=0.

Le premier facteur donne les deux racines à& et 1—%

que la question comporte : on tire de l’autre facteur

les deux autres racines

1 Î ait / tale) 1,

qui sont nécessairement imaginaires, à cause que le produit «(1—«) ne peut pas, comme on le sait, surpasser +. L'algébre se trouve donc ici tout à fait d’accord avec la nature de la question : il y avait nécessairement deux solutions; elle nous les donne et elle ne nous en donne pas d'autre.

Supposons maintenant quatre urnes au lieu de cinq, et que le nombre # désigne la probabilité d’un partage égal entre les couleurs : deux quelconques des urnes donnant une boule blanche et les deux autres une boule

noire. L'équation [a] sera remplacée par Ga —x)—#; | [é]

et la forme de l'équation, d'accord avec la nature du problème, fait toujours voir qu'à une racine « doit être associée une autre racine égale à 1—«. En opérant sur l'équation [0], comme sur l'équation [a], on la

mettra sous la forme

Le —x Loft —)] [x—x—a(1—x)]—0 ;

le premier facteur produit les racines « et 1—«; tandis que l’autre facteur fournit les racines toujours réelles

1 Î + /a tete),

dont l’une est nécessairement plus grande que l'unité, et l’autre nécessairement négative. Or, il est clair que ces deux racines sont absolument étrangères à la solution du problème qui nous occupe, puisque dans ce problème l’inconnue x désigne essentiellement une fraction proprement dite, un nombre positif plus petit que l'unité. Donc, il n'y a plus ici ce parfait accord que nous remarquions tout à l’heure; et en effet l’on ne voit pas de raison pour qu'un tel accord subsiste nécessairement. On comprend bien que, s'il y a plusieurs valeurs propres à satisfaire à la question, telle qu'elle est posée dans le langage ordinaire, et ensuite écrite en algèbre, l'algèbre doit nécessairement les donner; mais il n'est pas vrai réciproquement que toutes les valeurs données simultanément par l’algebre soient propres à satisfaire à la question, puisqu'il peut y avoir des conditions explicitement ou implicitement contenues dans les termes de la question, et qui ne soient ni explicitement ni implicitement exprimées dans l'équation algébrique : comme, en effet, les équations [a] et [0] n'expriment ni ne peuvent exprimer que le nombre x est assujetti à rester compris entre zéro et l'unité.

Donc, si, dans un autre ordre de spéculations abstraites, nous trouvons une corrélation exacte entre le système de solutions que la question comporte et le système des solutions que donne l'algèbre, il faudra

ne voir dans cette corrélation qu'un fait accidentel,

ou bien il faudra en chercher la raison dans un autre fait plus général, sans admettre en principe, et comme une vérité & priort, qu'une telle corrélation existe

nécessairement pour tous les cas.

36. Proposons-nous encore cette autre question : Deux joueurs, Pierre et Paul, entrent au jeu; Pierre qui n’a qu'un écu le donne à Paul pour avoir le droit de tirer dans une urne qui contient des billets blancs, des billets portant le n° 4 et des billets portant le n° 2; s’il tire un billet blanc, Paul ne lui rend rien, et la partie est finie à ce premier coup; s'il tire un billet n° 4, Paul lui rend un écu: il en rend deux si Pierre a amené un billet n° 2. Dans tous les cas le billet extrait est remis dans l’urne, les conditions du sort devant rester les mêmes à chaque tirage.

Au second coup, Pierre expose successivement de la même maniere chacun des écus qu'il a reçus de Paul par suite du résultat du premier coup. La partie peut finir à ce second coup, parce que les écus exposés seront successivement perdus, et que Paul ne rendra rien. Au cas contraire, les écus reçus de Paul par suite des résultats du second coup seront successivement exposés dans un troisième coup, et ainsi de suite. On demande les probabilités p,, p,, p,,.... p,, que la partie finira, et que Pierre sera dépouillé au plus tard à l'issue du 4”, du 2°, du 3°,.... du n°" coup.

Appelons #,, #,, 4, les probabilités respectives des

3/4 CHAP. V.—-DE LA TRADUCTION tirages d’un billet blanc, d’un billet n° 4 et d'un billet n° 2, de sorte qu'on ait

et formons le polynome + ka + hi : [a]

la probabilité p,, est évidemment égale à k,; la probabilité p, est la valeur que prend le polynome [4] quand on y remplace « par #,—p,; la probabilité p, est la valeur que prend ce même polynome quand on y remplace « par p,, et ainsi de suite. La forme du

polynome [4] montre que la suite

Pis Per Ps» EÙC., [? |

prolongée à l'infini, se compose de termes positifs qui vont toujours en croissant, sans jamais égaler . l'unité. Donc ces termes convergent vers une certaine limite positive y, plus petite que 1, ou tout au plus égale à 1, et dont on obtiendra la valeur en fai-

sant dans “équation

Pa = ho Pr + Repos Pr = Pr =}; Ce qui donnera J=hthy+kr, ou bien en vertu de l'équation [1],

KP + k)y += (y —1 NAT —k5) = 0;

de sorte que, si l’on désigne par y’, y" les deux ra-

cines , il viendra

Remarquons maintenant que Paul jouera à chaque coup avec avantage, ou à jeu égal, ou avec désa-

vantage, Suivant qu on aura À, +24, < 4; k + 2% —1, k, +28, jet

conditions dont l'expression se réduit, en vertu de

l'équation [1], à À, et 4, ete k, De À.

Dans le premier cas, la valeur de y" surpasse 1 et ne peut convenir à la question; c’est la valeur de y' qui y satisfait, quelles que soient d’ailleurs les valeurs numériques de 4,, 4. Au second cas, les deux valeurs de y', y" deviennent ‘égales et satisfont indifféremment à la question. Au troisième cas enfin, ce n'est plus la valeur constante de y', mais bien celle de y" qui y satisfait, puisqu'il est visible que la probabilité de la ruine finale de Pierre doit pouvoir devenir aussi petite qu'on le voudra, par l’attribution d'une valeur suffisamment petite au coefficient #,. Ainsi, dans ce problème , non-seulement il y a une racine algébrique étrangère à la question, mais la solution du problème, d’abord attachée à l’une des racines algébriques, la quitte brusquement pour s'attacher à l'autre.

On peut généraliser l'énoncé de la question en

supposant dans l’urne des billets portant les n° 3, 4, etc., dont le tirage entraînerait pour Paul l'obligation de rendre à Pierre 3, 4 écus, etc.; ou même, sans emprunter de considérations étrangères à l’arithmétique pure, on peut supposer que la loi de formation des nombres [p], au lieu de dépendre du polynome [4], dépend du polynome

LC CAE dans lequel les coefficients 4,, 4,,...4, sont liés par l'équation