CK=BK-CB

par conséquent CK doit changer de signe ; mais

comme d'un autre côté D K devient aussi inverse , puisque dans le premier système on a

DK=AD- AK,

et dans le second cas, au contraire,

DK = ÂK-AD.

II suit que D K doit aussi changer de signe ; et que par conséquent l'équation finale doit se retrouver la même que lorsque le point d'intersection K étoit au-dedans du cercle.

tëi. Ce que j'ai dit jusqu'à présent est applicable à toutes les espèces de quantités. Je passe maintenant à ce qui regarde particulièrement les quantités géométriques.

Concevons deux systèmes quelconques de points en nombres égaux , mais arrangés diversement. Comparons chacun à chacun , et dans quel ordre on voudra , les points du premier système avec ceux du second , et nommons points correspondans ceux qui sont ainsi comparés deux à deux , l'un dans le premier système , l'autre dans le second.

Supposons que dans chacun de ces systèmes on trace un même nombre de lignes droites , on décrive un même nombre de circonférences, on fasse passer un même nombre de plans , en menant toujours ces droites, ces circonférences, ces plans, parles points correspondans; et qu'enfin tout ce qui est exécuté d'un côté le soit pareillement de l'autre j il est clair que deux pareils systèmes de quantités sont de ceux que j'ai nommés systèmes corrélatifs , ou figures corrélatives ; et les points, les droites, les arcs, les angles, les surfaces, les solides qui en résultent,

menés ou établis de la même manière dans ces deux systèmes, sont également dits corrélatifs chacun à chacun. Enfin j'appellerai fonctions , formules , équations corrélatives , celles qui expriment leurs propriétés analogues. Toutes ces définitions cadrent évidemment avec les notions générales que nous avons données précédemment.

6â. Les figures corrélatives ne sont pas pour cela des figures semblables 5 car quoique composées d'un même nombre de parties correspondantes , ces parties peuvent avoir des rapports difFérens. En effet ^ les points dits corrélatifs ne sont pas des points semblablement placés dans les deux systèmes , puisqu'on les a supposés disposés arbitrairement. Lorsque ces points sont semblablement placés , on peut dire qu'il y a entre les deux systèmes corrélation de similitude, et l'on peut dire qu'il y a corrélation d'identité ou de superposition , lorsque les deux figures sont absolument semblables et égales entre elles.

63. Puisque la base de chacun de ces systèmes est un assemblage de points qui sont en même nombre dans l'un et dans l'autre , nous pouvons coucevoir que l'un de ces systèmes étant fixe et pris pour terme de comparaison, l'autre varie insensiblement, de manière que chacun dé ses points approche graduellement du point corrélatif de l'autre système, et finisse par coïncider avec lui. Alors ces deux systèmes se confondront et deviendront identiques. On peut également concevoir que deux systèmes étant

d'abord identifiés, l'un des deux reste fixe, et que l'autre s'en éloigne insensiblement , en changeant de forme par degrés, et chaque point prenant une position plus ou moins disparate avec celle qu'il avoit dans le système primitif.

64. Je suppose que l'on connoisse les propriétés d'une figure quelconque , que je prends pour servir de terme de comparaison à toutes les figures qui lui sont corrélatives ; et je cherche quelles modifications doivent éprouver les formules ou équations qui expriment ces propriétés connues , lorsqu'on veut les transférer on en faire l'application aux figures corrélatives.

En regardant toutes ces figures corrélatives comme les diflërens états du système primitif pris pour terme de comparaison , qui varie par degrés insensibles , on pourra regarder les formules trouvées comme appartenant à toutes les autres; et il ne s'agira , pour l'application , que d'attribuer dans chaque cas particulier, aux diverses variables , les valeurs absolues qui leur conviennent, et le signe dont chacune doit être affectée.

65. Réciproquement , le système primitif étant donné, ainsi que les formules qui s'y rapportent, on peut demander quel est le système corrélatif auquel se rapporteroient les formules modifiées de telle ou telle manière.

66. Enfin on peut demander quelles formules seroient en même temps applicables aux deux sys-

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 5lJ

ternes ; c'est-à-dire, quelles formules générales contiendroient en même temps les formules immédiatement applicables à chaque système en particulier. Or, ce sont ces difFérens genres de questions qui forment le sujet de cet essai.

. 67. La marche que je suivrai pour établir la corrélation de deux figures , sera d'établir d'abord la corrélation des points , puis celle des lignes , des angles , des arcs , des surfaces , des solides.

68. Je distingue pour les points deux sortes de corrélations, savoir : la corrélation de construction, et la corrélation de position. La corrélation de construction est celle qu'on établit entre les points de deux figures considérées dans l'ordre de leurs constructions respectives. La corrélation de position est celle qu'on établit entre ces mêmes points, en les considérant dans l'ordre suivant lequel ils se trouvent rangés sur les lignes corrélatives qui les contiennent.

69. Soient , par exemple , deux triangles ABC,. A'B'C {fig. 1 été), dans lesquels je prends A et A\ B et B', C et C, pour respectivement corrélatifs. Abaissons des points corrélatifs A, A', les perpendiculaires AD, A'D', sur les bases opposées; les points D et D' sont corrélatifs entre eux dans l'ordre de la construction. Mais supposons que dans le premier triangle ABC, pris pour terme de comparaison , D tombe entre B et C, tandis que dans le second, le point C tombe entre B' et D', correspon-

4o DE LA CORRELATION

dans de B et D ; la corrélation de position consistera

dans l'expression de cette différence.

70. Pour établir la corrélation de construction , je me contente d'écrire la série des points qui déterminent chaque figure, en les plaçant dans un même ordre les uns sous les autres, chacun sous son correspondant , comme il suit 5

Corrélation de construction.

ier Système A B C D

2° Système....... A'B'C'D'

Par où je vois que , dans l'ordre de la construction , A' correspond à A , B' à B , C à C , D' à D.

7 1 . Etablissons maintenant la corrélation de position. Je vois que, pour exprimer cette corrélation , il me suffit d'indiquer que, dans la première figure, D se trouve sur la droite B C, entre les points B et C; au lieu que dans la seconde , D' se trouve sur B' C , de manière que c'est C qui est placé entre B' et D'. Or , il suffit , pour indiquer cette modification , d'écrire les deux séries des points correspondans suivant l'ordre dans lequel ils se trouvent rangés 6ur les bases corrélatives BC, B'C, comme il suit :

Corrélation de position.

\n Système BDC

2e Système B'C D'

Les barres tirées au-dessus de ces séries de points

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 4l

servent à indiquer que ces points sont rangés sur des lignes droites.

72. J'exprime de la même manière la corrélation de position de deux séries de points placés sur des arcs corrélatifs, avec cette différence , qu'au lieu d'une barre droite tirée au-dessus, ce sera une barre courbée ; de manière que si A , B , C , D , par exemple , sont quatre points placés sur un arc de cercle, dans l'ordre ABC D, tandis que leurs correspondans A', B', C, D', sont placés sur l'arc de cercle corrélatif au premier dans l'ordre B' D A C , on établira ainsi les corrélations de construction et de position :

Corrélation de construction.

1" Système ABCD

a* Système AB'C'D'

Corrélation de position.

Ier Système A BCD

2e Système B'D'A'C'

70. Pour exprimer le point de concours de deux lignes droites, comme A B, CD, j'écrirai A B CD; c'est-à-dire, les deux droites avec un point placé entre les deux barres mises au-dessus. Ainsi , cette expression signifie point de concours des droites A B , C D , prolongées s'il le faut. De même , pour exprimer le point de concours de deux arcs A B, CD,

j'écrirai A B CD ; pour exprimer le point de concours d'une droite A B avec un arc C D , j'écrirai

A B CD ou CD A B. Si deux droites , ou deux arcs, ou une droite et un arc, étoient exprimés par de simples lettres comme a , b , on exprimeroit leur point de concours de cette manière, a'b.

On voit par-là que FÀBCD, par exemple , doit signifier la droite menée du point F au point

de concours de A B et CD; queAB " CDFGHK. doit signifier la droite menée du point de concours des droites AB, CD, au point où se croisent les

deux arcs F G, H K; queAB CDFG HK. LM

doit signifier le point où l'arc LM coupe la droite menée du point d'intersection des droites A B , CD, à celui où se coupent les arcs F G, HK, ainsi des autres.

71*. Pour exprimer que deux points coïncident , ou ne sont qu'un seul et même point considéré de deux manières, j'en écrirai la double expression, séparéeparle signe=f=, que j'appellerai signe d'équipollence. Par exemple, si les droites AB, CD,

concourent au point E , j'écrirai A B C D #= E ; si les deux droites AB, CD, concourent au même point que les deux arcs F G, HK, j'écrirai...

Â~B 'cD+FG'hr.