CD

son signe de corrélation est — . Il en est de même de toutes les autres valeurs énumérées dans le tableau.

112. Tout cela s'accorde visiblement avec ce que nous avons dit ( 55 ) sur les racines de l'équation qui existe entre les coordonnées d'une même courbecar nous avons vu que ces racines se rapportent à la branche de la courbe située de l'autre coté de l'axe, à l'égard du système sur lequel le raisonnement a été établi. Ici le raisonnement a été établi sur le premier quart de circonférence 5 les abscisses sont comptées

du centre et représentées par C E ou B D , et les ordonnées par B E ou C D : donc lorsque les valeurs de corrélation de ces ordonnées deviennent néga-

tives c'est une preuve que cette ordonnée est inverse, ou répond à l'autre côté de l'axe FF'; et pareillement , lorsque les valeurs de corrélation des abscisses deviennent négatives, c'est une preuve que ces abscisses sont inverses , ou répondent à l'autre côté de l'axe A A', à l'égard du premier quart de la circonférence , sur lequel le raisonnement a été établi.

il 3. On s'exprime d'une manière peu exacte, ou au moins fort obscure, en disant , par exemple, que la quantité B E devient négative lorsque le point B passe en B', et qu'en supposant la coïncidence de E et E', on a

que pareillement on a

W~D=—BT>.

Pour faire sentir l'inconvénient de ces sortes d'expressions, il n'y a qu'à remarquer qu'on a

bW^be + ïë.

Mettant pour B'E sa valeur tirée de l'équation précédente y on aura

BB' = o;

ce qui répugne. On trouvera de même

BB'" = BD+ B"D, qui , en substituant la valeur de B'" D tirée de l'équation B"' D = — B D , se réduit pareillement à

bF = oj

DES FIGURES DE GEOMETRIE. j5 autre résultat que le bon sens repousse. En admettant ces résultats , on auroit

BB'.BB'"=o, d'où suivroit , par exemple , que le quarré inscrit dans un cercle seroit o. On sent bien que si l'on admettait de pareilles conclusions en mathématiques , cette science de l'évidence seroit bientôt tellement dénaturée, qu'on ne s'entendroit plus ; et cependant , en regardant les quantités B' E , B" D , comme négatives , il est bien difficile de se défendre du paralogisme. Il faut donc en revenir à la distinction que nous avons établie entre les quantités proprement dites ou valeurs absolues , et leurs valeurs de corrélation : car ce n'est point B' E , mais sa valeur de corrélation qui est égale à — B E; c'est-à-dire , qu'on a, non pas B'E = — BE , mais — B'E = — BEj et alors il n'y a plus matière au paralogisme.

11 4. Supposons le rayon de la circonférence AFAF' représenté par 1 ; nommons <a le quart de

la circonférence , et faisons AB = flj nous aurons donc

AB=a, ABB'=2zr— a, ABB'B'/=2ct+c, ABB'B"B"/=^w~a

BF^-c, F?=^-fl, FB'B"=*r+a, Y^B"—^-a BD==sinc, BE^cosa, AD=sinva, FE=cosva, AD '=2 — sinvf/. AHr=tang«,FG=cot«,CHr=séccr,CG=cosécc, FE"=2 — -cosv«. En substituant ces valeurs dans le tableau général

de corrélation formé ci-dessus , il prendra une nouvelle forme.

11 5. Mais avant d'opérer cette substitution, je remarque que, d'après ce qui a été dit (108), ce nouveau tableau sera encore susceptible d'une plus grande généralité : car si l'on suppose que le point B arrivé en B'" continue de circuler en rentrant dans le premier quart de la circonférence, et reprenant sa première position, il est clair que les sinus , cosinus , etc. reviendront à ce qu'ils étoient , et que le nouveau système ne différera du système primitif

qu'en ce que l'arc A B sera devenu

ABB BB'77B = 4 ^r-f -a, et que l'arc B F sera devenu

FB'B"B'"B = 3'ï + a.

Supposons qu'il fasse encore un nouveau tour : l'arc A B deviendra 8 & + a ,

et BF, 7^ + a.

Enfin , s'il décrit un nombre m de circonférences entières , l'arc A B deviendra

4 m <ts -f- a, , et l'arc BF, {km — i)*r + a,

sans que les sinus, cosinus, etc. aient changé. On pourra donc , dans le tableau , au lieu du premier terme a du premier système, mettre en général

4 m «s -+- a , et au lieu du second & — a , mettre en général 4/72 — 1 «■ + «. En appliquant la même observation aux second, troisième et quatrième quarts de la circonférence , on formera le tableau général suivant de corrélation entre tous les systèmes possibles.

Syst. des arcs dont le dernier point tombe I , / , : . ~T~~ ~

sur le \ arc de la\ circonférence . . .

Syst. des arcs dont le dernier point tombe I ' ' - ,

;e 7,1 + 4/7Z 4- 2 . «■ — ûf, — Htm 4- 1 .vr-ra.

sur le 2 arc de la \ ^"*~ '

circonférence . . .

Syst. des arcs dont le

dernier point tombe I , r~" . ". / , "7 T , „

, /. , . 4-4TO-4- 2. '3"+a« 4/77-4-1. t7 <7,

sur /g 3e arc d<? /a j ,*"*t^'b" h "-> » >

circonférence

Syst. des arcs dont h dernier point tombe \ sur le 4° arc de la\ + 4,7* 4-4.<*r— â, —4m + 0.<* + a,

circonférence . . .

+ sin<2, -hcosa, -4-sinvtf, + cosv<z,