sina, — cosa, +(2 — sinva), + cosv
— sina, — cosa, +2 — sinva, +(2 — cosva),
— sina, -J-cos<2, -f-sinvtf, +(2 — cosva),
S + tanga, +cottf, -f-séca, + coséc #. — tang a, — cot«, — séca, + coséc a.
j ~j- tang a , -f- cot a , — séc a , — coséc a. •> — tang a , — cot a , -f- séc a , — coséc a.
HO. Au moyen de ce tableau général de corrélation, si l'on avoit une ou plusieurs formules entre
les quantités qui composent le système primitif, c'est-à-dire, celui des arcs moindres que le quart de circonférence qui a été pris pour terme de comparaison , en substituant à leurs places les valeurs qui lui correspondent dans l'un quelconque des autres systèmes , les formules auroient encore lieu, et seroient immédiatement applicables à cet autre système. Et réciproquement, on peut passer de l'un quelconque des quatre systèmes à celui des trois autres que l'on voudra, en substituant les valeurs de corrélation des quantités qui composent ce dernier, aux valeurs de corrélation qui composent l'autre.
117- Il est à remarquer que, dans ce tableau, on peut prendre , tant pour l'arc a que pour le nombre m , ou seulement pour l'un des deux , une valeur négative. Il en résultera seulement ( 28) que les nouvelles formules ne seront plus immédiatement applicables aux mêmes systèmes, mais à d'autres systèmes corrélatifs 5 et l'on verra aisément que ces systèmes sont ceux qui naîtroient en faisant circuler B dans le sens contraire au premier , c'est-à-dire , dans le sens BB"B"B', au lieu que nous l'avions fait circuler dans le sens BB B"B".
llo. Il suit encore de ce tableau, qu'il faut distinguer pour chaque arc, ainsi que pour ses sinus, cosinus, etc. deux valeurs, savoir: sa valeur absolue, et sa valeur de corrélation. La première est celle qui a lieu , abstraction faite du signe qui l'affecte dans
le tableau ; la seconde est cette même valeur prise collectivement avec le signe de corrélation.
Par exemple , le sinus de l'arc im-j- 2 . it -{• a, du troisième système , a pour valeur absolue sin a , la même que sa correspondante dans le système primitif ; mais sa valeur de corrélation est — sin a. C'est donc cette dernière valeur qu'il faut substituer ( 27 ) dans les formules du système primitif, au lieu de sa valeur primitive + sin «, pour rendre ces formules immédiatement applicables au cas où l'arc, qui , dans le système primitif, est a , devient , comme
on le suppose, 4ra-j-2.'ï + a; c'est-à-dire, en général , répondant au troisième quart de la circonférence.
Il suit de- là que, dans le second système, par exemple, — cos a est la valeur de corrélation du cosinus de l'arc 4m+2.ï — a ; que dans le troisième , — sin a est la valeur de corrélation du sinus de l'arc 4 m -f- 2 . -b- -{- a -, ainsi de suite.
119. Lorsqu'on emploie dans le discours ou dans le calcul, les expressions d'arcs, de sinus, cosinus, tangentes , etc. ou leurs abréviations, sans prévenir s'il s'agit de leurs valeurs absolues ou de leurs valeurs de corrélation , on entend toujours qu'il s'agit de ces dernières; et lorsqu'on veut parler des valeurs absolues , on en avertit expressément. Mais cette observation ne peut porter que sur les arcs qui ne sont pas compris dans le premier quart de la circonférence, puisque pour ceux-ci , la valeur de corré-
jS DELA CORRÉLATION
lation n'est pas différente de la valeur primitive. Nous aurons donc dans le second système , par exemple ,
cos ( 4 ra -+- 2 . -»• — a ) = — cos a ; dans le troisième ,
sin (4/7z-f 2.<sr + a)= — sin a$
ainsi des autres; c'est-à-dire, que le tableau général de corrélation nous fournit cette série d'équations :
sin (4m®+ a) == sin a
(sin (4m+ 2 . m — a) = sin a
|sin (4/rz-t- 2 . 'a--}- a ) = — sin<2 , sin (4/7&,3r — <2 ) = — sin «
'cos ( 4 m ^ + # ) = cos a cos (4/7Z+ 2 .^ — a ) = — cos a |cos (4ro+ 2.-ar + a)= — cos a
COS ( 4 772 -3T — a ) = cos £Z
sin v(4/7z,3r + a) = sin v a Jsin v ( 4 m -f- 2 . ^ — <2 ) = 2 — sin v « (sin v(4m + 2.^r+a)==2 — sin v a sin v(4w5f — a) = sin v a
cos v(4m'sr + (i) = cos v (2 Jcos v(4m + 2.'3r — a)= cos v a
jcos v(4/ra + 2 . ^ H- a) = 2 — cos v a cos v ( 4 ttc -s- — a) = 2 — cos v a
'tang (4 m,™ + a) = tang a
[tang (4m-r 2.-3- — a) = — tang a
|tang ( 4 /» + 2 . «■ ■+■ ,0) = tang a tang ( 4 /ra «■ — a ) = — tang a
cot (4m^ + a) = cot a
Icot (4/72 4- 2 . -sr — a ) = — cot a
cot (4/72+ 2 . -a* 4- a) = cot a cot (4/72-25- — a) = — cot a
séc (4t m^ -h a) = séc a
|séc ( 4 77Z 4- 2 . -sr — eû ) = — séc a
Iséc (4/72 + 2.^+ (2) = — séc a séc (4/72'ar — a) = séc a
coséc (4/7Z'3r4-a)= coséc a Jcoséc (4/72 4- 2 . -sr — a ) = coséc a coséc (4/724-2.'3r+a)=: — coséc a coséc (4/72^ — a) =■ — coséc a
120. L'arc B F ou «■ — a, qui forme le second terme du tableau dans le système primitif , est le complément de Tare a : ainsi , le second terme , pour chacun des autres systèmes, est la valeur de corrélation correspondante. Par exemple , dans le second
système, le second terme — ( 4 m + 1 • ^ 4- cl ) est la valeur de corrélation du complément de l'arc, qui a lui-même pour valeur de corrélation le premier terme 4 m + 2 • & — « 5 ce qu'on exprime (119;
8o DE LA CORRELATION
en disant que le second terme est le complément du premier ; et comme dans les quatre systèmes la somme faite du premier terme et du second est toujours ■sr, on en conclut que la somme faite d'un arc et de son complément, est toujours le quart de la circonférence ; ou, ce qui revient au même , on nomme en général complément d'un arc ce qu'il faut lui ajouter pour faire le quart de la circonférence ; mais d'après ce qu'on vient de dire , cela ne s'applique immédiatement qu'aux arcs moindres que le quart de cette circonférence. Pour tous les autres, ce n'est pas des arcs eux-mêmes , mais seulement de leurs valeurs de corrélation que ces définitions doivent s'entendre.
121. Il en est de même du supplément d'un arc , lorsqu'on dit que ce supplément est ce qu'il faut ajouter à l'arc pour faire une demi-circonférence. Cela s'entend des valeurs de corrélation seulement, à moins que l'arc n'appartienne au système primitif, c'est-à-dire, ne soit moindre que le quart de la circonférence.
12 2. Par la série des équations trouvées ci-dessus , on voit , par exemple ,
Que les sinus et cosinus verses de tout arc quelconque ( c'est-à-dire (119), leurs valeurs de corrélation ) sont positifs ;
Que la sécante est toujours du même signe que le cosinus ;
Que la cosécante est toujours du même signe que
le sinus j
Que
DES FIGURES DE GEOMETRIE. 8l
Que la tangente et la cotangente sont toujours de mêmes signes ;
Que le signe de la tangente et celui de la cotangente sont toujours + lorsque le sinus et le cosinus sont de mêmes signes, et — lorsqu'ils sont de signes différens ;
Que le cosinus de tout angle obtus est négatif;
Que les cosinus de deux arcs égaux, mais l'un positif, l'autre négatif, sont égaux entre eux ;
Que le sinus de tout arc plus grand que la demicirconférence, mais moindre que la circonférence entière, est négatif ou positif , suivant qu'au contraire l'arc lui-même est positif ou négatif;
Que le sinus d'un arc est toujours égal au sinus de son supplément;
Que le cosinus d'un arc est toujours égal à — le cosinus de son supplément ;
etc. etc. etc.
123. Ces propriétés particulières peuvent se démontrer chacune isolément , sans recourir au tableau général de corrélation. Par exemple, on sait que, pour tout arc moindre que le quart de la circonférence, on a
cos a : Bina :: 1 : tang a $
sin a
donc *ang a = y
cos a
donc (20) la même équation a lieu pour tous les systèmes possibles, en substituant à ces quantités primitives leurs valeurs de corrélation; donc si le
8à DELACOllRÉLATION'
sinus et le cosinus d'un arc quelconque ont le même signe de corrélation , la tangente aura ■+• pour le sien, et — si les signes de corrélation du sinus et du cosinus sont différens, ainsi que le portent les propositions particulières qu'on vient de voir. Pareillement on a
cos a : 1 :: 1 : sec <z;
donc séc a
coscz
donc le signe de corrélation de la sécante est toujours le même que celui du cosinus ; ce que nous exprimons ( 1 19 ) en disant que la sécante est toujours de même signe que le cosinus. Cela se rapporte à ce que nous avons déjà dit ( 1 1 1 ).
1 24. Je me suis fort étendu sur cet exemple familier pour développer davantage les principes exposés précédemment , et montrer combien il est essentiel de distinguer exactement dans un système de quantités , les valeurs de corrélation des valeurs absolues , et de tout rapporter à un système primordial , lorsqu'on ne veut jamais procéder que d'une manière claire et satisfaisante pour l'esprit. Cette marche, au surplus, n'apporte aucunes nouvelles difficultés de plus , et sert , au contraire , à en prévenir beaucoup.
1 25. Il paroîtroit plus naturel de comparer directement un arc à sa corde même qu'à son sinus , qui est la moitié de la corde d'un arc double ; et il est probable qu'on a commencé par en user ainsi. L'in-
DES FIGURES DE GEOMETRIE. 83 vention des sinus doit sa naissance aux efforts qu'on a faits pour trouver la résolution des triangles. On a pu s'appercevoir bientôt que cette résolution , en général , pouvoit toujours se ramener à celle des triangles rectangles. On a donc pris pour terme de comparaison un triangle rectangle d'une base donnée , dont l'hypoténuse , par exemple, étoit représentée par I ; on a calculé ce triangle pour tous les cas possibles , d'après cette hypothèse , et l'on a dressé des tables où ce calcul se trouve tout fait. Ces tables sont précisément celles qu'on nomme tables des sinus. C'est l'idée très-juste et très-lumineuse qu'en donne depuis long-temps Lacroix dans ses Cours , et sur laquelle il a formé le plan de sa Trigonométrie.
126. Soit (jig.8), sur l'hypoténuse B~C de ce triangle rectangle, ABC, prise pour diamètre, décrite une circonférence, elle passera par le sommet A de l'angle droit. Or, je dis qu'en représentant l'hypoténuse B C par 1 , le côté A B est le sinus de l'angle A C B ; car si du centre D on mène à A C la parallèle D H , il est clair qu'elle tombera sur le milieu de A B : donc le sinus de A D H ou A C B est
