Il est à remarquer que la droite A F G coupe
B D perpendiculairement au point I ; car dans le triangle I A D , l'angle I A D étant , par hypothèse , égal à D A C ou n , et I D A égal à B C A ou ^ — n, il suit que la somme de ces deux angles fait le quart de la circonférence : donc AID fait aussi le quart
de la circonférence; c'est-à-dire, que AI est perpendiculaire àB D. Donc , réciproquement, en menant du point A la perpendiculaire AI sur BD, cette perpendiculaire passera par F. Par la même raison , en menant du point D une perpendiculaire D K. sur A B , elle passeroit aussi par le point F. Donc , dans le triangle AB D , les trois perpendiculaires A I , B E , D K , menées des trois angles sur les côtés opposés , se croisent toutes au point F. On prouveroit de même que , dans le triangle ABC, les trois perpendiculaires abaissées des angles sur les côtés opposés se croiseroient toutes au point H ; et comme les angles m, n, sont pris à volonté, on peut en conclure que , dans tout triangle , les trois perpendiculaires menées des angles sur les côtés opposés , se croisent toutes en un même point.
DES FIGURES DE GEOMETRIE. g5
l56. Puisque l'angle G AD est, par construction, égal à l'angle CAD, l'arc GD sera égala
Parc CD. Donc, en général, si d'un point D, pris à volonté sur une circonférence, on mène deux
cordes quelconques DA, DB, et que des autres extrémités A et B de ces cordes , on leur mène les perpendiculaires A G, BC, prolongées jusqu'à la
circonférence, les arcs DG, DC, compris entre le premier point D et les nouveaux points d'intersection, seront égaux. D'où il suit, par exemple, -que
si l'on menoit la corde C G , elle seroit coupée perpendiculairement par le diamètre mené du point D; et que, réciproquement, la droite menée du point D, perpendiculairement à CG, passeroit par le centre du cercle.
137. On pourroit, en partant toujours des notions que nous avons données (126), rapporter la théorie des quantités angulaires dont nous venons de parler à un principe plus général, qui consiste dans cette proposition connue, que, dans tout quadrilatère inscrit au cercle , le produit des deux diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.
Car , soit (fîg. 11) ACBDun semblable quadrilatère. Supposons l'arc AB = 2 a, AC = 2 b, DC = 2 c,
et par conséquent BD = 2.(2w — (tf + ^ + O); nous aurons donc (126)
96 fiÈ LA CORRÉLATION
A B = sin a , A C = sin b , DC= sin c y B~D = sin (a + b + c) , BC = sin (a + &),
ÂD = sin(6 + c).
Substituant ces valeurs dans l'équation
BC . Â5=ÂB . DC +ÂC . BD, nous aurons sin(a+è) . sin(ô+c)=sina. sinc+sinè. sin(a+è-j-c) ,
formule qui aura lieu quelles que soient les valeurs qu'on attribue aux angles a, b, c.
Supposons , par exemple , b •+■ c = & ; on aura
donc
sin ( b + c ) s= 1 , sin c — cos b , sin (a + b + c) = sin ( «■ + a ) = cos <z.
Donc la formule deviendra
sin ( a + & ) = sin a . cos # + sin & . cos a. Supposons b = « ; nous aurons sin 6=1, sin (<2+£>) = cos<27 sin (& + c) = cosc,
sin (a+£ + c) = cos (a + c).
Donc la formule deviendra
cos ( a -f* c ) = cos a . cos c — sin a . sin c. Supposons c = — a ,- nous aurons sin c = — sin a , sin( £ + c) = sin {b — <z), sin (a + b + c) = sin £.
Donc la formule deviendra
sin ( b + ci ) . sin ( 6 — a ) ==? sin* 5 — sin8 <z.
Soit
DÉS FIGURES DE GÉOMÉTRIE. g?
Soit c ="» — a j on aura
sinc = cosa, sin(6 ■+- c) = cos (a — è),
sin (a 4- £ + c) == cos &.
Donc la formule deviendra
sin(<z 4- &) . cos(<z — #) = sina . cos a -f- sin£ . cos£.
Ainsi, cette seule proposition renferme toute la théorie des quantités angulaires.
l38. Après avoir parlé du rapport de ces quantités , disons quelque chose du rapport des lignes. Il faut pour cela se rappeler que nous avons fait le diamètre du cercle = 1 5 et la valeur linéaire de ce diamètre ne pouvant entrer dans celles des sinus, cosinus, etc. parce que ceux-ci sont toujours des nombres abstraits, il n'y a rien à changer à cet égard dans les rapports que nous avons trouvé exister entre eux. Mais s*il s'agit d'avoir les valeurs effectives des lignes de la figure , il faudra commencer par rendre les équations homogènes, en remettant à la place de l'unité, là où elle représente le diamètre, la valeur effective de ce même diamètre. Supposons donc le rayon = R , et par conséquent le diamètre = 2 R ; alors , pour rendre homogènes les équations trouvées, il faudra y mettre , au lieu des
valeurs ÂB, ÂC, BD, etc. celles-ci, S* £5f 22,
qui par-là deviendront des nombres abstraits, ainsi que l'est chacun des seconds membres de ces équations,
10Q. Les formules ainsi transformées, pourront fournir plusieurs conséquences nouvelles. Par exemple, nous avons pour l'une d'elles
ÂB2 + DC3=i.
Cette équation deviendra
g + fg=1, ou ÂB' + 5c' = 4R',
qui nous apprend que si dans un cercle on mène deux vordes qui se coupent à angle droit au- dedans du cercle , la somme des quarrés de deux quelcon* ques des côtés opposés du quadrilatère auquel ces cordes servent de diagonales , sera égale au quarré du diamètre , et par conséquent la somme des quarrés des quatre côtés de ce quadrilatère sera double du quarré de ce même diamètre.
De même nous avons pour l'une des formules,
ÂË2 + BË2 + CE2 + DE2 = i :
or , cette équation devient
AË2 + BË2 + GË2 + DE2 = 4 RA ce qui nous apprend que si dans un cercle on mène deux cordes quelconques qui se croisent à angle droit y la somme des quarrés des quatre segmens sera égale au quarré du diamètre.
Puisque ËC == BË + ËC, on aura
BC2 = BË2 + ËC2+ 2BË.ËC, et pareillement
AD2 = ÂË2 + ËD2 -MÂË.ËD;
DES FIGURES DE GEOMETRIE. gg
ajoutant ces deux équations , et observant que, par
la proposition précédente, on a. i „
ÂË2 + ËD2 + BË2 + CE2 = 4 R% et que par la
propriété du cercle, onaBE.EC = ÀË.Ei), il viendra
BC 2 + ÀD 2 == 4 Ra + 4 ÂË . ËD î et comme par la propriété du cercle dont nous venons de parler , le produit A E . E D est le même pour toutes les cordes possibles coupées en deux segmens par le point E , il suit que, dans un cercle .quelconque , si par un point E donné sur sa surface, on mène à volonté deux cordes qui se coupent à angle droit , la somme des quarrés de ces deux cordes sera toujours la même.
Nommons r la distance du point E au centre du cercle, ou le rayon de la circonférence concentrique qui passeroit par le point E; les segmens formés par E sur le diamètre , passant par ce point, seront R + r, R — r; et leur produit sera par conséquent R* — r\ Donc on aura
ÂD . ËD = R2 — r%donc l'équation précédente deviendra
BC2 + AD2 = 8Ra — 4r%c'est-à-dire , que si d'un point quelconque pris sut' la surface d'un cercle , on mène deux cordes quel* conques orthogonales y la somme des quarrés de ces deux cordes sera toujours égale au double du quarrédu diamètre , moins quatre fois le quarré
ïoo DE LA COU RELATION
de la distance du point d' intersection des deux
cordes au centre du cercle.
Enfin , comme d'après les formules trouvées (127),
il est aisé de voir qu'on a aussi BCJ + AH2 = i, cette formule deviendra
BC2+ÀH2 = 4R!.
l4o. Si l'on adoptoit la forme des énoncés techniques que nous avons proposés (87), les quatre propositions précédentes pourroient s'exprimer ainsi -en une seule : .
Cir ABCD, centre L; A,B,C, D, rangés à
volonté, AD1 BC, AD *BC4=E, donnent
i°. AB2 + CD2 = 4ÂL?;
