Supposons maintenant que B C se meuve

DES FIGURES DE GEOMETRIE. ï)i parallèlement à elle-même dans le sens opposé, c'est-à-dire, en s'éloignant du point A, et qu'ensuite la droite A D se meuve aussi parallèlement à elle-même, en s'éloignant du centre, jusqu'à ce que le point E d'intersection de cette droite avec B C , tombe hors du cercle (Jïg. 10 ) ; je dis qu'alors l'angle n ou C A D sera devenu inverse. En effet , cet angle a évidemment passé par o au moment où le point E s'est trouvé sur la circonférence, et par conséquent en coïncidence avec C etD $ et de plus, dans le système primitif, on avoit

CAE = CAB — BAE; tandis que dans le nouveau, on a, au contraire,

CAE = BAE — CAB.

Quant à l'angle m, il reste direct, puisqu'il n'a évidemment passé ni par o, ni par co . Donc pour savoir dans ce cas ce que deviennent les formules , il n'y a qu'à changer, dans le second membre de chacune, le signe de n , et l'on trouvera la valeur de corrélation du premier membre regardé comme inconnue. Ainsi , l'on pourra juger si ce premier membre reste lui-même direct , ou devient inverse. C'est ce qu'on peut voir aussi directement sur chacune des quantités qui entrent dans ce premier membre. Par exemple , on voit que D E est inverse , puisque , clans le nouveau système, on a

DË = ÂË — AD; tandis que dans le système primitif, on avoit DË^ÂD — ÂË.

De même, CE est inverse , puisque dans le premier système , on avoit

CE = BC — BE, et que dans le second, on a

CÊ = BË — BC.

CD est également devenue inverse ( 122), puisqu'elle est le sinus de Tare CAD qu'on vient de voir

être devenu inverse. Quant aux quantités AB, AC, BD, BC, AD, B£,AE, aucune d'elles n'a passé ni par o , ni par go . Elles sont donc restées directes, et nous pouvons par conséquent établir entre les deux systèmes la corrélation suivante :

ne Syst. -f ÂB,+ÂC,-t-BD,— CD,-j-BC;+ÂD,+BÏf,— €Ë,+ÂE,— DE.

Si donc l'on vouloit rendre les formules trouvées immédiatement applicables au nouveau système, il suffiroit, après avoir, comme nous l'avons dit cidessus , changé dans le second membre de chacune le signe de n , de changer également, dans le premier membre , le signe de celles des quantités énumérées dans ce tableau de corrélation , qui , d'après ce même tableau, seroient devenues inverses.

On peut de la même manière établir la corrélation du système primitif avec le nouveau système, quelques transformations qu'il éprouve.

1 35. La figure primitive elle-même, sur laquelle a été fait le raisonnement, fournit huit systèmes

DES FIGURES DE GEOMETRIE. o,5

corrélatifs au premier, celui-ci compris, puisque chacun des quatre angles A, B, C,D, peut être placé le premier en ordre de deux manières différentes , comme il suit :

Corrélation de construction des points.

ier Système A B C D E

2e Système A C B D E

5e Système B D A C E

4e Système B A D C E

5e Système C D A B E

6* Système C A D B E

7e Système D B C A E

8e Système D C B A E

Tous ces systèmes sont visiblement en corrélation directe avec le premier , et l'on peut leur appliquer immédiatement les formules trouvées.

l34. Pour appliquer, par exemple, au quatrième système la formule

sin ( m -f- n ) = sin m . cos n + sin n . cos m , qu'on trouve pour le premier , en égalant les doubles valeurs de B C , il n'y a qu'à établir la corrélation des valeurs qui entrent dans cette formule avec leurs correspondantes dans le quatrième système , comme il suit :

i"Syst. ..mou BAE n owCAE.

2e Syst ABE ouïs — m y DBE ou n.

C'est-à-dire, qu'il faut substituer « — m à la place

de m dans la formule, et laisser n : alors cette formule deviendra

sin(^ — (m — rc))> ou cos {m — n) = cosm . cosn + shiîn . sin rç, qui s'accorde avec une de celles du tableau formé ( 127).