Soit ABC (fig.1%) un triangle: par un

point quelconque D du plan de ce triangle, menons les droites AD a, BDé, CDc, aux angles, et qu'elles soient prolongées jusqu'à la rencontre des côtés opposés. Menons ensuite les droites a cm, ban, cbp, jusqu'à la rencontre des côtés AC,

AB,BC,ou leurs prolongemens. Cela posé, nous avons (167)

A c . Wa . C~è = A6 . Bc . Ca.

Mais d'un autre côté , nous avons aussi (176)

Bc . An = Ac . Bn,

Ab . C m= C b , A m,

Ca . Bp = Cp . B a.

Multipliant ces quatre équations toutes ensemble , on aura

A m . Bn . Cp== An . Bp . C n.

179. Soit, en général (fig. 19), un triangle ABC, Sur les côtés duquel, ou sur leurs prolongemens, soient pris à volonté les points a , b , c ; formons le triangle a b c. Je l'appellerai triangle inscrit au triangle ABC, que je nommerai tria,ngle circonscrit; prolongeons tous les côtés de ces triangles , jusqu'à ce que chacun d'eux rencontre le côté de l'autre triangle qui lui est opposé. Cela posé, le triangle

circonscrit A B C , coupé par le côté a b du triangle inscrit, forme le quadrilatère AB ab, qui donne

An .Ba . CZ>=A6 . Bn . C a Ac.Ba.C 772= Ara.Bc.Ca A£. B^.C7 = Ac . BJ^.cX

Multipliant ces trois équations toutes ensemble, et

réduisant, on a

Ba2 , An . C m . Cp =C a2 Am Bn Bp ~Â~b2 . Wn~. Cp . C7t7 ='Cb3 . B~p . Â/7 . Km

Â~? . c^.b"7z . b^ =b^2 .Cp . a"™". ÂX

Supposons que les droites A a , B 6 , Ce, se croisent en un même point D {fig- 18 ) , on aura (176)

Ba : Ça :: Bp : Cp ou Ca . Bp = Ba . Cp,

et par conséquent

Multipliant par cette équation la première des trois trouvées ci dessus, on aura, comme on l'a déjà trouvé (178),

A m . Bn . Cp= An . Bp . Cm.

180. Résumons cette théorie par une proposition générale sous forme technique.

A , B , C , D , rangés à volonté sur un plan , donnent,

iVAB . D ABCD.CACBD=CD.AACBD.BAB CD