AB. FD.GD.AC = BD.AF. AG.CD

En multipliant directement la première par la troisième , on a

FD . CG . FA .¥G =ÂG . FB .DG . FC.

Enfin , en multipliant en croix la première et la quatrième, on a

ÂB . CG . CF . DB = FB . CD . CA . GB,équations qu'on retrouve de plusieurs autres manières , en combinant diversement les formules données ci-dessus. .

17Ô. Nous avons vu (169) que quatre droites tracées à volonté dans un même plan, et indéfiniment prolongées, forment trois quadrilatères: or, chacun de ces quadrilatères a deux diagonales, ce

qui fait en tout six diagonales : mais ces six diagonales se réduisent à trois, parce que chacune d'elles appartient en même temps à deux des trois quadrilatères. Ces trois diagonales sont (fig. 16) AD, jBC, F G. Appelons quadrilatère complet, l'assemblage de ces trois quadrilatères avec leurs trois diagonales prolongées, jusqu'à ce qu'elles se rencontrent réciproquement.

Cette figure ou quadrilatère complet nous offre un grand nombre de quadrilatères simples , ou systèmes tels que celui dont nous avons ci-dessus formé le tableau : mais comme ceux qui sont formés trois à trois par les quatre mêmes droites, ne donnent que les mêmes formules , ainsi que nous l'avons vu ci-dessus , nous pouvons réduire à huit tous les systèmes corrélatifs qu'offre ce quadrilatère complet.

174. Voici le tableau général des corrélations de construction de ces huit systèmes avec les quatre équations qui appartiennent à chacun d'eux (169).

Tableau général de corrélation de construction des huit quadrilatères simples qui entrent dans la composition du quadrilatère complet.

ÂB.FD.CS = AG.FB.CD