Pour appliquer ces formules techniques à

un autre quadrilatère quelconque, il n'y a qu'à substituer aux quatre points A , B , C , D , et dans quel ordre on voudra, les quatre points pris pour désigner les angles des nouveaux quadrilatères.

Ainsi, sans sortir de la figure proposée, si l'on substitue l'un pour l'autre deux quelconques des points A, B, C , D , dans ces formules, les équations qui en résulteront seront encore immédiatement applicables au système proposé , puisque chaque formule n'a que deux termes.

1 83. Les expressions A B CD, AC BD,etc.dé signent d'autres points qu'on peut également substituer aux points A; B, C, D, etc. dans quel ordre on voudra , et par-là on obtiendra une série indéfinie de formules toutes immédiatement applicables au même système.

On peut aussi énoncer , en langage ordinaire , ces formules techniques comme il suit.

184. Pour traduire en langage ordinaire la première formule , il faut considérer qu'après avoir prolongé indéfiniment les quatre côtés du quadrilatère ABDC (fig. 17) , il en résulte une figure qu'on peut regarder comme un triangle AFC, dont les trois côtés prolongés sont coupés par une même droite ou transversale BG, qui est le quatrième côté du quadrilatère aussi prolongé. Cela posé, on verra que nous pouvons énoncer, comme il suit, la première formule technique, qui (1 8 ij est la même chose que la formule trouvée (167).

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l5l Les trois côtés d'un triangle quelconque (comme AF C) étant -prolongés indéfiniment , si l'on mène une transversale indéfinie ( B G ) qui les coupe tous trois (aux points (B, D , G , ) il résultera de cette construction , sur chacun des cotés du triangle y deux segmens ; ( savoir , pour le côté A F , les segmens AB ; FB -, pour le côté F C , les segmens FD, CD; et pour le côté AC, les segmens AG, CG). Or, de ces six segmens , le produit formé de ti*ois d'entre eux > comme facteurs , est égal au produit formé des trois autres ; en prenant ces facteurs de manière qu'il n'en entre pas deux dans le même produit qui aient pour extrémités un même angle du triangle ou un même point de la transversale. En effet , il est clair que cette proposition n'est autre chose que la traduction de l'équation

AB. FD . CG=AG. FB.CD, qui est (181) la première formule technique.

l8o. La seconde formule étant (181) la même chose que l'équation

AB.FD. GD.IC = BD. AF . AG.CD , on

peut la mettre en forme de proportion ; ainsi

AF.ÂGrFD.GD :: ÂB.ÂC:BD.CD.

On peut donc énoncer cette proposition comme il, suit :

Dans tout quadrilatère ( comme ABDC ) , le

ï 02 DE LA CORRELATION

produit des deux distances (AF, A G, ) de l'un quelconque (A) des angles aux points de concours ( F , G , ) des côtés ( A B , A C ) partans de ce même angle , avec les côtés respectivement opposés (CD, BD), est au produit des deux distances ( F D , D G ) de V angle ( D ) opposé en diagonale aux mêmes points de concours (F, G), comme le

produit des deux côtés ( AB, AC) du quadrilatère , adjacens au premier de ces angles est au produit

des deux autres côtés ( BD, D C ).

Si l'on observe que AD {fig* 16) est une diagonale commune aux deux quadrilatères ABDC, A F D G , on verra qu'il est possible d'énoncer aussi cette proposition comme il suit :

Dans un quadrilatère complet (ABCDFGH),

si Von mène une quelconque des diagonales (AD) > et qu'on compare ensemble les deux quadrilatères simples (ABDC^AFDG), auxquels cette diagonale est commune , le produit des deux côtés

( A B , AC ) de Vun de ces quadrilatères , et partans de Vune des extrémités (A) de cette diagonale , est y au produit des deux autres côtés

( B D , C D ) de ce même quadrilatère , comme le

produit des deux côtés ( A F , A G ) de Vautre quadrilatère , partans de la même première extrémité {A) de cette diagonale , est au produit des

deux autres côtés (DF,DG)^ce second quadrilatère.

BES FIGURES DE GEOMETRIE; i3S

l86. La troisième formule technique qui (181)

est la même chose que cette équation

ÂF.BH.CG = AG. BF. CH, trouvée (175), peut se traduire ainsi :

Si , dans un triangle quelconque ( ABC) , on prend à volonté , soit sur l'aire de ce triangle , soit en dehors » dans le même -plan , un point ( D ) , et qu'on mène de ce point à chacun des angles du triangle une droite prolongée , s'il est nécessaire , jusqu'à la rencontre du côté opposé, il résultera de cette construction six segmens formés sur les cotés du triangle , deux pour chacun ; ( savoir , ÂF , FB pour le côté AB ; XG , CG , pour le côté AC jBÏÏ, CH, pour le côté BC). Cela posé, de ces six segmens , le produit formé par trois d'entre eux , comme facteurs , est égal au produit formé des trois autres, en les prenant de manière que dans chacun de ces produits il n'y ait pas deux facteurs qui aient pour extrémités un point commun.

1 8 7 . La qu atrième formule technique étant ( 1 8 1 ) f

la même chose que cette proportion „

Âïî : M :: ÂK :DK , trouvée (176) ,. et les droites AD, FG, BC étant (173) les trois diagonales du quadrilatère complet ABCDFGHK, nous pouvons la traduire ainsi :

Dans tout quadrilatère complet , si Von mène les trois diagonales , chacune d'elles sera coupée

loi DE LA CORRELATION

par les deux: autres , en segrnens proportionnels.

188. La cinquième formule technique étant (181) la même chose que la proportion

F AD : FBC :: GAD:GJBC, trouvée (177), peut se traduire ainsi :

Dans tout quadrilatère complet , si l'on mène les trois diagonales , les deux triangles ( comme F AD, FBC) qui ayant pour sommet commun l'une ( F ) des extrémités de Vune ( F G ) des trois diagonales , et pour bases respectives les deux

autres diagonales (AD, BC), sont entre eux comme les deux triangles (G AD, GBC) qui , respectivement appuyés sur les mêmes bases . . . (AD, BC ) , ont pour sommet commun Vautre extrémité (G) de la première diagonale ( F G ),

l8g. La sixième formule technique étant ( 181)

la même chose que cette équation , . -

Am . Bn . Cp = An, Bp . Çw , trouvée ( 178 ) , peut se traduire ainsi :

Si par un point (D) pris à volonté dans le plan d'un triangle (ABC), on mène à chacun des angles une droite prolongée jusqu'au côté opposé , et qu' ayant joint ces points oV intersection deux à deux pour former un triangle (abc) inscrit au premier , on prolonge chacun des côtés de ce triangle inscrit jusqu'à la rencontre du côté opposé du triangle circonscrit (en m, n , p ). Ces trois derniers points d} intersection formeront % sur les côtés

DES FIGURES DE GEOMETRIE. i55 du triangle circonscrit , six segmens , deux sur chacun; (savoir , An, Bn, sur le côté AB-,A?n, Cm , sur le côté Ac ; Bp , Cp , sur le côté B C ). Cela posé , le produit de trois de ces segmens , comme facteurs , sera égal au produit des trois autres segmens , en les prenant de manière que , dans chaque produit , il n'entre jamais deux facteurs qui aient une extrémité commune.

1 9°* Quant à la formule

Ba2 . An *.Cm . Cp = Ca2 . Am. Bn. Bp , trouvée ( 179 ) , elle n'est pas comprise dans la proposition générale donnée sous forme technique (180), ni dans les propositions particulières qu'on vient de voir, et qui en sont la traduction. Il seroit peutêtre difficile de l'énoncer ainsi en langage ordinaire, d'une manière assez simple; mais il est aisé de la rendre en langage technique , comme il suit :

ABC, triangle inscrit au premier ab c ; a, b, c ,.

placés à volonté, sur les côtés ou prolongemens des côtés du premier , respectivement opposés à A , B , C ; donnent

Ba2 . A AB ab .C CA ca.CCB cb

= Cc2.AAC ac .B BA ba.BBC bc.

1Q1. Parmi les applications dont toute cette théorie est susceptible ? je me borne à un exemple simple.

Supposons qu'étant placé au point K ( fig. i5 ) .r

l36 DE LA CORRÉLATION

sur un terrein, on apperçoive un objet A, et qu'on veuille en connoître la distance par une opération graphique : ayant placé un piquet ou jalon au point K , et un autre à un point D , pris à volonté sur la direction K A , portez-vous en un autre point quelconque F, duquel vous puissiez appercevoir les points A, K ; plantez un jalon à ce point F, et faitesen planter un autre au point G , pris à volonté, sur la direction FK, tel que de ce point G on voie aussi l'objet A : des points G, F , dirigez des rayons visuels sur D, et faites planter des jalons aux points

C, B, où ces rayons visuels coupent GA, FA. Allez ensuite au point B , et faites planter un jalon au point H , où se croisent les deux rayons visuels

BC,KAj alors si vous mesurez seulement K H ,

et prenez en passant les valeurs de D K, DH , vous trouverez

AK par cette proportion AR:DK :: AH: DH ; ou ÂK:ÂK — ÂH :: DK.DK—DHj ou à cause de AK — AH = K H , on aura