Nous avons vu (169) que quatre droites

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 1S7 quelconques tracées dans un plan , forment trois quadrilatères. Il est visible pareillement , que cinq droites tracées dans un plan doivent former aussi plusieurs pentagones différens ; que six droites doivent former plusieurs hexagones , etc. On pourroit donc demander, en général, combien un nombre n de droites tracées dans un même plan forment de polygones du même nombre n de côtés.

Pour résoudre cette question , il faut considérer que chaque droite étant coupée par chacune des autres , il doit y avoir sur elle n — 1 points d'intersection , et que chacun d'eux peut, être un sommet d'angle de l'un des polygones cherchés. Il faut , pour former le premier des côtés du polygone , passer de ce premier point à un des autres points d'intersection formés sur la même droite ; et comme il y en a en tout n — 1 , il suit qu'il y auroit

n — 1 . n — 2 , droites qui pourroient servir de premier côté au polygone, si chacun de ces côtés ne se trouvoit pas ainsi répété deux fois. Donc le nombre des segmens qui peuvent ainsi former le premier

des côtés du polygone , est seulement —

Le premier point du second côté étant ainsi déterminé , il faut trouver sur la direction de ce second côté , le premier point du troisième : or , il y a pour cela à choisir entrera — 5 lignes, puisqu'il y en a déjà deux d'employées. On peut donc fixer ce troisième point de n — 3 manières. Par la même raison, le quatrième point peut être fixé de n — 4 manières,

l58 DE LA CORRELATION lorsqu'on a fixé le troisième , ainsi de suite. Donc le nombre des polygones formés par l'assemblage de n , lignes droites tracées dans un plan , est

Soit , par exemple , n— 3 , le nombre des polygones possibles sera donc

c'est-à-dire, qu'on ne peut former qu'un seul triangle avec trois lignes droites tracées dans un plan.

Soit n = 4, le nombre des polygones possibles sera

c'est-à-dire que trois droites tracées dans un plan forment trois quadrilatères.

Soit n ■=■ 5 , le nombre des polygones possibles de cinq côtés sera donc

Ainsi cinq droites tracées dans un plan forment douze pentagones.

On peut se proposer diverses questions du même genre. On peut demander , par exemple , combien de triangles, de quadrilatères, etc. forment un nombre n de droites tracées dans un plan ; combien de polyèdres d'un nombre m de faces peuvent faire un nombre n de plans imaginés dans l'espace, etc»

DES FIGURES DE GEOMETRIE. i^g