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I . Il existe entre les/liverses parties de toute figure géométrique deux sortes de rapports , «avoir : les rapports de grandeur» ** les rapports de position. Les premiers sont ceux qui ont lieu entre les valeurs absolues des quantités ; les autres sont ceux qui expriment leurs situations respectives , en indiquant si tel point est placé au-dessus ou au-dessous de telle droite , à droite ou à gauche de tel plan , audedans ou au-dehors de telle circonférence ou de telle surface courbe , etc. Or , ce sont ces derniers rapports que j'ai particulièrement ici en vue.

2. Le mode que je me propose de suivre consiste à rapporter chaque figure dont on recherche les propriétés , à une autre figure dont les propriétés sont connues , et qu'on prend pour terme de comparaison ; puis à l'aide de caractéristiques particulières , et de l'arrangement systématique des lettres employées pour désigner les points qui déterminent les diverses parties de ces figures , on exprime les modifications qui les distinguent : c'est ce que j'appelle établir la corrélation des figures,

3. Quand les figures dont on recherche les propriétés sont compliquées , on les décompose en plusieurs autres figures plus simples , et l'on rapporte chacune de celles-ci à une figure connue prise pour terme de comparaison.

4. Avant d'entrer en matière, j'établirai une distinction très-importante pour ce que j'ai à dire dans la suite : cette distinction porte sur les mots valeur et quantité.

ParT'exproeçion de valeur t j'entends en général toute espèce de fonction algébrique. Ainsi , a est une valeur absolue, + a une valeur positive, — aune valeur négative, V — a une valeur imaginaire. Je réserve , au contraire , le nom de quantité pour désigner la chose "même dont on recherche les propriétés ou sa valeur absolue, c'est-à-dire, abstraction faite du signe. Ainsi, en adoptant cette définition, il n'y a ni quantités positives, ni quantités négatives , ni quantités imaginaires. Toute quantité est un objet réel que l'esprit peut saisir, ou du moins sa représentation dans le calcul d'une manière absolue ; au lieu que les valeurs peuvent n'être que des formes algébriques , des quantités prises collectivement avec leurs signes : or, ces signes indiquent des opérations qui souvent ne sont point exécutables. Par exemple, — a indique qu'il faut retrancher a de o, ce qui est absurde, puisqu'il n'y a rien au-dessous de o. Ces formes algébriques peuvent à la vérité être employées dans le calcul j mais ce cal-

cul n'offre de résultats intelligibles qu'autant que ces formes sont ramenées à des combinaisons qui peignent des objets réels , c'est-à-dire, à des formules ou fonctions dans lesquelles les opérations indiquées peuvent être réellement exécutées. On peut bien , dans un calcul, indiquer la soustraction d'une quantité à retrancher d'une autre quantité plus petite, mais on ne peut pas l'effectuer : cependant ce résultat, quoique absurde, étant exprimé algébriquement, peut, par des transformations, conduire à des résultats d'un autre genre 7 et qui n'indiquent plus que des opérations exécutables sur des quantités effectives. C'est alors seulement que ce résultat est véritablement significatif, et qu'on peut l'appliquer utilement à l'objet qu'on s'est proposé.

5. Lorsque les propriétés d'un système quelconque de quantités sont exprimées par des équations ou formules ramenées à cet état primordial dont on vient de parler, c'est-à-dire, tel, que toutes les opérations qui s'y trouvent indiquées par les signes peuvent être réellement effectuées, je l'exprime en disant que ces formules sont immédiatement applicables au système proposé , et je les nomme formule s explicites à l'égard de ce système. J'appelle, au contraire , formules implicites à l'égard de ce même système, celles qui ne lui sont pas immédiatement applicables , c'est-à-dire, qui ne sont pas ramenées à cet état tel, que toutes les opérations qui s'y trouvent indiquées puissent être réellement effectuées.

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6. Ainsi , le but qu'on doit remplir lorsqu'on a des formules implicites , pour en tirer les rapports réels des quantités , est de les ramener à des formules explicites par des transformations convenables et l'élimination des valeurs qui n'y représentent pas de véritables quantités.

7. Concevons maintenant un système variable de quantités quelconques, tirées ou non de la Géométrie , et considérons ce système dans deux états différons : l'un que je prends pour terme de comparaison , et que je nomme sj-otéme primitif; l'autre que je rapporte au premier , et que je nomme système transformé.

8. Cela posé , la différence de deux quelconques des quantités du système transformé , est dite en sens direct , ou simplement directe , lorsqu'en comparant ces deux quantités à leurs correspondantes dans le système primitif, il arrive que celle des deux qui est la plus grande dans l'un des systèmes , correspond à celle qui est aussi la plus grande dans l'autre ; et la plus petite du premier à la plus petite du second.

Au contraire, la différence de ces deux quantités est dite en sens inverse , ou simplement inverse % lorsque la plus grande dans l'un des systèmes correspond à celle qui est la plus petite dans l'autre ; et réciproquement , la plus petite à la plus grande.

q. Les deux quantités dont la différence est en sens direct, sont dites elles-mêmes en ordre direct ;

et celles dont la différence est en sens inverse , sont dites elles-mêmes en ordre inverse.

1Q. Mais on ne doit pas perdre de vue que, d'après les notions données ci-dessus , il ne s'agit jamais dans ces définitions que de véritables quantités 3. et non de ce que j'ai appelé valeurs. Ainsi, les différences dont on parle ne peuvent être prises qu'en retranchant celle de ces quantités qui est intrinsèquement la plus petite , et abstraction faite du signe dont la valeur peut se trouver affectée, de relie qui est intrinsèquement la plus grande ; et par conséquent les différences en question sont toujours ellesmêmes de véritables quantités.

1 1 • Soit pris pour exemple un triangle ABC (fie- *")? sur *a kase BC duquel soit abaissée de l'angle opposé A une perpendiculaire AD, que je suppose tomber entre les points B et C. Considérons la base BC avec ses deux segmens BDr CD, et concevons que le point C se meuve vers le point B, jusqu'à ce qu'il ait passé le point D. La base BC est donc variable, ainsi que le segment CD,. tandis que l'autre segment B D est constant.

Cela posé , prenons pour terme de comparaison la figure primitive, composée du triangle ABC et de la perpendiculaire AD; et pour système transformé , cette même figure , après que le point C se sera rapproché du point D, sans cependant être arrivé jusqu'à lui. Il est évident qu'alors , tant dans

le système primitif que dans le système transformé, on aura toujours BC>BD; donc leur différence C D sera toujours de celles que j'ai nommées directes ou en sens direct ; et ces quantités elles-mêmes, BC, B D , sont de celles que j'ai nommées quantités en ordre direct.

Prenons ensuite pour système transformé la même figure considérée lorsque le point C a passé au-delà du poirît EH le s)-stême primitif restant le même, il est clair qu'alors on aura BD>BC: donc leur différence CD sera devenue de celles que j'ai appelées inverses ou en sens inverse ; et les quantités B C , B D, sont de celles que j'ai nommées quantités en ordre inverse.

12. Lorsqu'on dit de deux quantités, qu'elles sont en ordre direct ou en ordre inverse ; ou bien d'une quantité quelconque , qu'elle est en sens direct ou en sens inverse , c'est par-là même rapporter, au moins implicitement, le système auquel appartiennent ces quantités, à un autre système pris pour terme de comparaison ou pour système primitif, sans qu'il soit nécessaire de l'énoncer expressément.

I o. J'appellerai en général systèmes corrélatifs tous ceux qu'on peut rapporter à un même système primitif 5 G'est-â-dire , tous ceux qu'on peut considérer comme les différens états d'un même système variable qui se transforme par degrés insensibles.

14. Pour que deux systèmes soient corrélatifs >. il n'est pas nécessaire qu'ils soient liés entre eux, c'est-à-dire, qu'ils soient réellement les diversestransformations d'un même système primitif j- il suffit qu'ils puissent être considérés comme tels , c'est-à-dire, être ramenés l'un à l'autre, au moyen d'une mutation que l'on imagineroit s'opérer par degrés insensibles. Les quantités qui se correspondent dans les deux systèmes corrélatifs , seront pareillement nommées quantités corrélatives.

15. Si deux systèmes corrélatifs de quantités sont' tels, qu'on puisse leur appliquer exactement un même raisonnement , ou une série de raisonnement absolument semblables ; je dirai, eu égard à cette même série de raisonnemens , qu'ils sont entre eux en congélation directe ou directement corrélatifs. Mais si ces raisonnement cessent d'être littéralement les mêmes, je dirai que ces systèmes n'ont entre eux qu'une corrélation indirecte , ou qu'ils sont entre eux indirectement corrélatifs.

16» D'où il suit évidemment que si deux systèmes proposés sont en corrélation directe, eu égard à une série quelconque de raisonnement, et que le résultat de ces raisonnemens soit pour l'un de ces systèmes une certaine formule qui lui soit immédiatement applicable % cette même formule sera aussi immédiatement applicable à l'autre système j c'està-dire , que pour appliquer immédiatement à celuici la formule trouvée pour le premier , il n'y aura

d'autre changement à faire que d'y substituer, à la place des valeurs absolues qui y entrent , les valeurs correspondantes de l'autre système , sans aucun changement dans les signes de la formule.

17. Par exemple , dans le système primitif A B CD, déjà considéré (fig. iie ) , je puis faire ce raisonnement :

Le triangle rectangle ABD donne

Zb2 = :bd2 +âd2,

et le triangle A C D donne

ÂTC2 =CD2 + AD3.

Otant cette seconde équation de la première , il reste