AB -AC=BC-2BCCD

Il est clair que ce raisonnement est applicable , littéralement et dans son entier , au système transformé , tant que le point D est placé entre B et C : donc la formule précédente est immédiatement applicable à tous les cas , tant que C D est en sens direct,

Lorsque C aura passé le point D , la première partie du raisonnement aura encore lieu, mais non la seconde, puisqu'on n'aura plus comme précédent-

ment CD = BC — BD, mais au contraire

CD = BD — BC$ c'est-à-dire, que CD sera devenue inverse. Aussi l'équation finale sera-t-elle pour ce cas

AB-AC=BC>2BCCD, laquelle diffère de celle trouvée pour le premier cas par le signe qui affecte le second terme du second membre , ce signe étant — pour le premier cas , et + pour le. second.

1 8 . Voyons donc ce qui a lieu en général , d'abord tant qu'il n'entre dans les formules que des quantités directes, et ensuite ce qui arrive lorsqu'on vient à y introduire une ou plusieurs quantités inverses.

Soient M , N , deux quelconques des quantités du système primitif j m, n, les quantités correspondantes du second système. Cela posé, d'après la définition , tant que ces deux systèmes demeureront directement corrélatifs, m , n, joueront, dans les formules de ce second système , le même rôle exactement que leurs correspondantes M, N, dans le premier.

Déplus, en supposant M>N, par exemple, si l'on a pareillement ra > n, ces dernières quantités seront en ordre direct, et leur différence m — n en sens direct ; c'est-à-dire, que si l'on nomme P la différence des deux premières M, N, etp la différence des deux dernières m, n, cette quantité/? sera une quantité directe.

Or, puisque M > N et m > n , nous aurons

ÏO DE L, A COÎIRELATIO:*

P = M — N et p ■ ses m — n , ou M = N + P et m— n -\- p.

Substituons dans les formules dont nous venons de parler ces valeurs respectives de M et m. Il est clair que ces formules , qui étoient semblables avant la transformation , le seront encore après, puisqu'à la place des quantités correspondantes M , m , qui y jouoient le même rôle , on aura substitué des valeurs N + P , n +■ p, qui sont encore de mêmes formes.

Donc, tant qu'on n'introduira dans le calcul que des quantités directes, les formules correspondantes dans le système primitif et dans le système transformé , resteront semblables entre elles , parce qu'en effet les nouveaux raisonnemens qu'on aura ajoutés aux premiers, c'est-à-dire, à ceux qui avoientfait trouver les formules , auront encore été exactement les mêmes de part et d'autre.

19. Voyons maintenant ce qui arrivera si l'on introduit dans le calcul une quantité inverse.

Supposons donc qu'ayant toujours M^>N, on ait au contraire m<in ; c'est-à-dire, que ces dernières soient en ordre inverse à l'égard des premières. Leur différence/? ne sera donc plus m — ny comme auparavant, mais n — m; c'est-à-dire, qu'elle sera devenue inverse , et qu'on aura pour ce cas,

d'une part,

et de l'autre , p = n — m,

ou M = N+'-P et m — n — p»

DES FIGURES DE GEOMETRIE. ïi

Substituons ces valeurs respectives de M et m dans les formules correspondantes, jusqu'alors semblables pour les deux systèmes ; elles cesseront de l'être après cette substitution : car dans l'une on aura mis N -J- P à la place de M , et dans l'autre 72 — p à la place de m. Il y aura donc cette différence entre les nouvelles formules , que les valeurs correspondantes P, p, s'y trouveront affectées de signes contraires. Donc , pour passer des formules du système primitif à celles du système transformé, il ne suffira plus , comme auparavant, de substituer dans les premières , aux valeurs absolues qui y entrent , les valeurs correspondantes de l'autre système; il faudra de plus changer le signe de la valeur de la quantité inverse p.

YtX comme on peut appliquer le même raisonnement à toutes les autres quantités inverses , il est clair qu'on peut établir ce principe général :

20. Pour rendre les formules d'un système quelconque de quantités , immédiatement applicables à un autre système qui lui soit corrélatif , il faut, i°. établir la corrélation des valeurs absolues, en substituant , pour chacune de celles qui appartiennent au système primitif pris pour terme de comparaison y la valeur absolue qui lui correspond dans l'autre système ; 2°. établir la corrélation des signes , en changeant clans les formules le signe de chacune des valeurs dont les quantités se trouvent en sens inverse dans' le second système ; et laissant, au contraire , à chacune des autres le

signe qu'a sa correspondante dans le système primitif.

2 1 . Le nouveau signe que recevra ainsi chaque valeur sera.nomxnè signe de congélation de cette valeur; et cette valeur prise collectivement avec son signe de corrélation , sera appelée valeur de corrélation de la quantité que représente la valeur absolue. Ainsi , en supposant que P soit la valeur absolue de Tune quelconque des quantités du système primitif, p la valeur absolue de la quantité correspondante dans le système transformé : si cette dernière quantité est inverse, — sera le signe de corrélation de p r et — p sera la valeur de corrélation de la quantité représentée par p.

22. Puisque, d'après ces définitions, le signe de corrélation d'une valeur quelconque est celui qu'elle doit prendre lorsqu'on veut rendre immédiatement applicables à un système transformé dont elle fait partie , les formules du système primitif, il suit évidemment du principe démontré ci-dessus , que la yaleuX-dg^QJute^quantité^ qui reste directe dans le système transformé , a 4- pour signe de corrélation r etque£écipmau^ment toute quantité du système transformé dont la valeur a -h pour signe de corrélation , est directe ; quepâféîllement la valeur de toute quantité qui devient inverse dans le système transforraé , a — pour signedecorrélation ; et que réciproquement toute quantité du système transformé dont la valeur a — pour signe de corrélation , est inverse.

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l5

25. Lorsque dans deux systèmes corrélatifs à un même système primitif, il arrive que les valeurs de deux quantités correspondantes ont le même signe de corrélation, nous disons qu'elles sont entre elles en corrélation directe , quand même ce signe de corrélation seroit — , parce que si l'on prenoit, comme on en est toujours le maître , l'un de ces systèmes pour terme de comparaison ou système primitif, le signe de corrélation de l'autre redeviendroit -+• ; car les deux quantités correspondantes en question sont bien l'une et l'autre inverses à l'égard du système pris actuellement pour terme de comparaison ; mais elles sont en sens direct l'une a l'égard de l'autre.

24. Si deux systèmes corrélatifs sont regardé» comme un seul et même système variable dans deux positions différentes ; tel que seroit, par exemple, le système des coordonnées d'une même courbe : les quantités corrélatives étant alors représentées par les mêmes lettres, par exemple, les abscisses par x, et les ordonnées par jy ; le premier objet du principe énoncé ci-dessus (20) se trouvant rempli , il n'y auroit plus , pour rendre immédiatement applicables à l'un des systèmes les formules trouvées pour l'autre , qu'à remplir le second objet du principe ; c'est-àdire, à établir la corrélation des signes. Donc

25. Pour rendre immédiatement applicables à un système de variables , lorsqu'il est parvenu à une situation quelconque déterminée , les for •-

mules trouvées pour une autre situation du même système , il suffit d'y changer le signe de chacune des variables , qui , par la mutation du système , sont devenues inverses.

26. Mais comme il est indifférent pour le résultat de changer le signe d'une valeur quelconque, au commencement, au milieu ou à la fin, on pourra, domine c'est l'usage , pour l'uniformité et la simplicité des calculs , n'employer, pour le système considéré dans tontes les positions possibles , que les seules formules du système pris pour terme de comparaison , pourvu que dans les applications qui en seront faites, on change le signe de chacune des valeurs des quantités qui, dans chaque cas particulier , seront en sens inverse.

27. Lorsque, pour rendre les formules du système primitif, immédiatement applicables au système transformé , on a opéré le changement des signes , les formules ainsi changées deviennent évidemment pour le système transformé lui-même, ce qu'elles étoient avant le changement pour le système primitif j c'est-à-dire , explicites , par rapport à ce nouveau système. Ainsi , en général ,

i°. Dans les formules du système primitif, les signes + et — n'indiquent que des additions et soustractions exécutables sur les quantités absolues dont ils affectent les valeurs.

20. Il n'y a aucun changement de signes à opérer dans les formules du syslême primitif, pour les

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l5

rendre immédiatement applicables à tous ceux: qui sont avec lui en corrélation directe.

5°. Pour que les formules du système primitif deviennent immédiatement applicables à un autre système quelconque, qui lui soit indirectement corrélatif, il faut changer dans ces formules, le signe de chacune des valeurs , appartenantes aux quantités qui deviennent inverses dans le système corrélatif.

28. On voit par-là qu'ayant des formules immédiatement applicables à un système quelconque de quantités, si l'on vient à changer le signe d'une ou plusieurs des valeurs qui y entrent, elles cesseront d'être immédiatement applicables au même système ; que le nouveau système pour lequel elles peuvent devenir explicites , est en corrélation indirecte avec le premier; et que, pour le trouver, il faut , parmi tous les systèmes corrélatifs possibles , chercher celui auquel satisfont les changemens opérés dans les signes ; c'est-à-dire , celui auquel les formules , ainsi modifiées , pourront être immédiatement applicables.

2Q. Mais il pourroit se faire qu'aucun système transformé ne pût satisfaire au changement opéré dans les signes : dans ce cas , le nouveau système ne seroit ni directement ni indirectement corrélatif avec le système primitif: néanmoins il conserveroit avec lui une sorte de corrélation que je nomme complexe j et de-là naît la notion des imaginaires, dont je remets à parler à la fm de cet écrit.

ï6 DE LACORRÉLATION

00. Puisque pour rendre les formules du système primitif immédiatement applicables à un système transformé , où il entre une quantité inverse , il est nécessaire de changer le signe de sa valeur, il suit que , réciproquement , si prenant pour inconnue dans ces formules , cette quantité inverse , on tire sa valeur ; ce qu'on obtiendra , en résolvant l'équation , ne sera pas la valeur même cherchée, mais cette même valeur affectée du signe négatif ; car n'ayant pas changé le signe de cette valeur dans les formules primitives, il faut absolument le changer dans le résultat pour qu'il soit exact, c'est-à-dire, immédiatement applicable au système transformé (26).

01. En supposant donc qu'on ignorât d'abord si la quantité cherchée étoit directe ou inverse , on conclura qu'elle est nécessairement de cette dernière classe , puisque sa valeur est négative ; c'est-à-dire, que le système auquel elle appartient n'a , avec le système primitif, qu'une corrélation indirecte , et que, pour connoître ce nouveau système, il faut, parmi tous les systèmes corrélatifs possibles, chercher celui auquel pourront satisfaire immédiatement les formules du système primitif, après qu'on y aura changé le signe de la quantité reconnue inverse.

32. Il suit de-là que si en résolvant un problême j on trouvoit pour l'inconnue une valeur négative , ce seroit une preuve que ce problême n'auroit pas

été

été mis exactement en équation , parce qu'on auroit supposé le système autre qu'il n'est réellement ; c'est-à-dire, qu'on auroit pris , au lieu du véritable système sur lequel le raisonnement doit être établi , un autre système qui n'a avec le premier qu'une corrélation indirecte 4 que , pour rectifier ces équations et trouver le véritable système auquel se rapporte la question, il faut, dans toutes celles par lesquelles on est parvenu au résultat trouvé, et dans ce résultat lui-même , changer le signe de l'inconnue, et voir quel est le nouveau système auquel ces équations et ce résultat deviennent immédiatement applicables par ce changement. Ce nouveau système et les équations ainsi rectifiées, donneront la solution du problème proposé.

Oô. Soit proposé , par exemple , de trouver le segment CD dans le triangle ABC (fîg. ire ) , en supposant les trois côtés connus , et tels qu'on ait

ÂC = B~C = iAB.

Comme nous ignorons encore si le point C doit se trouver placé entre B et D , ou si c'est le point D qui doit se trouver entre B et C , établissons d'abord le calcul dans cette dernière hypothèse.

Nous aurons ( 17)